Страница 171 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

899. Что значит округлить число с точностью до второй значащей цифры?

Округлить число с точностью до второй значащей цифры означает заменить его приближенным значением, в записи которого сохранены только две первые значащие цифры, а все последующие цифры заменены нулями (для целой части) или отброшены (для дробной части) в соответствии с правилами округления.

Шаг 1: Определение значащих цифр

Сначала необходимо определить значащие цифры в числе. Значащими цифрами числа являются все его цифры, начиная с первой слева, не равной нулю.

Например:

• В числе $528.3$ первая значащая цифра — $5$, вторая — $2$.
• В числе $0.0704$ первая значащая цифра — $7$, вторая — $0$.
• В числе $63000$ первая значащая цифра — $6$, вторая — $3$.

Шаг 2: Применение правила округления

После определения второй значащей цифры необходимо посмотреть на следующую за ней (третью значащую) цифру:

• Если третья значащая цифра равна $0, 1, 2, 3$ или $4$, то вторую значащую цифру оставляют без изменений (округление с недостатком).
• Если третья значащая цифра равна $5, 6, 7, 8$ или $9$, то вторую значащую цифру увеличивают на единицу (округление с избытком).

Все цифры, следующие за округляемым разрядом (второй значащей цифрой), заменяются нулями, если они стоят до десятичной запятой, или отбрасываются, если стоят после неё.

Примеры:

• Округлить число $17834$ до второй значащей цифры.
  Первая значащая цифра — $1$, вторая — $7$. Третья значащая цифра — $8$. Так как $8 \geq 5$, увеличиваем вторую цифру ($7$) на $1$, получая $8$. Все последующие цифры заменяем нулями. Результат: $18000$.

• Округлить число $0.02419$ до второй значащей цифры.
  Первая значащая цифра — $2$, вторая — $4$. Третья значащая цифра — $1$. Так как $1 < 5$, вторую цифру ($4$) оставляем без изменений. Все последующие цифры отбрасываем. Результат: $0.024$.

• Округлить число $405.8$ до второй значащей цифры.
  Первая значащая цифра — $4$, вторая — $0$. Третья значащая цифра — $5$. Так как $5 \geq 5$, увеличиваем вторую цифру ($0$) на $1$, получая $1$. Цифру $5$ до запятой заменяем на ноль, а цифру $8$ после запятой отбрасываем. Результат: $410$.

Таким образом, округление до второй значащей цифры — это способ упростить число, сохранив его приблизительную величину с двумя наиболее важными цифрами.Ответ:

900. Найдите приближение числа $a$ с недостатком с точностью до единицы третьего разряда после запятой:

а) $a = 0,3456;$

б) $a = 0,76543;$

в) $a = 0,02325;$

г) $a = -0,34354.$

Приближение числа $a$ с недостатком с точностью до единицы третьего разряда после запятой (то есть до $0,001$) — это такое число $x$ с тремя знаками после запятой, для которого выполняется неравенство $x \le a < x + 0,001$. Для положительных чисел это означает, что мы просто отбрасываем все цифры, следующие за третьим разрядом после запятой (округление вниз). Для отрицательных чисел нужно найти ближайшее число с тремя знаками после запятой, которое меньше или равно исходному числу (также округление вниз, то есть в сторону отрицательной бесконечности).

а)

Дано число $a = 0,3456$. Это положительное число. Чтобы найти его приближение с недостатком до третьего разряда после запятой, мы должны оставить первые три цифры после запятой и отбросить остальные. Третий разряд после запятой — это цифра 5. Отбрасываем цифру 6, которая идет после нее. Получаем $0,345$. Проверим неравенство: $0,345 \le 0,3456 < 0,345 + 0,001$, то есть $0,345 \le 0,3456 < 0,346$. Неравенство верное.
Ответ: $0,345$.

б)

Дано число $a = 0,76543$. Это положительное число. Аналогично пункту а), оставляем первые три цифры после запятой (7, 6, 5) и отбрасываем все последующие (4, 3). Получаем $0,765$. Проверим неравенство: $0,765 \le 0,76543 < 0,765 + 0,001$, то есть $0,765 \le 0,76543 < 0,766$. Неравенство верное.
Ответ: $0,765$.

в)

Дано число $a = 0,02325$. Это положительное число. Оставляем первые три цифры после запятой (0, 2, 3) и отбрасываем остальные (2, 5). Получаем $0,023$. Проверим неравенство: $0,023 \le 0,02325 < 0,023 + 0,001$, то есть $0,023 \le 0,02325 < 0,024$. Неравенство верное.
Ответ: $0,023$.

г)

Дано число $a = -0,34354$. Это отрицательное число. Приближение с недостатком — это наибольшее число с тремя знаками после запятой, которое не превышает данное число. Рассмотрим числа с тремя знаками после запятой, близкие к $-0,34354$: это $-0,343$ и $-0,344$. Сравним их с исходным числом на числовой прямой: $-0,344 < -0,34354 < -0,343$. Нам нужно выбрать то число, которое меньше или равно $-0,34354$. Это число $-0,344$. Проверим неравенство: $-0,344 \le -0,34354 < -0,344 + 0,001$, то есть $-0,344 \le -0,34354 < -0,343$. Неравенство верное.
Ответ: $-0,344$.

901. Найдите приближение числа $a$ с избытком с точностью до единицы второго разряда после запятой:

а) $a = 1,2345$;

б) $a = 3,56789$;

в) $a = 2,577$;

г) $a = 2,555$.

Чтобы найти приближение числа с избытком с точностью до единицы второго разряда после запятой (до сотых), необходимо найти наименьшее число с двумя знаками после запятой, которое будет больше или равно исходному числу. Это также известно как округление вверх до сотых.

Алгоритм действий следующий:

1. Оставляем у числа целую часть и первые две цифры после запятой.
2. Смотрим на цифры, которые следуют за вторым знаком после запятой.
3. Если после второго знака есть хотя бы одна ненулевая цифра, то цифру во втором разряде после запятой (в разряде сотых) увеличиваем на 1.
4. Если после второго знака все цифры — нули (или их нет), то число не изменяется.

Применим этот алгоритм к каждому случаю.

а) $a = 1,2345$

Оставляем два знака после запятой, получаем $1,23$.

Цифры после второго знака ($45$) не являются нулями. Следовательно, для получения приближения с избытком, мы должны увеличить разряд сотых на единицу.

$1,23 + 0,01 = 1,24$.

Действительно, $1,23 < 1,2345 \le 1,24$. Наименьшее число с двумя знаками после запятой, которое больше или равно $1,2345$, это $1,24$.

Ответ: $1,24$.

б) $a = 3,56789$

Оставляем два знака после запятой, получаем $3,56$.

Цифры после второго знака ($789$) не являются нулями. Поэтому увеличиваем разряд сотых на единицу.

$3,56 + 0,01 = 3,57$.

Действительно, $3,56 < 3,56789 \le 3,57$. Наименьшее число с двумя знаками после запятой, которое больше или равно $3,56789$, это $3,57$.

Ответ: $3,57$.

в) $a = 2,577$

Оставляем два знака после запятой, получаем $2,57$.

Цифра после второго знака ($7$) не является нулем. Поэтому увеличиваем разряд сотых на единицу.

$2,57 + 0,01 = 2,58$.

Действительно, $2,57 < 2,577 \le 2,58$. Наименьшее число с двумя знаками после запятой, которое больше или равно $2,577$, это $2,58$.

Ответ: $2,58$.

г) $a = 2,555$

Оставляем два знака после запятой, получаем $2,55$.

Цифра после второго знака ($5$) не является нулем. Поэтому увеличиваем разряд сотых на единицу.

$2,55 + 0,01 = 2,56$.

Действительно, $2,55 < 2,555 \le 2,56$. Наименьшее число с двумя знаками после запятой, которое больше или равно $2,555$, это $2,56$.

Ответ: $2,56$.

902. Округлите число $a$ с точностью до $0,01$:

а) $a = 1,24851$;

б) $a = 1,24158$;

в) $a = -7,02303$;

г) $a = 0,12528$.

а) Чтобы округлить число $a = 1,24851$ с точностью до $0,01$, то есть до сотых, необходимо посмотреть на цифру, стоящую в следующем разряде (в разряде тысячных). Это третья цифра после запятой. В данном числе это цифра 8.

Согласно правилу округления, если цифра в следующем разряде равна 5 или больше, то цифра в округляемом разряде (сотых) увеличивается на единицу, а все последующие цифры отбрасываются. Поскольку $8 \ge 5$, мы увеличиваем цифру сотых, которая равна 4, на 1. Получаем 5.

Таким образом, $1,24851 \approx 1,25$.

Ответ: 1,25

б) Округляем число $a = 1,24158$ до сотых. Смотрим на третью цифру после запятой — это 1.

Согласно правилу округления, если цифра в следующем разряде меньше 5, то цифра в округляемом разряде (сотых) остается без изменений, а все последующие цифры отбрасываются. Поскольку $1 < 5$, мы оставляем цифру сотых, равную 4, без изменений.

Таким образом, $1,24158 \approx 1,24$.

Ответ: 1,24

в) Округляем число $a = -7,02303$ до сотых. Третья цифра после запятой — это 3.

Так как $3 < 5$, цифра в разряде сотых (2) остается без изменений. Знак числа при округлении сохраняется.

Таким образом, $-7,02303 \approx -7,02$.

Ответ: -7,02

г) Округляем число $a = 0,12528$ до сотых. Третья цифра после запятой — это 5.

Так как $5 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в разряде сотых, которая равна 2, на 1. Получаем 3.

Таким образом, $0,12528 \approx 0,13$.

Ответ: 0,13

903. Округлите число $a$ с точностью до $0{,}001$:

а) $a = 8{,}91011\dots$;

б) $a = -8{,}91011\dots$;

в) $a = 0{,}2626$;

г) $a = 0{,}6265$.

Округление числа с точностью до 0,001 означает, что необходимо оставить три знака после запятой, применив стандартные правила округления. Для этого мы смотрим на четвертую цифру после запятой:
- если она меньше 5 (0, 1, 2, 3, 4), то третья цифра после запятой не меняется, а все последующие отбрасываются.
- если она равна 5 или больше (5, 6, 7, 8, 9), то третья цифра после запятой увеличивается на единицу, а все последующие отбрасываются.

а) Дано число $a = 8,91011...$. Третий знак после запятой — 0. Четвертый знак после запятой — 1. Так как $1 < 5$, то цифру в разряде тысячных (0) оставляем без изменений, а последующие цифры отбрасываем.
$8,91011... \approx 8,910$
Ответ: $8,910$.

б) Дано число $a = -8,91011...$. Округление отрицательных чисел происходит по тем же правилам, что и для положительных (округляется модуль числа). Третий знак после запятой — 0. Четвертый знак после запятой — 1. Так как $1 < 5$, то цифру в разряде тысячных (0) оставляем без изменений, а последующие цифры отбрасываем. Знак минус сохраняется.
$-8,91011... \approx -8,910$
Ответ: $-8,910$.

в) Дано число $a = 0,2626$. Третий знак после запятой — 2. Четвертый знак после запятой — 6. Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных (2) увеличиваем на единицу ($2+1=3$), а последующие цифры отбрасываем.
$0,2626 \approx 0,263$
Ответ: $0,263$.

г) Дано число $a = 0,6265$. Третий знак после запятой — 6. Четвертый знак после запятой — 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных (6) увеличиваем на единицу ($6+1=7$), а последующие цифры отбрасываем.
$0,6265 \approx 0,627$
Ответ: $0,627$.

904. Подчеркните значащие цифры числа:

а) $3.52$;
б) $0.352$;
в) $0.03520$;
г) $7.405$;
д) $4.203$;
е) $0.005$;
ж) $0.0420$;
з) $7.0003$;
и) $10.0050$;
к) $6.700$;
л) $0.00067$;
м) $0.0100$.

Значащими цифрами числа (или мантиссы числа) называются все его цифры, начиная с первой слева, отличной от нуля. Понимание значащих цифр основывается на следующих правилах:

• Любая цифра, отличная от нуля, является значащей.
• Нули, расположенные между двумя значащими цифрами, являются значащими.
• Нули в начале числа (слева от первой ненулевой цифры) не являются значащими.
• Нули в конце дробной части числа (после десятичной запятой) являются значащими.

Применим эти правила к каждому числу.

а) В числе $3,52$ все цифры ($3, 5, 2$) не равны нулю, поэтому все они являются значащими.
Ответ: $3,52$.

б) В числе $0,352$ ноль слева от запятой не является значащим, так как стоит перед первой ненулевой цифрой. Цифры $3, 5, 2$ являются значащими.
Ответ: $0,352$.

в) В числе $0,03520$ первые два нуля не являются значащими. Цифры $3, 5, 2$ значащие. Ноль на конце числа также является значащим, так как он стоит в дробной части после других значащих цифр.
Ответ: $0,03520$.

г) В числе $7,405$ цифры $7, 4, 5$ являются значащими. Ноль находится между значащими цифрами ($4$ и $5$), поэтому он также является значащим.
Ответ: $7,405$.

д) В числе $4,203$ цифры $4, 2, 3$ являются значащими. Ноль находится между значащими цифрами ($2$ и $3$), поэтому он также является значащим.
Ответ: $4,203$.

е) В числе $0,005$ нули, стоящие слева от цифры $5$, не являются значащими. Значащей является только цифра $5$.
Ответ: $0,005$.

ж) В числе $0,0420$ первые два нуля не являются значащими. Цифры $4$ и $2$ значащие. Ноль на конце десятичной дроби является значащим.
Ответ: $0,0420$.

з) В числе $7,0003$ цифры $7$ и $3$ являются значащими. Все нули, находящиеся между ними, также являются значащими.
Ответ: $7,0003$.

и) В числе $10,0050$ первая цифра $1$ и цифра $5$ являются значащими. Нули между ними также значащие. Ноль на конце десятичной дроби также является значащим. Следовательно, все цифры в этом числе значащие.
Ответ: $10,0050$.

к) В числе $6,700$ цифры $6$ и $7$ являются значащими. Нули на конце десятичной дроби также являются значащими.
Ответ: $6,700$.

л) В числе $0,00067$ нули, стоящие слева от цифры $6$, не являются значащими. Значащими являются цифры $6$ и $7$.
Ответ: $0,00067$.

м) В числе $0,0100$ первые два нуля не являются значащими. Цифра $1$ является значащей. Два нуля на конце десятичной дроби также являются значащими.
Ответ: $0,0100$.

905. Округлите число 1995,1996:

а) до десятых;

б) до сотых;

в) до тысячных;

г) до единиц;

д) до десятков;

е) до сотен.

Для округления числа $1995,1996$ воспользуемся стандартными правилами округления. Мы смотрим на цифру, следующую за разрядом, до которого нужно округлить. Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифра в округляемом разряде не меняется, а все последующие цифры справа отбрасываются. Если же эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу, а все последующие отбрасываются.

а) до десятых

Исходное число: $1995,1996$. Разряд десятых — это первая цифра после запятой, то есть 1. Следующая за ней цифра — 9 (в разряде сотых). Так как $9 \geq 5$, то цифру в разряде десятых мы увеличиваем на 1: $1 + 1 = 2$. Все последующие цифры отбрасываем.

$1995,1\underline{9}96 \approx 1995,2$

Ответ: $1995,2$

б) до сотых

Исходное число: $1995,1996$. Разряд сотых — это вторая цифра после запятой, то есть 9. Следующая за ней цифра — 9 (в разряде тысячных). Так как $9 \geq 5$, то цифру в разряде сотых мы увеличиваем на 1: $9 + 1 = 10$. Это приводит к переносу единицы в старший разряд (десятых). Цифра в разряде десятых (1) увеличивается на 1 и становится 2, а в разряде сотых остается 0.

$1995,19\underline{9}6 \approx 1995,20$

Ответ: $1995,20$

в) до тысячных

Исходное число: $1995,1996$. Разряд тысячных — это третья цифра после запятой, то есть 9. Следующая за ней цифра — 6 (в разряде десятитысячных). Так как $6 \geq 5$, то цифру в разряде тысячных мы увеличиваем на 1: $9 + 1 = 10$. Это приводит к переносу единицы в старший разряд (сотых). Цифра в разряде сотых (9) становится $9+1=10$, что в свою очередь приводит к переносу единицы в разряд десятых. Цифра в разряде десятых (1) становится $1+1=2$. В разрядах сотых и тысячных остаются нули.

$1995,199\underline{6} \approx 1995,200$

Ответ: $1995,200$

г) до единиц

Исходное число: $1995,1996$. Разряд единиц — это первая цифра слева от запятой, то есть 5. Следующая за ней цифра — 1 (в разряде десятых). Так как $1 < 5$, то цифру в разряде единиц мы оставляем без изменений, а всю дробную часть отбрасываем.

$199\underline{5},1996 \approx 1995$

Ответ: $1995$

д) до десятков

Исходное число: $1995,1996$. Разряд десятков — это вторая цифра слева от запятой, то есть 9. Следующая за ней цифра — 5 (в разряде единиц). Так как $5 \geq 5$, то цифру в разряде десятков мы увеличиваем на 1: $9 + 1 = 10$. Это приводит к переносу единицы в старший разряд (сотен). Цифра в разряде сотен (9) становится $9+1=10$, что приводит к переносу единицы в разряд тысяч. Цифра в разряде тысяч (1) становится $1+1=2$. Разряды сотен, десятков и единиц заменяются нулями.

$19\underline{9}5,1996 \approx 2000$

Ответ: $2000$

е) до сотен

Исходное число: $1995,1996$. Разряд сотен — это третья цифра слева от запятой, то есть 9. Следующая за ней цифра — 9 (в разряде десятков). Так как $9 \geq 5$, то цифру в разряде сотен мы увеличиваем на 1: $9 + 1 = 10$. Это приводит к переносу единицы в старший разряд (тысяч). Цифра в разряде тысяч (1) становится $1+1=2$. Разряды сотен, десятков и единиц заменяются нулями.

$1\underline{9}95,1996 \approx 2000$

Ответ: $2000$

906. Округлите число 1039,9301 до семи; шести; пяти; четырёх; трёх значащих цифр.

Для округления числа до определенного количества значащих цифр необходимо выполнить следующие шаги:

1. Отсчитать слева направо нужное количество значащих цифр.
2. Посмотреть на следующую за ними цифру.
3. Если эта цифра 5 или больше, то последнюю из оставленных цифр увеличить на 1.
4. Если эта цифра меньше 5, то последнюю из оставленных цифр не изменять.
5. Все последующие цифры в дробной части отбросить, а в целой части — заменить нулями для сохранения разряда числа.

Исходное число: $1039,9301$. В нём 8 значащих цифр (все цифры, кроме ведущих нулей, являются значащими; в данном числе ведущих нулей нет).

Чтобы округлить число $1039,9301$ до семи значащих цифр, мы сохраняем первые семь цифр: $1, 0, 3, 9, 9, 3, 0$. Следующая (восьмая) цифра — $1$. Так как $1 < 5$, последнюю сохраняемую цифру ($0$) оставляем без изменений. Отбрасываем оставшиеся цифры.
$1039,9301 \approx 1039,930$.
Ответ: $1039,930$

Чтобы округлить до шести значащих цифр, сохраняем первые шесть: $1, 0, 3, 9, 9, 3$. Следующая (седьмая) цифра — $0$. Так как $0 < 5$, последнюю сохраняемую цифру ($3$) оставляем без изменений. Отбрасываем оставшиеся цифры.
$1039,9301 \approx 1039,93$.
Ответ: $1039,93$

Чтобы округлить до пяти значащих цифр, сохраняем первые пять: $1, 0, 3, 9, 9$. Следующая (шестая) цифра — $3$. Так как $3 < 5$, последнюю сохраняемую цифру ($9$) оставляем без изменений. Отбрасываем оставшиеся цифры.
$1039,9301 \approx 1039,9$.
Ответ: $1039,9$

Чтобы округлить до четырёх значащих цифр, сохраняем первые четыре: $1, 0, 3, 9$. Следующая (пятая) цифра — $9$. Так как $9 \ge 5$, последнюю сохраняемую цифру ($9$) увеличиваем на единицу. Это приводит к увеличению всего числа $1039$ на $1$, получается $1040$. Дробную часть отбрасываем.
$1039,9301 \approx 1040$.
Ответ: $1040$

Чтобы округлить до трёх значащих цифр, сохраняем первые три: $1, 0, 3$. Следующая (четвёртая) цифра — $9$. Так как $9 \ge 5$, последнюю сохраняемую цифру ($3$) увеличиваем на единицу, получаем $104$. Чтобы сохранить порядок числа (тысячи), цифру в разряде единиц заменяем нулём. Дробную часть отбрасываем.
$1039,9301 \approx 1040$.
Ответ: $1040$