Страница 177 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите с помощью калькулятора (915–918):

915. а) $3,56 + 7,031;$

б) $4,27 - 2,999;$

в) $3,25 \cdot 4,8;$

г) $8,8 : 0,55.$

а) Для того чтобы сложить десятичные дроби $3,56$ и $7,031$, необходимо записать их столбиком так, чтобы запятые находились друг под другом. Для удобства вычислений уравняем количество знаков после запятой, добавив ноль к первому числу.

Выполним сложение:

$ \begin{array}{r} + \\ \end{array} \begin{array}{r} 3,560 \\ 7,031 \\ \hline 10,591 \end{array} $

Таким образом, $3,56 + 7,031 = 10,591$.

Ответ: 10,591

б) Для того чтобы вычесть $2,999$ из $4,27$, запишем числа столбиком, выравнивая их по запятой. Уменьшаемому $4,27$ допишем справа ноль, чтобы уравнять количество знаков после запятой.

Выполним вычитание:

$ \begin{array}{r} - \\ \end{array} \begin{array}{r} 4,270 \\ 2,999 \\ \hline 1,271 \end{array} $

Таким образом, $4,27 - 2,999 = 1,271$.

Ответ: 1,271

в) Чтобы перемножить десятичные дроби $3,25$ и $4,8$, сначала умножим их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые, то есть $325$ умножим на $48$.

$ \begin{array}{r} \times \\ \end{array} \begin{array}{r} 325 \\ 48 \\ \hline 2600 \\ 1300\phantom{0} \\ \hline 15600 \end{array} $

Теперь в полученном произведении $15600$ нужно отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. В числе $3,25$ два знака после запятой, а в числе $4,8$ — один. Всего $2 + 1 = 3$ знака. Отделяем три знака справа:

$15,600 = 15,6$.

Таким образом, $3,25 \cdot 4,8 = 15,6$.

Ответ: 15,6

г) Чтобы разделить $8,8$ на десятичную дробь $0,55$, нужно сначала избавиться от дроби в делителе. Для этого перенесем запятую в делимом и делителе вправо на столько цифр, сколько их стоит после запятой в делителе. В делителе $0,55$ две цифры после запятой, поэтому переносим запятую на два знака вправо в обоих числах.

$8,8 \rightarrow 880$

$0,55 \rightarrow 55$

Теперь задача сводится к делению натурального числа $880$ на $55$.

Выполним деление столбиком:

$ \begin{array}{r|l} 880 & 55 \\ \cline{2-2} -55 \phantom{0} & 16 \\ \hline 330 \\ -330 \\ \hline 0 \end{array} $

Таким образом, $8,8 : 0,55 = 16$.

Ответ: 16

916. a) $6,325 + 1,5031$;

б) $7,1 - 6,3456$;

в) $6,25 : 1,92$;

г) $14,4 : 0,048$.

а) Чтобы сложить десятичные дроби, нужно записать их друг под другом так, чтобы запятая находилась под запятой. Если количество знаков после запятой разное, можно добавить нули в конце. Затем выполнить сложение, не обращая внимания на запятую, и в полученной сумме поставить запятую под запятыми в слагаемых.

 6,3250+ 1,5031----------- 7,8281

Складываем столбиком: $6,325 + 1,5031 = 7,8281$.

Ответ: 7,8281.

б) Чтобы вычесть одну десятичную дробь из другой, нужно записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы запятая находилась под запятой. Уравняем количество знаков после запятой, добавив нули к уменьшаемому. Затем выполнить вычитание, как с натуральными числами, и в полученной разности поставить запятую под запятыми.

 7,1000- 6,3456----------- 0,7544

Вычитаем столбиком: $7,1 - 6,3456 = 0,7544$.

Ответ: 0,7544.

в) Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятые. Затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

1. Умножим числа 625 и 192 столбиком:

 625× 192------ 1250 5625+625------120000

2. В первом множителе (6,25) две цифры после запятой, во втором (1,92) тоже две. Всего $2 + 2 = 4$ цифры. Отделяем в произведении 120000 четыре цифры справа, получаем 12,0000, что равно 12.

$6,25 \times 1,92 = 12$.

Ответ: 12.

г) Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, нужно перенести запятую в делимом и делителе вправо на столько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе. После этого выполнить деление на натуральное число.

1. В делителе 0,048 три цифры после запятой. Перенесем запятую на 3 знака вправо и в делимом (14,4), и в делителе (0,048):

$14,4 \rightarrow 14400$

$0,048 \rightarrow 48$

2. Теперь задача сводится к делению $14400$ на $48$.

$14400 : 48 = 300$

Это можно посчитать так: $144 : 48 = 3$, и дописать два нуля, которые остались от делимого.

Можно также представить деление в виде дроби и сократить её:

$14,4 : 0,048 = \frac{14,4}{0,048} = \frac{14,4 \times 1000}{0,048 \times 1000} = \frac{14400}{48} = \frac{144 \cdot 100}{48} = 3 \cdot 100 = 300$.

Ответ: 300.

917. а) $4,295 + 7,35;$

б) $7,2391 - 3,957;$

в) $9,58 \cdot 0,45;$

г) $7,896 : 0,48.$

а)

Для сложения десятичных дробей необходимо записать их в столбик так, чтобы запятая находилась под запятой. Если у чисел разное количество знаков после запятой, его нужно уравнять, добавив справа нули. Затем выполняется сложение, как с натуральными числами, а запятая в результате ставится под запятыми слагаемых.

Уравняем количество знаков после запятой у числа $7,35$, добавив ноль: $7,35 = 7,350$.

Выполним сложение:

4,295+ 7,350------- 11,645

Таким образом, $4,295 + 7,35 = 11,645$.

Ответ: $11,645$.

б)

Вычитание десятичных дробей выполняется по тому же принципу, что и сложение: числа записываются в столбик, запятая под запятой, количество знаков после запятой уравнивается, после чего производится вычитание.

Уравняем количество знаков после запятой у числа $3,957$, добавив ноль: $3,957 = 3,9570$.

Выполним вычитание:

7,2391- 3,9570------- 3,2821

Таким образом, $7,2391 - 3,957 = 3,2821$.

Ответ: $3,2821$.

в)

Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятые. Затем в полученном произведении необходимо отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Умножим $958$ на $45$:

958× 45------ 4790+ 3832------ 43110

В первом множителе ($9,58$) две цифры после запятой, во втором ($0,45$) — тоже две. Всего $2+2=4$ цифры. Отделяем в произведении $43110$ четыре цифры справа, ставя запятую.

$9,58 \cdot 0,45 = 4,3110 = 4,311$.

Ответ: $4,311$.

г)

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, нужно в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе. После этого выполнить деление на натуральное число.

В делителе $0,48$ две цифры после запятой. Перенесем запятую на две цифры вправо в делимом $7,896$ и в делителе $0,48$. Получим пример: $789,6 : 48$.

Выполним деление столбиком:

1. Делим целую часть $78$ на $48$. Берем по $1$. $1 \cdot 48 = 48$. Находим остаток: $78 - 48 = 30$.
2. Сносим следующую цифру $9$. Делим $309$ на $48$. Берем по $6$. $6 \cdot 48 = 288$. Находим остаток: $309 - 288 = 21$.
3. Целая часть делимого закончилась, поэтому в частном ставим запятую. Сносим цифру $6$. Делим $216$ на $48$. Берем по $4$. $4 \cdot 48 = 192$. Находим остаток: $216 - 192 = 24$.
4. Дописываем к остатку ноль. Делим $240$ на $48$. Берем по $5$. $5 \cdot 48 = 240$. Остаток равен $0$.

Таким образом, $7,896 : 0,48 = 16,45$.

Ответ: $16,45$.

918. а) $5.728 \cdot 4.25 - 20.134;$

б) $87.162 : 4.38 + 13.78;$

в) $6.236 \cdot 12.5 : 0.625;$

г) $0.729 : 0.027 \cdot 3.126;$

д) $14.9445 : 4.05 - 5.69;$

е) $0.016 \cdot 0.3125 - 0.05.$

а) $5,728 \cdot 4,25 - 20,134$
В соответствии с порядком выполнения действий, сначала выполним умножение, а затем вычитание.
1. $5,728 \cdot 4,25 = 24,344$
2. $24,344 - 20,134 = 4,21$
Ответ: $4,21$.

б) $87,162 : 4,38 + 13,78$
Сначала выполним деление, а потом сложение.
1. $87,162 : 4,38 = 19,9$
2. $19,9 + 13,78 = 33,68$
Ответ: $33,68$.

в) $6,236 \cdot 12,5 : 0,625$
Действия умножения и деления выполняются по порядку слева направо.
1. $6,236 \cdot 12,5 = 77,95$
2. $77,95 : 0,625 = 124,72$
Ответ: $124,72$.

г) $0,729 : 0,027 \cdot 3,126$
Действия деления и умножения выполняются по порядку слева направо.
1. $0,729 : 0,027 = 27$
2. $27 \cdot 3,126 = 84,402$
Ответ: $84,402$.

д) $14,9445 : 4,05 - 5,69$
Сначала выполним деление, а затем вычитание.
1. $14,9445 : 4,05 = 3,69$
2. $3,69 - 5,69 = -2$
Ответ: $-2$.

е) $0,016 \cdot 0,3125 - 0,05$
Сначала выполним умножение, а потом вычитание.
1. $0,016 \cdot 0,3125 = 0,005$
2. $0,005 - 0,05 = -0,045$
Ответ: $-0,045$.

919. С помощью калькулятора найдите приближения обыкновенных дробей с недостатком по образцу:

а) $\frac{6}{9} \approx 0,666666$;

б) $\frac{7}{9}$;

в) $\frac{8}{9}$;

г) $\frac{1}{9}$;

д) $\frac{13}{99}$;

е) $\frac{25}{99}$;

ж) $\frac{79}{99}$;

з) $\frac{5}{99}$.

б)

Чтобы найти приближение обыкновенной дроби $\frac{7}{9}$ с недостатком, необходимо разделить числитель 7 на знаменатель 9 с помощью калькулятора. На дисплее калькулятора мы увидим бесконечную периодическую дробь.

$7 \div 9 = 0,7777777...$

Запишем приближенное значение, как в образце:

$\frac{7}{9} \approx 0,7777777$

Ответ: $\frac{7}{9} \approx 0,7777777$

в)

Чтобы найти приближение обыкновенной дроби $\frac{8}{9}$ с недостатком, разделим числитель 8 на знаменатель 9:

$8 \div 9 = 0,8888888...$

Запишем приближенное значение:

$\frac{8}{9} \approx 0,8888888$

Ответ: $\frac{8}{9} \approx 0,8888888$

г)

Чтобы найти приближение обыкновенной дроби $\frac{1}{9}$ с недостатком, разделим числитель 1 на знаменатель 9:

$1 \div 9 = 0,1111111...$

Запишем приближенное значение:

$\frac{1}{9} \approx 0,1111111$

Ответ: $\frac{1}{9} \approx 0,1111111$

д)

Чтобы найти приближение обыкновенной дроби $\frac{13}{99}$ с недостатком, разделим числитель 13 на знаменатель 99:

$13 \div 99 = 0,13131313...$

Запишем приближенное значение:

$\frac{13}{99} \approx 0,1313131$

Ответ: $\frac{13}{99} \approx 0,1313131$

е)

Чтобы найти приближение обыкновенной дроби $\frac{25}{99}$ с недостатком, разделим числитель 25 на знаменатель 99:

$25 \div 99 = 0,25252525...$

Запишем приближенное значение:

$\frac{25}{99} \approx 0,2525252$

Ответ: $\frac{25}{99} \approx 0,2525252$

ж)

Чтобы найти приближение обыкновенной дроби $\frac{79}{99}$ с недостатком, разделим числитель 79 на знаменатель 99:

$79 \div 99 = 0,79797979...$

Запишем приближенное значение:

$\frac{79}{99} \approx 0,7979797$

Ответ: $\frac{79}{99} \approx 0,7979797$

з)

Чтобы найти приближение обыкновенной дроби $\frac{5}{99}$ с недостатком, разделим числитель 5 на знаменатель 99:

$5 \div 99 = 0,05050505...$

Запишем приближенное значение:

$\frac{5}{99} \approx 0,0505050$

Ответ: $\frac{5}{99} \approx 0,0505050$

920. Вычислите с помощью калькулятора:
a) $1 : 9 \cdot 9$;
б) $4 : 7 \cdot 7$.
Точный или приближённый результат получился? Каков точный ответ?

а)

При вычислении на калькуляторе выражения $1 : 9 \cdot 9$ сначала выполняется деление $1$ на $9$. В результате получается бесконечная периодическая десятичная дробь $0,(1)$, то есть $0.11111...$ Калькулятор не может отобразить бесконечное число знаков и округляет результат, например, до $0.111111111$.

Далее это округленное число умножается на $9$: $0.111111111 \cdot 9 = 0.999999999$.

Этот результат ($0.999999999$) является приближённым, так как он получен в результате операции с предварительно округленным числом.

Точный ответ можно найти, если выполнить вычисления с обыкновенными дробями. Деление на $9$ и последующее умножение на $9$ — это взаимно обратные операции.

$1 : 9 \cdot 9 = \frac{1}{9} \cdot 9 = \frac{9}{9} = 1$.

Ответ: результат, полученный на калькуляторе, является приближённым. Точный ответ равен $1$.

б)

При вычислении на калькуляторе выражения $4 : 7 \cdot 7$ сначала $4$ делится на $7$. В результате также получается бесконечная периодическая десятичная дробь $0,(571428)$, то есть $0.571428571428...$ Калькулятор округляет это значение, например, до $0.571428571$.

При умножении этого округленного числа на $7$ получаем: $0.571428571 \cdot 7 = 3.999999997$.

Этот результат ($3.999999997$) также является приближённым из-за ошибки округления.

Для нахождения точного ответа воспользуемся обыкновенными дробями:

$4 : 7 \cdot 7 = \frac{4}{7} \cdot 7 = \frac{28}{7} = 4$.

Ответ: результат, полученный на калькуляторе, является приближённым. Точный ответ равен $4$.

921. Вычислите с помощью калькулятора:

а) $891 : 297$

б) $297 : 891$

в) $999.9999 \cdot 9$

г) $7777.7777 : 1.4$

а) Выполним деление числа 891 на 297. Для этого можно воспользоваться калькулятором или заметить, что $297 \cdot 3 = (300-3) \cdot 3 = 900 - 9 = 891$.
$891 : 297 = 3$
Ответ: 3

б) Выполним деление числа 297 на 891. Это действие, обратное предыдущему.
$297 : 891 = \frac{297}{891}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 297:
$\frac{297 \div 297}{891 \div 297} = \frac{1}{3}$
При делении 1 на 3 в столбик мы получаем бесконечную периодическую десятичную дробь.
$1 : 3 = 0,333... = 0,(3)$
Ответ: $0,(3)$

в) Выполним умножение десятичной дроби 999,9999 на 9.
$999,9999 \cdot 9 = 8999,9991$
Это можно проверить, представив 999,9999 как $(10000 - 0,0001)$:
$(10000 - 0,0001) \cdot 9 = 10000 \cdot 9 - 0,0001 \cdot 9 = 90000 - 0,0009 = 8999,9991$ (примечание: в условии задачи число 999,9999, а не 9999,9999).
Исправим расчет для числа из условия:
$999,9999 \cdot 9 = (1000 - 0,0001) \cdot 9 = 1000 \cdot 9 - 0,0001 \cdot 9 = 9000 - 0,0009 = 8999,9991$
Ответ: 8999,9991

г) Выполним деление десятичной дроби 7777,7777 на 1,4.
$7777,7777 : 1,4 = 5555,5555$
Для проверки можно выполнить обратное действие - умножение:
$5555,5555 \cdot 1,4 = 7777,7777$
Ответ: 5555,5555