Страница 180 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

929. Банк по срочным вкладам начисляет ежемесячный доход в размере 5 % от суммы вклада, имевшейся в начале месяца. В начале месяца на счёт положили 500 р. Определите величину вклада через:

а) 1 месяц;

б) 2 месяца;

в) 3 месяца,

если доход начисляется по формуле сложных процентов.

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов: $S_n = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$, где $S_0$ — начальная сумма вклада, $p$ — процентная ставка за один период (месяц), а $n$ — количество периодов (месяцев). В данном случае, начальная сумма $S_0 = 500$ р., а процентная ставка $p = 5\%$ в месяц.

а) 1 месяц;
Через один месяц (при $n=1$) сумма на счете составит:
$S_1 = 500 \cdot (1 + \frac{5}{100})^1 = 500 \cdot (1 + 0,05) = 500 \cdot 1,05 = 525$ р.
Ответ: 525 р.

б) 2 месяца;
Через два месяца (при $n=2$) сумма на счете составит:
$S_2 = 500 \cdot (1 + \frac{5}{100})^2 = 500 \cdot (1,05)^2 = 500 \cdot 1,1025 = 551,25$ р.
Ответ: 551,25 р.

в) 3 месяца,
Через три месяца (при $n=3$) сумма на счете составит:
$S_3 = 500 \cdot (1 + \frac{5}{100})^3 = 500 \cdot (1,05)^3 = 500 \cdot 1,157625 = 578,8125$ р.
Ответ: 578,8125 р.

930. Сколько процентов составляет число 80 от:

а) $100$;

б) $320$;

в) $240$;

г) $60$?

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и умножить результат на 100.

Формула для расчета: $(\frac{A}{B}) \cdot 100\%$, где $A$ — это число, процент которого мы ищем (в нашем случае 80), а $B$ — это число, от которого мы ищем процент.

а)

Находим, сколько процентов составляет число 80 от 100:

$(\frac{80}{100}) \cdot 100\% = 0.8 \cdot 100\% = 80\%$

Ответ: 80%

б)

Находим, сколько процентов составляет число 80 от 320:

$(\frac{80}{320}) \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 0.25 \cdot 100\% = 25\%$

Ответ: 25%

в)

Находим, сколько процентов составляет число 80 от 240:

$(\frac{80}{240}) \cdot 100\% = \frac{1}{3} \cdot 100\% = 33 \frac{1}{3}\%$

Ответ: $33 \frac{1}{3}\%$

г)

Находим, сколько процентов составляет число 80 от 60:

$(\frac{80}{60}) \cdot 100\% = \frac{4}{3} \cdot 100\% \approx 1.333 \cdot 100\% = 133 \frac{1}{3}\%$

Ответ: $133 \frac{1}{3}\%$

931. Из 120 посаженных семян подсолнечника взошло 102. Сколько процентов семян подсолнечника взошло? $P = \frac{102}{120} \times 100\%$

Чтобы найти, какой процент семян взошел, нужно разделить количество взошедших семян на общее количество посаженных семян и умножить полученный результат на 100%.

Общее количество посаженных семян (принимаем за 100%): 120.

Количество взошедших семян: 102.

1. Найдем, какую долю составляют взошедшие семена от общего числа посаженных семян. Для этого разделим 102 на 120.

$ \frac{102}{120} $

Можно сократить эту дробь. Например, разделим числитель и знаменатель на 6:

$ 102 \div 6 = 17 $

$ 120 \div 6 = 20 $

Получаем дробь $ \frac{17}{20} $.

Также можно было сразу выполнить деление:

$ 102 \div 120 = 0.85 $

2. Теперь переведем полученную долю в проценты. Для этого нужно умножить ее на 100%.

$ 0.85 \times 100\% = 85\% $

Таким образом, 85% посаженных семян подсолнечника взошло.

Ответ: 85%.

932. В автоинспекции города N подсчитали, что число легковых автомобилей в городе увеличивалось в последние годы на 15 % ежегодно. Во сколько раз увеличится число легковых автомобилей за 5 лет, если эта тенденция сохранится?

Решение. Если число легковых автомобилей в городе будет увеличиваться на 15 %, или в 1,15 раза, ежегодно, то за 5 лет оно увеличится в $1.15^5 = 2.011...$, т. е. примерно в 2 раза.

Решение.

Эта задача решается с помощью формулы сложных процентов, так как каждый год увеличение на 15% рассчитывается от нового, возросшего значения.

1. Сначала переведем процентное увеличение в коэффициент роста. Ежегодное увеличение на 15% означает, что каждый год количество автомобилей составляет 115% от количества в предыдущем году. В виде десятичного коэффициента это равно:

$$ 100\% + 15\% = 115\% \Rightarrow \frac{115}{100} = 1.15 $$

Таким образом, каждый год число автомобилей умножается на 1,15.

2. Так как этот процесс продолжается 5 лет, нам нужно возвести годовой коэффициент в степень, равную количеству лет. Пусть $N_0$ — начальное число автомобилей, а $N_5$ — число автомобилей через 5 лет.

$$ N_5 = N_0 \cdot 1.15 \cdot 1.15 \cdot 1.15 \cdot 1.15 \cdot 1.15 = N_0 \cdot (1.15)^5 $$

3. Чтобы найти, во сколько раз увеличится число автомобилей, нужно найти отношение конечного числа к начальному, то есть $\frac{N_5}{N_0}$:

$$ \frac{N_5}{N_0} = \frac{N_0 \cdot 1.15^5}{N_0} = 1.15^5 $$

4. Вычислим значение:

$$ 1.15^5 \approx 2.011357 $$

Округляя, получаем, что число легковых автомобилей увеличится примерно в 2,011 раза.

Ответ: число легковых автомобилей за 5 лет увеличится примерно в 2,011 раза.

933. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10 % за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?

Это задача на сложные проценты, так как каждый месяц цена увеличивается на 10% от нового значения, полученного в предыдущем месяце, а не от первоначальной цены.

Пусть $P$ — это первоначальная цена продуктов.

Увеличение цены на 10% эквивалентно умножению текущей цены на коэффициент $1 + \frac{10}{100} = 1.1$.

Цена после первого месяца: $P_1 = P \times 1.1$

Цена после второго месяца (10% начисляются на цену $P_1$): $P_2 = P_1 \times 1.1 = (P \times 1.1) \times 1.1 = P \times 1.1^2 = P \times 1.21$

Цена после третьего месяца (10% начисляются на цену $P_2$): $P_3 = P_2 \times 1.1 = (P \times 1.21) \times 1.1 = P \times 1.1^3 = P \times 1.331$

Итак, через 3 месяца цена составила $1.331$ от первоначальной. Чтобы найти общий процент роста, нужно из итогового коэффициента вычесть 1 (соответствующую первоначальной цене) и результат умножить на 100%: $(1.331 - 1) \times 100\% = 0.331 \times 100\% = 33.1\%$

Ответ: 33.1%

934. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20 % дохода. Через сколько лет вложенная сумма удвоится, если доход начисляется по формуле сложных процентов?

$(1 + 0.2)^n = 2$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой сложных процентов:

$S_n = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$

где:
$S_n$ — конечная сумма;
$S_0$ — начальная (вложенная) сумма;
$p$ — годовая процентная ставка (в данном случае, 20%);
$n$ — количество лет.

По условию задачи, вложенная сумма должна удвоиться, то есть конечная сумма $S_n$ должна стать равной $2S_0$. Годовая процентная ставка $p=20\%$. Подставим эти значения в формулу:

$2S_0 = S_0 \cdot (1 + \frac{20}{100})^n$

Разделим обе части уравнения на $S_0$ (так как начальная сумма не равна нулю):

$2 = (1 + 0.2)^n$

$2 = (1.2)^n$

Теперь нам нужно найти такое наименьшее целое число $n$, при котором $(1.2)^n$ будет больше или равно 2. Будем подбирать значения $n$:

При $n=1$: $(1.2)^1 = 1.2$ (сумма еще не удвоилась)
При $n=2$: $(1.2)^2 = 1.44$ (сумма еще не удвоилась)
При $n=3$: $(1.2)^3 = 1.728$ (сумма еще не удвоилась)
При $n=4$: $(1.2)^4 = 2.0736$ (сумма удвоилась и даже стала больше)

Таким образом, через 3 года вложенная сумма еще не удвоится ($1.728 \cdot S_0 < 2S_0$), а через 4 года она превысит удвоенную сумму ($2.0736 \cdot S_0 > 2S_0$). Это означает, что удвоение произойдет в течение четвертого года. Следовательно, для того чтобы вложенная сумма гарантированно удвоилась, должно пройти 4 полных года.

Ответ: 4 года.