Страница 186 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

943. На коробке с вермишелью написано: «Масса нетто 500 г при влажности 13 %». Какова масса вермишели, если она хранится при влажности 25 %?

Основное условие для решения этой задачи заключается в том, что масса сухого вещества в вермишели остается постоянной, в то время как масса воды изменяется в зависимости от влажности окружающей среды.

1. Вычисление массы сухого вещества.

Изначально масса вермишели составляет 500 г, а ее влажность — 13%. Это означает, что 13% от общей массы составляет вода.

Найдем долю сухого вещества в вермишели:

$100\% - 13\% = 87\%$

Теперь вычислим массу сухого вещества ($m_{сух}$) в 500 г вермишели:

$m_{сух} = 500 \text{ г} \times 0.87 = 435 \text{ г}$

Эта масса сухого вещества остается неизменной.

2. Вычисление новой массы вермишели.

Когда вермишель хранится при влажности 25%, это означает, что доля сухого вещества в новой общей массе составляет:

$100\% - 25\% = 75\%$

Мы знаем, что масса сухого вещества равна 435 г, и теперь эта масса составляет 75% от новой общей массы вермишели ($m_{новая}$). Составим пропорцию:

$435 \text{ г} \rightarrow 75\%$

$m_{новая} \rightarrow 100\%$

Отсюда можем найти новую массу:

$m_{новая} = \frac{435 \text{ г} \times 100\%}{75\%} = \frac{435}{0.75} = 580 \text{ г}$

Ответ: 580 г.

944. Для получения томат-пасты протёртую массу томатов выпаривают в специальных машинах. Сколько тонн томат-пасты, содержащей 30 % воды, получится из 28 т протёртой массы томатов, содержащей 95 % воды?

Ключевым моментом в решении этой задачи является понимание того, что в процессе выпаривания из протёртой массы томатов удаляется только вода, а масса сухого вещества (томатов) остаётся неизменной.

1. Сначала вычислим массу сухого вещества в исходной протёртой массе томатов.

Исходная масса составляет 28 тонн, и она на 95% состоит из воды. Это означает, что доля сухого вещества в ней составляет:

$100\% - 95\% = 5\%$

Теперь найдем массу этого сухого вещества в тоннах:

$28 \text{ т} \times \frac{5}{100} = 28 \times 0.05 = 1.4 \text{ т}$

Таким образом, в 28 тоннах протёртой массы содержится 1.4 тонны сухого томатного вещества.

2. Теперь определим массу конечного продукта — томат-пасты.

В полученной томат-пасте содержание воды должно составлять 30%. Следовательно, доля сухого вещества в ней будет:

$100\% - 30\% = 70\%$

Масса сухого вещества не изменилась и по-прежнему составляет 1.4 тонны. Эти 1.4 тонны теперь составляют 70% от общей массы новой томат-пасты. Пусть $x$ — это искомая масса томат-пасты. Тогда можно составить пропорцию или уравнение:

$x \times \frac{70}{100} = 1.4$

$0.7x = 1.4$

Найдем $x$:

$x = \frac{1.4}{0.7} = 2 \text{ т}$

Итак, получится 2 тонны томат-пасты.

Ответ: 2 т.

945. Производительность труда повысили на 25 %. На сколько процентов уменьшится время выполнения задания?

Пусть $P_1$ — начальная производительность труда, а $t_1$ — начальное время, необходимое для выполнения задания. Объем работы $A$ можно выразить как произведение производительности на время: $A = P_1 \cdot t_1$.

Производительность труда повысили на 25%. Это означает, что новая производительность $P_2$ стала:

$P_2 = P_1 + 0.25 \cdot P_1 = 1.25 \cdot P_1$.

Пусть $t_2$ — это новое время выполнения того же задания. Объем работы $A$ остался неизменным, следовательно:

$A = P_2 \cdot t_2$.

Поскольку объем работы не изменился, мы можем приравнять два выражения для $A$:

$P_1 \cdot t_1 = P_2 \cdot t_2$.

Подставим в это уравнение выражение для $P_2$:

$P_1 \cdot t_1 = (1.25 \cdot P_1) \cdot t_2$.

Разделим обе части уравнения на $P_1$ (так как производительность не может быть равна нулю):

$t_1 = 1.25 \cdot t_2$.

Теперь выразим новое время $t_2$ через начальное $t_1$:

$t_2 = \frac{t_1}{1.25} = \frac{1}{5/4} \cdot t_1 = \frac{4}{5} \cdot t_1 = 0.8 \cdot t_1$.

Это значит, что новое время составляет 80% от первоначального. Чтобы найти, на сколько процентов уменьшилось время, нужно найти разницу между 100% (начальное время) и 80% (новое время).

$100\% - 80\% = 20\%$.

Также можно найти процентное изменение по формуле:

$\frac{t_1 - t_2}{t_1} \cdot 100\% = \frac{t_1 - 0.8 \cdot t_1}{t_1} \cdot 100\% = \frac{0.2 \cdot t_1}{t_1} \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$.

Ответ: на 20%.

946. Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 25 мин папа заметил пропажу, быстро развернул лодку, и они поплыли вниз по течению с той же собственной скоростью. Через сколько минут они догонят шляпу?

Для решения этой задачи можно использовать два подхода: классический (в системе отсчета, связанной с берегом) и более простой (в системе отсчета, связанной с водой).

Решение 1: В системе отсчета, связанной с берегом

Введем обозначения:

• $v_л$ – собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде).
• $v_т$ – скорость течения реки.
• $t_1 = 25$ мин – время, в течение которого лодка удалялась от шляпы, плывя против течения.
• $t_2$ – искомое время, за которое лодка догонит шляпу, плывя по течению.

1. Когда лодка плывет против течения, ее скорость относительно берега равна $v_л - v_т$. Шляпа, упав в воду, плывет со скоростью течения $v_т$.

2. За 25 минут ($t_1$) после падения шляпы лодка проплыла против течения расстояние $S_1 = (v_л - v_т) \cdot t_1$ от места, где упала шляпа.

3. За это же время шляпа была снесена течением на расстояние $S_2 = v_т \cdot t_1$ от того же места.

4. В момент, когда папа заметил пропажу, расстояние между лодкой и шляпой составляло:
$S = S_1 + S_2 = (v_л - v_т) \cdot t_1 + v_т \cdot t_1 = v_л \cdot t_1 - v_т \cdot t_1 + v_т \cdot t_1 = v_л \cdot t_1$.

5. После этого лодка развернулась и поплыла по течению. Ее скорость относительно берега стала $v_л + v_т$. Шляпа продолжала плыть со скоростью $v_т$. Лодка догоняет шляпу, поэтому нам важна их скорость сближения.

6. Скорость сближения лодки и шляпы равна разности их скоростей:
$v_{сближения} = (v_л + v_т) - v_т = v_л$.

7. Время, необходимое для того, чтобы догнать шляпу, равно расстоянию между ними, деленному на скорость сближения:
$t_2 = \frac{S}{v_{сближения}} = \frac{v_л \cdot t_1}{v_л} = t_1$.

8. Так как $t_1 = 25$ мин, то и $t_2 = 25$ мин.

Ответ: 25 минут.

Решение 2: В системе отсчета, связанной с водой (более простое)

1. Представим, что мы наблюдаем за происходящим не с берега, а из воды. В этой системе отсчета вода неподвижна.

2. Когда шляпа падает в воду, она остается на месте относительно воды (поскольку ее несет течением вместе с нами, наблюдателями).

3. Лодка же относительно воды движется со своей собственной скоростью $v_л$. Сначала она удаляется от неподвижной шляпы в течение 25 минут.

4. Затем лодка разворачивается и начинает двигаться обратно к шляпе, которая все так же неподвижна в нашей системе отсчета. Скорость лодки относительно воды остается той же – $v_л$.

5. Поскольку лодка удалялась от шляпы в течение 25 минут с определенной скоростью, то чтобы вернуться в исходную точку (к шляпе), ей потребуется ровно столько же времени, двигаясь с той же скоростью.

6. Таким образом, время возвращения к шляпе составит 25 минут.

Ответ: 25 минут.

947. Папа купил себе дипломат с двумя кодовыми замками. На каждом из этих замков устанавливают код — набор из трёх цифр от 0 до 9 (рис. 100). Дипломат закрывают и на его наружной панели устанавливают произвольные наборы цифр. Каждый замок откроется лишь тогда, когда будет правильно набран его код.

а) Саша установил новый код на каждый замок, но забыл сообщить об этом папе и ушёл в школу. Сколько времени может занять открывание замков у папы в худшем случае, если он будет последовательно проверять коды для каждого замка и на проверку каждого кода будет тратить 1 с?

б) Какова вероятность открыть с первой попытки один кодовый замок? оба замка?

в) Саша установил новый код на каждый замок и через некоторое время забыл, в каком порядке цифры 1, 2 и 3 образуют эти два кода. Сколько кодов в худшем случае придётся проверить Саше, чтобы открыть оба замка?

г) Саша установил два новых кода на замках дипломата и через некоторое время забыл их. Он помнит, что в каждый код входят цифры 1, 2 и какая-то третья цифра (не 1 и не 2). Сколько кодов в худшем случае придётся проверить Саше, чтобы открыть один замок? оба замка?

Рис. 100

а) Каждый кодовый замок имеет 3 ячейки для цифр. В каждой ячейке может быть любая цифра от 0 до 9, то есть 10 вариантов. Общее количество возможных комбинаций для одного замка вычисляется как произведение вариантов для каждой ячейки: $10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$ комбинаций. В худшем случае, чтобы открыть один замок, папе придётся перебрать все 1000 комбинаций. Поскольку на проверку одного кода уходит 1 секунда, на открытие одного замка в худшем случае потребуется $1000 \times 1 \text{ с} = 1000 \text{ с}$. Так как на дипломате два замка, и коды для них подбираются последовательно, общее время в худшем случае составит сумму времени для каждого замка: $1000 \text{ с} + 1000 \text{ с} = 2000 \text{ с}$. Переведём это время в минуты и секунды: $2000 \text{ с} \div 60 = 33$ и остаток 20. Это составляет 33 минуты 20 секунд.
Ответ: 2000 секунд или 33 минуты 20 секунд.

б) Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. Для одного замка существует 1000 возможных кодов, и только один из них является правильным. Вероятность открыть один замок с первой попытки равна $P_1 = \frac{1}{1000}$. События по открытию каждого замка являются независимыми. Вероятность открыть оба замка с первой попытки равна произведению вероятностей открытия каждого из них: $P_2 = P_1 \times P_1 = \frac{1}{1000} \times \frac{1}{1000} = \frac{1}{1000000}$.
Ответ: вероятность открыть один замок с первой попытки – $\frac{1}{1000}$; вероятность открыть оба замка с первой попытки – $\frac{1}{1000000}$.

в) Саша знает, что код каждого замка состоит из цифр 1, 2 и 3, но не помнит их порядок. Нам нужно найти количество перестановок из трёх элементов. Число возможных комбинаций (перестановок) из трёх различных цифр равно $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$. Возможные коды: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Чтобы гарантированно открыть один замок, в худшем случае Саше придётся проверить все 6 комбинаций. Поскольку замка два, и для каждого из них нужно найти свой код из этих же 6 вариантов, общее количество проверок в худшем случае будет равно сумме проверок для каждого замка: $6 + 6 = 12$.
Ответ: 12 кодов.

г) Каждый код состоит из трёх различных цифр: 1, 2 и некоторой третьей цифры, которая не является ни 1, ни 2. Третьей цифрой может быть любая из множества $\{0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, то есть всего 8 вариантов для третьей цифры. Для каждого такого набора из трёх различных цифр (например, {1, 2, 0}) существует $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ возможных перестановок (кодов). Следовательно, общее количество возможных кодов для одного замка равно произведению числа вариантов для третьей цифры на число перестановок: $8 \times 6 = 48$. В худшем случае, чтобы открыть один замок, придётся проверить все 48 кодов. Для открытия обоих замков в худшем случае потребуется проверить максимальное количество кодов для каждого из них, то есть $48 + 48 = 96$ кодов.
Ответ: чтобы открыть один замок – 48 кодов; чтобы открыть оба замка – 96 кодов.