Страница 166 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

868. a) Число $a$ больше числа $b$ в $1.25$ раза; в $1.32$ раза; в $1.5$ раза. На сколько процентов число $a$ больше числа $b$?

б) Число $a$ больше числа $b$ на $25\%$; на $48\%$; на $60\%$. Во сколько раз число $a$ больше числа $b$?

а)

Для того чтобы найти, на сколько процентов число $a$ больше числа $b$, если известно, что $a$ больше $b$ в $k$ раз (то есть $a = k \cdot b$), можно использовать общую формулу для нахождения процентного увеличения: $\frac{a - b}{b} \times 100\%$. Подставив $a = k \cdot b$, получим: $\frac{k \cdot b - b}{b} \times 100\% = \frac{b(k-1)}{b} \times 100\% = (k-1) \times 100\%$.

1. Если число $a$ больше числа $b$ в 1,25 раза, то $k = 1,25$.

Процентное увеличение составляет: $(1,25 - 1) \times 100\% = 0,25 \times 100\% = 25\%$.

Ответ: на 25%.

2. Если число $a$ больше числа $b$ в 1,32 раза, то $k = 1,32$.

Процентное увеличение составляет: $(1,32 - 1) \times 100\% = 0,32 \times 100\% = 32\%$.

Ответ: на 32%.

3. Если число $a$ больше числа $b$ в 1,5 раза, то $k = 1,5$.

Процентное увеличение составляет: $(1,5 - 1) \times 100\% = 0,5 \times 100\% = 50\%$.

Ответ: на 50%.

б)

Для того чтобы найти, во сколько раз число $a$ больше числа $b$, если известно, что $a$ больше $b$ на $P$ процентов, можно использовать формулу: $a = b + \frac{P}{100} \cdot b = b \cdot (1 + \frac{P}{100})$. Отношение $\frac{a}{b}$ покажет, во сколько раз $a$ больше $b$. Это отношение равно $k = 1 + \frac{P}{100}$.

1. Если число $a$ больше числа $b$ на 25%, то $P=25$.

Число $a$ больше числа $b$ в $1 + \frac{25}{100} = 1 + 0,25 = 1,25$ раза.

Ответ: в 1,25 раза.

2. Если число $a$ больше числа $b$ на 48%, то $P=48$.

Число $a$ больше числа $b$ в $1 + \frac{48}{100} = 1 + 0,48 = 1,48$ раза.

Ответ: в 1,48 раза.

3. Если число $a$ больше числа $b$ на 60%, то $P=60$.

Число $a$ больше числа $b$ в $1 + \frac{60}{100} = 1 + 0,6 = 1,6$ раза.

Ответ: в 1,6 раза.

869. a) Некоторую сумму положили в банк под $20\%$ годовых. Во сколько раз увеличится вложенная сумма за 5 лет, если начисляют простые проценты?

б) Некоторую сумму положили в банк под $20\%$ годовых. Во сколько раз увеличится вложенная сумма за 4 года, если начисляют сложные проценты?

а)

Пусть $S$ - первоначальная сумма, вложенная в банк. Годовая процентная ставка составляет $r = 20\% = 0,2$. Срок вклада $n = 5$ лет.

При начислении простых процентов ежегодный доход составляет $S \cdot r$. За $n$ лет общий доход от процентов будет равен $n \cdot S \cdot r$. Итоговая сумма на счете $S_n$ через $n$ лет вычисляется по формуле:
$S_n = S + n \cdot S \cdot r = S(1 + n \cdot r)$

Подставим наши значения в формулу:
$S_5 = S(1 + 5 \cdot 0,2) = S(1 + 1) = 2S$

Чтобы узнать, во сколько раз увеличилась вложенная сумма, найдем отношение конечной суммы к начальной:
$\frac{S_5}{S} = \frac{2S}{S} = 2$

Ответ: в 2 раза.

б)

Пусть $S$ - первоначальная сумма, вложенная в банк. Годовая процентная ставка составляет $r = 20\% = 0,2$. Срок вклада $n = 4$ года.

При начислении сложных процентов проценты за каждый следующий год начисляются на сумму, которая уже включает проценты за предыдущие годы. Итоговая сумма $S_n$ через $n$ лет вычисляется по формуле:
$S_n = S(1 + r)^n$

Подставим наши значения в формулу:
$S_4 = S(1 + 0,2)^4 = S(1,2)^4$

Вычислим значение $(1,2)^4$:
$(1,2)^2 = 1,44$
$(1,2)^4 = (1,2)^2 \cdot (1,2)^2 = 1,44 \cdot 1,44 = 2,0736$
Следовательно, $S_4 = 2,0736S$.

Чтобы узнать, во сколько раз увеличилась вложенная сумма, найдем отношение конечной суммы к начальной:
$\frac{S_4}{S} = \frac{2,0736S}{S} = 2,0736$

Ответ: в 2,0736 раза.

870. Сбербанк России с 1 октября 1993 года начислял доход из расчёта: 150 % за хранение денег в банке в течение года; 65 % за хранение денег в банке в течение 6 месяцев; 30 % за хранение денег в банке в течение 3 месяцев. Каким образом при этих условиях можно было получить наибольший доход на сумму 100 000 р.? Каков этот наибольший доход?

Для определения наиболее выгодного способа вложения суммы в 100 000 рублей на один год, необходимо рассчитать итоговый доход для каждой из возможных стратегий, учитывая эффект сложных процентов (капитализацию) при краткосрочных вкладах.

Вариант 1: Вклад на 12 месяцев.

В этом случае доход начисляется один раз в конце года по ставке 150%.

Сумма вклада в конце года: $S_1 = 100\ 000 \cdot (1 + \frac{150}{100}) = 100\ 000 \cdot 2.5 = 250\ 000$ рублей.

Доход составит: $D_1 = 250\ 000 - 100\ 000 = 150\ 000$ рублей.

Вариант 2: Два вклада по 6 месяцев.

Деньги вкладываются на 6 месяцев под 65%. Затем вся полученная сумма (вклад + проценты) снова вкладывается на 6 месяцев под 65%.

Сумма после первых 6 месяцев: $100\ 000 \cdot (1 + \frac{65}{100}) = 165\ 000$ рублей.

Сумма в конце года (после второго вклада): $S_2 = 165\ 000 \cdot (1 + \frac{65}{100}) = 165\ 000 \cdot 1.65 = 272\ 250$ рублей.

Доход составит: $D_2 = 272\ 250 - 100\ 000 = 172\ 250$ рублей.

Вариант 3: Четыре вклада по 3 месяца.

Деньги четыре раза подряд вкладываются на 3 месяца под 30% с капитализацией процентов после каждого периода.

Формула для расчета итоговой суммы: $S_3 = 100\ 000 \cdot (1 + \frac{30}{100})^4 = 100\ 000 \cdot (1.3)^4$.

Выполним расчет: $1.3^2 = 1.69$; $1.69^2 = 2.8561$.

Итоговая сумма: $S_3 = 100\ 000 \cdot 2.8561 = 285\ 610$ рублей.

Доход составит: $D_3 = 285\ 610 - 100\ 000 = 185\ 610$ рублей.

Сравним полученные доходы:

• Вариант 1 (12 мес.): 150 000 р.
• Вариант 2 (2 по 6 мес.): 172 250 р.
• Вариант 3 (4 по 3 мес.): 185 610 р.

Наибольший доход получается при последовательном четырехкратном вложении денег на 3 месяца.

Каким образом при этих условиях можно было получить наибольший доход на сумму 100 000 р.?

Для получения наибольшего дохода необходимо было вложить сумму 100 000 рублей в банк на 3 месяца, а затем по истечении каждого трехмесячного срока снова вкладывать всю сумму (первоначальный вклад вместе с начисленными процентами) на следующие 3 месяца. Эту операцию нужно было повторить 4 раза в течение года.

Ответ: Последовательно 4 раза вложить деньги на 3 месяца, каждый раз капитализируя полученный доход.

Каков этот наибольший доход?

Наибольший доход, полученный по стратегии четырехкратного вложения на 3 месяца, составляет 185 610 рублей.

Ответ: 185 610 рублей.

871. Компания X выплачивает доход по своим акциям ежегодно из расчёта 40 % годовых. Компания Y выплачивает доход по акциям 1 раз в полгода из того же расчёта. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?

Для того чтобы определить, в акции какой компании выгоднее вкладывать деньги, необходимо рассчитать и сравнить итоговую сумму через год для каждой компании при одинаковом начальном вложении. Обозначим начальную сумму вложения как $S$.

Компания X

Компания X начисляет доход ежегодно по ставке 40% годовых. Это означает, что расчет производится по формуле простых процентов один раз в год.

Сумма через год ($S_X$) будет равна начальной сумме плюс 40% от нее:

$S_X = S + S \cdot 0.40 = S \cdot (1 + 0.40) = 1.4S$

Таким образом, доходность за год составляет 40%.

Компания Y

Компания Y выплачивает доход раз в полгода, исходя из той же годовой ставки 40%. Это означает, что начисление процентов происходит дважды в год, и применяется механизм сложных процентов (капитализация).

Ставка за каждый период (полгода) будет равна половине годовой ставки:

$r_{полгода} = \frac{40\%}{2} = 20\%$ или $0.2$

Рассчитаем сумму через первые полгода:

$S_1 = S + S \cdot 0.2 = S \cdot (1 + 0.2) = 1.2S$

Теперь эта новая сумма ($S_1$) является базой для начисления процентов за второе полугодие. Рассчитаем итоговую сумму ($S_Y$) в конце года:

$S_Y = S_1 + S_1 \cdot 0.2 = S_1 \cdot (1 + 0.2) = (1.2S) \cdot 1.2 = 1.44S$

Общий доход за год составит $1.44S - S = 0.44S$, что соответствует эффективной годовой ставке 44%.

Сравнение

Сравним итоговые суммы через год:

Для компании X: $S_X = 1.4S$ (доход 40%)

Для компании Y: $S_Y = 1.44S$ (доход 44%)

Поскольку $1.44S > 1.4S$, вложение в акции компании Y принесет больший доход.

Ответ: Выгоднее вложить деньги в акции компании Y.

872. Обломов похудел на $25 \%$, потом прибавил в весе на $20 \%$, похудел на $10 \%$, потом прибавил в весе на $20 \%$. Прибавил Обломов в весе или похудел?

Чтобы ответить на вопрос, нужно последовательно рассчитать, как менялся вес Обломова. Примем его первоначальный вес за $x$.

1. Сначала Обломов похудел на 25%. Его вес стал составлять $100\% - 25\% = 75\%$ от первоначального. Чтобы найти новый вес, умножим исходный на коэффициент, соответствующий 75%:

$x \cdot (1 - 0.25) = 0.75x$

2. Затем он прибавил 20% к своему текущему весу ($0.75x$). Его вес стал равен $100\% + 20\% = 120\%$ от текущего. Умножим на соответствующий коэффициент 1.2:

$0.75x \cdot (1 + 0.20) = 0.75x \cdot 1.2 = 0.9x$

3. После этого он похудел на 10% от веса $0.9x$. Его вес стал равен $100\% - 10\% = 90\%$ от текущего. Умножим на 0.9:

$0.9x \cdot (1 - 0.10) = 0.9x \cdot 0.9 = 0.81x$

4. Наконец, он прибавил еще 20% к весу $0.81x$. Итоговый вес составил $100\% + 20\% = 120\%$ от предыдущего значения. Умножим на 1.2:

$0.81x \cdot (1 + 0.20) = 0.81x \cdot 1.2 = 0.972x$

Теперь сравним итоговый вес ($0.972x$) с первоначальным весом ($x$).

Поскольку $0.972x < x$, то итоговый вес Обломова стал меньше, чем был вначале. Это означает, что он похудел.

Итоговый вес составляет 97.2% от первоначального, следовательно, Обломов похудел на $100\% - 97.2\% = 2.8\%$.

Ответ: Обломов похудел.

873. Служащая фирмы сказала: «Производство продукции нашей фирмы увеличится на $200 \%$ или в $2$ раза». Исправьте её ошибку, если верно условие:

а) на $200 \%$;

б) в $2$ раза.

Служащая фирмы допустила ошибку, так как увеличение «на X%» и увеличение «в Y раз» связаны, но не эквивалентны в её утверждении. Разберем оба случая, приняв первоначальный объем производства за $P$.

а) на 200 %

Если производство увеличится на 200 %, это означает, что к первоначальному объему $P$ (100 %) прибавится еще 200 % от этого же объема.

Новый объем производства составит:

$P_{новый} = P + P \times \frac{200}{100} = P + 2P = 3P$

Чтобы определить, во сколько раз увеличилось производство, необходимо разделить новый объем на первоначальный:

$\frac{P_{новый}}{P} = \frac{3P}{P} = 3$

Таким образом, увеличение на 200 % эквивалентно увеличению в 3 раза, а не в 2 раза, как сказала служащая.

Правильное утверждение: «Производство продукции нашей фирмы увеличится на 200 %, или в 3 раза».

Ответ: в 3 раза.

б) в 2 раза

Если производство увеличится в 2 раза, то новый объем продукции станет равен:

$P_{новый} = 2 \times P = 2P$

Найдем, на сколько процентов увеличился объем. Прирост составил:

$P_{новый} - P = 2P - P = P$

Чтобы выразить этот прирост в процентах, разделим его величину на первоначальный объем и умножим на 100 %:

$\frac{P}{P} \times 100\% = 1 \times 100\% = 100\%$

Следовательно, увеличение в 2 раза эквивалентно увеличению на 100 %, а не на 200 %, как сказала служащая.

Правильное утверждение: «Производство продукции нашей фирмы увеличится на 100 %, или в 2 раза».

Ответ: на 100 %.

874. Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь? Зависит ли результат от того, какую пару сторон увеличили на 10 %?

Пусть стороны исходного прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда его первоначальная площадь $S_1$ равна произведению сторон:

$S_1 = a \cdot b$

Увеличение величины на 10% означает, что новая величина составит 100% + 10% = 110% от старой, что эквивалентно умножению на коэффициент 1,1.

Рассмотрим два возможных случая, чтобы проверить, зависит ли результат от выбора пары сторон.

Случай 1: Увеличили на 10% две противоположные стороны длиной $a$.
Новая длина этой стороны станет $a' = 1.1a$. Вторая сторона $b$ остаётся без изменений. Новая площадь $S_2$ будет равна:
$S_2 = a' \cdot b = (1.1a) \cdot b = 1.1 \cdot (a \cdot b) = 1.1 S_1$.

Случай 2: Увеличили на 10% две противоположные стороны длиной $b$.
Новая длина этой стороны станет $b' = 1.1b$. Первая сторона $a$ остаётся без изменений. Новая площадь $S_3$ будет равна:
$S_3 = a \cdot b' = a \cdot (1.1b) = 1.1 \cdot (a \cdot b) = 1.1 S_1$.

Как видим, в обоих случаях новая площадь стала в 1,1 раза больше первоначальной. Теперь можно ответить на вопросы задачи.

На сколько процентов увеличилась его площадь?

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась площадь, найдем разницу между новой и старой площадью, разделим её на старую площадь и умножим на 100%.

Процентное увеличение = $\frac{S_{новая} - S_1}{S_1} \cdot 100\% = \frac{1.1 S_1 - S_1}{S_1} \cdot 100\% = \frac{0.1 S_1}{S_1} \cdot 100\% = 0.1 \cdot 100\% = 10\%$.

Ответ: площадь прямоугольника увеличилась на 10 %.

Зависит ли результат от того, какую пару сторон увеличили на 10 %?

Как показывают расчеты для обоих случаев, итоговое увеличение площади одинаково и составляет 10%. Следовательно, результат не зависит от того, какую пару противоположных сторон (длину или ширину) увеличили.

Ответ: нет, результат не зависит.

875. а) Все стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?

б) Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие — уменьшили на 20 %. Как изменилась площадь прямоугольника?

а)

Пусть первоначальные стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда его первоначальная площадь $S_1$ вычисляется по формуле:
$S_1 = a \times b$
После увеличения каждой стороны на 10%, новые длины сторон, $a'$ и $b'$, станут:
$a' = a + a \times \frac{10}{100} = a + 0.1a = 1.1a$
$b' = b + b \times \frac{10}{100} = b + 0.1b = 1.1b$
Новая площадь прямоугольника, $S_2$, будет равна произведению новых сторон:
$S_2 = a' \times b' = (1.1a) \times (1.1b) = 1.21 \times (a \times b) = 1.21 S_1$
Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась площадь, найдем разницу между новой и старой площадью, разделим на старую площадь и выразим в процентах:
$\frac{S_2 - S_1}{S_1} \times 100\% = \frac{1.21 S_1 - S_1}{S_1} \times 100\% = \frac{0.21 S_1}{S_1} \times 100\% = 0.21 \times 100\% = 21\%$
Ответ: площадь увеличилась на 21%.

б)

Пусть первоначальные стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а его площадь $S_1 = a \times b$.
Две противоположные стороны (например, стороны длиной $a$) увеличили на 20%. Новая длина этих сторон, $a'$, станет:
$a' = a + a \times \frac{20}{100} = a + 0.2a = 1.2a$
Две другие стороны (длиной $b$) уменьшили на 20%. Их новая длина, $b'$, станет:
$b' = b - b \times \frac{20}{100} = b - 0.2b = 0.8b$
Новая площадь прямоугольника, $S_2$, будет равна:
$S_2 = a' \times b' = (1.2a) \times (0.8b) = 0.96 \times (a \times b) = 0.96 S_1$
Чтобы найти, как изменилась площадь, найдем процентное изменение:
$\frac{S_2 - S_1}{S_1} \times 100\% = \frac{0.96 S_1 - S_1}{S_1} \times 100\% = \frac{-0.04 S_1}{S_1} \times 100\% = -0.04 \times 100\% = -4\%$
Отрицательное значение означает, что площадь уменьшилась.
Ответ: площадь уменьшилась на 4%.

876. Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие — уменьшили на 10 %. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

Для решения этой задачи обозначим первоначальные стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

Первоначальная площадь прямоугольника ($S_1$) равна произведению его сторон:
$S_1 = a \times b$

По условию, две противоположные стороны (например, стороны длиной $a$) увеличили на 20%. Новая длина этих сторон ($a'$) станет:
$a' = a + a \times \frac{20}{100} = a + 0.2a = 1.2a$

Две другие стороны (длиной $b$) уменьшили на 10%. Их новая длина ($b'$) составит:
$b' = b - b \times \frac{10}{100} = b - 0.1b = 0.9b$

Теперь вычислим новую площадь прямоугольника ($S_2$) с новыми сторонами $a'$ и $b'$:
$S_2 = a' \times b' = (1.2a) \times (0.9b) = (1.2 \times 0.9) \times (a \times b) = 1.08 \times (a \times b)$

Поскольку $S_1 = a \times b$, мы можем выразить новую площадь через старую:
$S_2 = 1.08 \times S_1$

Это означает, что новая площадь составляет 108% от первоначальной. Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась площадь, вычтем из новой площади (в процентах) первоначальную (100%):
$108\% - 100\% = 8\%$

Или можно рассчитать процентное изменение по формуле:
$\frac{S_2 - S_1}{S_1} \times 100\% = \frac{1.08S_1 - S_1}{S_1} \times 100\% = \frac{0.08S_1}{S_1} \times 100\% = 0.08 \times 100\% = 8\%$

Ответ: площадь прямоугольника увеличилась на 8%.

877. Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

Пусть начальная длина прямоугольника равна $L$, а начальная ширина — $W$. Тогда его начальная площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = L \cdot W$.

Согласно условию, длину прямоугольника уменьшили на 20%. Новая длина $L_1$ составит $100\% - 20\% = 80\%$ от начальной длины. Выразим это в виде десятичной дроби:

$L_1 = L \cdot (1 - \frac{20}{100}) = L \cdot (1 - 0.2) = 0.8 \cdot L$

Нам нужно найти, на сколько процентов необходимо увеличить ширину, чтобы площадь не изменилась. Обозначим искомый процент как $x$. Тогда новая ширина $W_1$ будет равна:

$W_1 = W \cdot (1 + \frac{x}{100})$

Площадь нового прямоугольника $S_1$ должна быть равна начальной площади $S$. Запишем это условие:

$S_1 = L_1 \cdot W_1 = S$

Подставим выражения для $L_1$ и $W_1$ в это равенство:

$(0.8 \cdot L) \cdot (W \cdot (1 + \frac{x}{100})) = L \cdot W$

Мы можем разделить обе части уравнения на $L \cdot W$, так как ни длина, ни ширина не могут быть равны нулю:

$0.8 \cdot (1 + \frac{x}{100}) = 1$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$1 + \frac{x}{100} = \frac{1}{0.8}$

Преобразуем дробь: $\frac{1}{0.8} = \frac{1}{8/10} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$.

$1 + \frac{x}{100} = 1.25$

$\frac{x}{100} = 1.25 - 1$

$\frac{x}{100} = 0.25$

$x = 0.25 \cdot 100 = 25$

Таким образом, ширину прямоугольника необходимо увеличить на 25%, чтобы его площадь не изменилась.

Ответ: на 25%.