Страница 159 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

820. а) $3,6 : 3;$

б) $75,5 : 5;$

в) $1,24 : 4;$

г) $2,53 : 11;$

д) $7,81 : 11;$

е) $13,2 : 24.$

а) Чтобы разделить десятичную дробь $3,6$ на натуральное число $3$, выполним деление, не обращая внимания на запятую, а затем в частном поставим запятую, когда закончится деление целой части. Делим целую часть $3$ на $3$, получаем $1$. Ставим запятую в частном. Затем делим $6$ десятых на $3$, получаем $2$ десятых. В результате $3,6 : 3 = 1,2$.
Ответ: 1,2

б) Делим $75,5$ на $5$. Сначала делим целую часть $75$ на $5$. $7$ делим на $5$, получаем $1$ (остаток $2$). Сносим $5$, получаем $25$. Делим $25$ на $5$, получаем $5$. Целая часть частного равна $15$. Ставим запятую. Делим дробную часть $5$ на $5$, получаем $1$. В результате $75,5 : 5 = 15,1$.
Ответ: 15,1

в) Делим $1,24$ на $4$. Целая часть делимого ($1$) меньше делителя ($4$), поэтому в частном целая часть будет равна $0$. Ставим $0$ и запятую. Далее делим $12$ на $4$, получаем $3$. Записываем $3$ после запятой. Сносим $4$ и делим на $4$, получаем $1$. В результате $1,24 : 4 = 0,31$.
Ответ: 0,31

г) Делим $2,53$ на $11$. Целая часть делимого ($2$) меньше делителя ($11$), поэтому в частном пишем $0$ и ставим запятую. Делим $25$ на $11$, получаем $2$ (остаток $3$, так как $11 \cdot 2 = 22$). Сносим следующую цифру $3$, получаем $33$. Делим $33$ на $11$, получаем $3$. В результате $2,53 : 11 = 0,23$.
Ответ: 0,23

д) Делим $7,81$ на $11$. Целая часть ($7$) меньше делителя ($11$), поэтому в частном пишем $0$ и ставим запятую. Делим $78$ на $11$, получаем $7$ (остаток $1$, так как $11 \cdot 7 = 77$). Сносим следующую цифру $1$, получаем $11$. Делим $11$ на $11$, получаем $1$. В результате $7,81 : 11 = 0,71$.
Ответ: 0,71

е) Делим $13,2$ на $24$. Целая часть делимого ($13$) меньше делителя ($24$), поэтому в частном пишем $0$ и ставим запятую. Далее делим $132$ на $24$. Подбираем частное: $24 \cdot 5 = 120$. Остаток $132 - 120 = 12$. К остатку $12$ приписываем ноль, получаем $120$. Делим $120$ на $24$, получаем $5$. В результате $13,2 : 24 = 0,55$.
Ответ: 0,55

821. а) $0.48 \div 8$;

б) $0.84 \div 21$;

в) $0.001 \div 5$;

г) $0.002 \div 4$;

д) $0.125 \div 25$;

е) $0.0625 \div 25$.

а) Чтобы разделить десятичную дробь $0,48$ на натуральное число $8$, выполним деление "в столбик". Сначала делим целую часть $0$ на $8$, получаем $0$ в частном и ставим запятую. Далее берем цифру $4$. Так как $4$ меньше $8$, в частном после запятой пишем $0$. Берем следующую цифру $8$, получаем число $48$. Делим $48$ на $8$: $48 : 8 = 6$. Записываем $6$ в частное. Таким образом, $0,48 : 8 = 0,06$. Ответ: $0,06$

б) Делим $0,84$ на $21$. Целая часть $0$ при делении на $21$ дает $0$. Ставим $0$ и запятую в частном. Берем $8$. Так как $8$ меньше $21$, в частном после запятой пишем $0$. Берем следующую цифру $4$, получаем число $84$. Делим $84$ на $21$: $84 : 21 = 4$. Записываем $4$ в частное. Таким образом, $0,84 : 21 = 0,04$. Ответ: $0,04$

в) Делим $0,001$ на $5$. Целая часть $0$ при делении на $5$ дает $0$. Ставим $0$ и запятую в частном. Последовательно берем цифры дробной части. $0$ разделить на $5$ будет $0$. $0$ разделить на $5$ будет $0$. $1$ разделить на $5$ будет $0$. После этого мы можем дописать ноль, получив $10$. Делим $10$ на $5$: $10 : 5 = 2$. Записываем $2$ в частное. Таким образом, $0,001 : 5 = 0,0002$. Ответ: $0,0002$

г) Делим $0,002$ на $4$. Целая часть $0$ при делении на $4$ дает $0$. Ставим $0$ и запятую в частном. Последовательно берем цифры дробной части. $0$ разделить на $4$ будет $0$. $0$ разделить на $4$ будет $0$. $2$ разделить на $4$ будет $0$. Дописываем ноль, получив $20$. Делим $20$ на $4$: $20 : 4 = 5$. Записываем $5$ в частное. Таким образом, $0,002 : 4 = 0,0005$. Ответ: $0,0005$

д) Делим $0,125$ на $25$. Целая часть $0$ при делении на $25$ дает $0$. Ставим $0$ и запятую в частном. Берем $1$. $1$ разделить на $25$ будет $0$. Берем $2$, получаем $12$. $12$ разделить на $25$ будет $0$. Берем $5$, получаем $125$. Делим $125$ на $25$: $125 : 25 = 5$. Записываем $5$ в частное. Таким образом, $0,125 : 25 = 0,005$. Ответ: $0,005$

е) Делим $0,0625$ на $25$. Целая часть $0$ при делении на $25$ дает $0$. Ставим $0$ и запятую в частном. Берем $0$. $0$ разделить на $25$ будет $0$. Берем $6$. $6$ разделить на $25$ будет $0$. Берем $2$, получаем $62$. Делим $62$ на $25$, получаем $2$ и остаток $12$ ($62 - 2 \times 25 = 12$). К остатку $12$ сносим $5$, получаем $125$. Делим $125$ на $25$: $125 : 25 = 5$. Записываем $2$ и $5$ в частное. Таким образом, $0,0625 : 25 = 0,0025$. Ответ: $0,0025$

822. Выполните деление и проверьте полученный результат:

а) $3.1 \div 0.1$;

б) $7.21 \div 0.01$;

в) $6.3571 \div 0.01$;

г) $4.729 \div 0.001$;

д) $4.29 \div 0.1$;

е) $7.1 \div 0.001$.

а)

Чтобы разделить десятичную дробь на $0,1$, $0,01$, $0,001$ и т.д., нужно перенести запятую в делимом вправо на столько знаков, сколько нулей стоит в делителе перед единицей (или, что то же самое, сколько знаков после запятой в делителе).

Делитель $0,1$ имеет один знак после запятой, поэтому в делимом $3,1$ переносим запятую на один знак вправо.

$3,1 : 0,1 = 31$

Проверка:

Для проверки умножим полученное частное на делитель. Результат должен быть равен делимому.

$31 \times 0,1 = 3,1$

Проверка подтверждает, что деление выполнено верно.

Ответ: $31$

б)

В делителе $0,01$ два знака после запятой. Переносим запятую в делимом $7,21$ на два знака вправо.

$7,21 : 0,01 = 721$

Проверка:

$721 \times 0,01 = 7,21$

Результат верный.

Ответ: $721$

в)

В делителе $0,01$ два знака после запятой. Переносим запятую в делимом $6,3571$ на два знака вправо.

$6,3571 : 0,01 = 635,71$

Проверка:

$635,71 \times 0,01 = 6,3571$

Результат верный.

Ответ: $635,71$

г)

В делителе $0,001$ три знака после запятой. Переносим запятую в делимом $4,729$ на три знака вправо.

$4,729 : 0,001 = 4729$

Проверка:

$4729 \times 0,001 = 4,729$

Результат верный.

Ответ: $4729$

д)

В делителе $0,1$ один знак после запятой. Переносим запятую в делимом $4,29$ на один знак вправо.

$4,29 : 0,1 = 42,9$

Проверка:

$42,9 \times 0,1 = 4,29$

Результат верный.

Ответ: $42,9$

е)

В делителе $0,001$ три знака после запятой. Переносим запятую в делимом $7,1$ на три знака вправо. Так как в дробной части делимого только один знак, дописываем справа два нуля, чтобы можно было перенести запятую на три знака ($7,1 = 7,100$).

$7,1 : 0,001 = 7100$

Проверка:

$7100 \times 0,001 = 7,1$

Результат верный.

Ответ: $7100$

Вычислите (823–824):

823. а) $6 : 0,1;$

б) $7 : 0,001;$

в) $8 : 0,001;$

г) $35 : 0,1;$

д) $49 : 0,01;$

е) $56 : 0,001.$

Чтобы разделить число на десятичную дробь (0,1; 0,01; 0,001 и т.д.), нужно перенести запятую в делимом вправо на столько знаков, сколько их стоит после запятой в делителе. Это то же самое, что умножить число на 10, 100, 1000 и т.д. соответственно.

а) При делении на 0,1 мы умножаем число на 10.
$6 : 0,1 = 6 \cdot 10 = 60$
Ответ: 60

б) При делении на 0,001 мы умножаем число на 1000.
$7 : 0,001 = 7 \cdot 1000 = 7000$
Ответ: 7000

в) При делении на 0,001 мы умножаем число на 1000.
$8 : 0,001 = 8 \cdot 1000 = 8000$
Ответ: 8000

г) При делении на 0,1 мы умножаем число на 10.
$35 : 0,1 = 35 \cdot 10 = 350$
Ответ: 350

д) При делении на 0,01 мы умножаем число на 100.
$49 : 0,01 = 49 \cdot 100 = 4900$
Ответ: 4900

е) При делении на 0,001 мы умножаем число на 1000.
$56 : 0,001 = 56 \cdot 1000 = 56000$
Ответ: 56000

824. а) $1 : 0,2$;

б) $1 : 0,25$;

в) $1 : 0,125$;

г) $1 : 0,4$;

д) $1 : 0,5$.

Чтобы упростить отношения, содержащие десятичные дроби, необходимо преобразовать их в отношения натуральных чисел. Основное свойство отношения заключается в том, что оно не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Мы воспользуемся этим свойством, чтобы избавиться от дробей.

а) Рассмотрим отношение $1 : 0,2$.

Чтобы превратить десятичную дробь $0,2$ в целое число, нужно умножить её на $10$. Умножим обе части отношения на $10$:

$1 : 0,2 = (1 \times 10) : (0,2 \times 10) = 10 : 2$

Теперь сократим полученное отношение $10 : 2$, разделив обе его части на их наибольший общий делитель, который равен $2$:

$(10 \div 2) : (2 \div 2) = 5 : 1$

Ответ: $5 : 1$.

б) Рассмотрим отношение $1 : 0,25$.

Чтобы превратить десятичную дробь $0,25$ в целое число, нужно умножить её на $100$. Умножим обе части отношения на $100$:

$1 : 0,25 = (1 \times 100) : (0,25 \times 100) = 100 : 25$

Теперь сократим полученное отношение, разделив обе его части на их наибольший общий делитель, который равен $25$:

$(100 \div 25) : (25 \div 25) = 4 : 1$

Ответ: $4 : 1$.

в) Рассмотрим отношение $1 : 0,125$.

Чтобы превратить десятичную дробь $0,125$ в целое число, нужно умножить её на $1000$. Умножим обе части отношения на $1000$:

$1 : 0,125 = (1 \times 1000) : (0,125 \times 1000) = 1000 : 125$

Теперь сократим полученное отношение. Наибольший общий делитель чисел $1000$ и $125$ равен $125$. Разделим обе части на $125$:

$(1000 \div 125) : (125 \div 125) = 8 : 1$

Ответ: $8 : 1$.

г) Рассмотрим отношение $1 : 0,4$.

Чтобы превратить десятичную дробь $0,4$ в целое число, умножим обе части отношения на $10$:

$1 : 0,4 = (1 \times 10) : (0,4 \times 10) = 10 : 4$

Теперь сократим полученное отношение, разделив обе его части на их наибольший общий делитель, который равен $2$:

$(10 \div 2) : (4 \div 2) = 5 : 2$

Ответ: $5 : 2$.

д) Рассмотрим отношение $1 : 0,5$.

Чтобы превратить десятичную дробь $0,5$ в целое число, умножим обе части отношения на $10$:

$1 : 0,5 = (1 \times 10) : (0,5 \times 10) = 10 : 5$

Теперь сократим полученное отношение, разделив обе его части на их наибольший общий делитель, который равен $5$:

$(10 \div 5) : (5 \div 5) = 2 : 1$

Ответ: $2 : 1$.

825. Как изменится частное, если:

а) делимое увеличить в 5 раз;

б) делитель увеличить в 3 раза;

в) делимое и делитель увеличить в одинаковое число раз?

Для решения этой задачи обозначим исходное делимое как $a$, исходный делитель как $b$. Тогда исходное частное $q$ будет равно:

$q = \frac{a}{b}$

а) делимое увеличить в 5 раз;
Если делимое $a$ увеличить в 5 раз, оно станет равным $5a$. Делитель $b$ при этом не изменится. Новое частное $q_1$ будет равно:
$q_1 = \frac{5a}{b} = 5 \cdot \frac{a}{b} = 5q$
Следовательно, новое частное будет в 5 раз больше исходного.
Ответ: частное увеличится в 5 раз.

б) делитель увеличить в 3 раза;
Если делитель $b$ увеличить в 3 раза, он станет равным $3b$. Делимое $a$ при этом не изменится. Новое частное $q_2$ будет равно:
$q_2 = \frac{a}{3b} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a}{b} = \frac{q}{3}$
Следовательно, новое частное будет в 3 раза меньше исходного.
Ответ: частное уменьшится в 3 раза.

в) делимое и делитель увеличить в одинаковое число раз?
Пусть и делимое, и делитель увеличили в $k$ раз (где $k$ – любое число, не равное нулю). Новое делимое станет $ka$, а новый делитель – $kb$. Новое частное $q_3$ будет равно:
$q_3 = \frac{ka}{kb}$
Сократив дробь на общий множитель $k$, получим:
$q_3 = \frac{a}{b} = q$
Это основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не изменится.
Ответ: частное не изменится.

Вычислите (826–827):

826. а) $48 \div 4.8$;

б) $536 \div 5.36$;

в) $921 \div 92.1$;

г) $39 \div 0.39$;

д) $4 \div 0.4$;

е) $999 \div 99.9$.

а) Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно умножить и делимое, и делитель на такую степень 10 (10, 100, 1000 и т.д.), чтобы делитель стал целым числом. В данном случае в делителе 4,8 один знак после запятой, поэтому умножаем оба числа на 10.

$48 : 4,8 = (48 \cdot 10) : (4,8 \cdot 10) = 480 : 48 = 10$

Ответ: 10

б) В делителе 5,36 два знака после запятой, поэтому умножаем делимое и делитель на 100.

$536 : 5,36 = (536 \cdot 100) : (5,36 \cdot 100) = 53600 : 536 = 100$

Ответ: 100

в) В делителе 92,1 один знак после запятой, поэтому умножаем делимое и делитель на 10.

$921 : 92,1 = (921 \cdot 10) : (92,1 \cdot 10) = 9210 : 921 = 10$

Ответ: 10

г) В делителе 0,39 два знака после запятой, поэтому умножаем делимое и делитель на 100.

$39 : 0,39 = (39 \cdot 100) : (0,39 \cdot 100) = 3900 : 39 = 100$

Ответ: 100

д) В делителе 0,4 один знак после запятой, поэтому умножаем делимое и делитель на 10.

$4 : 0,4 = (4 \cdot 10) : (0,4 \cdot 10) = 40 : 4 = 10$

Ответ: 10

е) В делителе 99,9 один знак после запятой, поэтому умножаем делимое и делитель на 10.

$999 : 99,9 = (999 \cdot 10) : (99,9 \cdot 10) = 9990 : 999 = 10$

Ответ: 10

827. а) $53,6 : 5,36;$

б) $5,36 : 0,01;$

в) $72,34 : 7,234;$

г) $7,234 : 0,01;$

д) $372,9 : 3,729;$

е) $3,729 : 0,1.$

а) Чтобы разделить десятичную дробь $53,6$ на десятичную дробь $5,36$, нужно перенести запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько их в делителе после запятой. В делителе $5,36$ два знака после запятой, поэтому переносим запятую на 2 знака вправо в обоих числах. Это равносильно умножению и делимого, и делителя на 100. $53,6 : 5,36 = (53,6 \cdot 100) : (5,36 \cdot 100) = 5360 : 536 = 10$.

Ответ: 10

б) Чтобы разделить десятичную дробь $5,36$ на $0,01$, нужно перенести запятую в делимом вправо на столько знаков, сколько нулей в знаменателе дроби, представляющей делитель ($0,01 = 1/100$). В данном случае, деление на $0,01$ эквивалентно умножению на 100. Переносим запятую в $5,36$ на два знака вправо: $5,36 : 0,01 = 536$.

Ответ: 536

в) Чтобы разделить $72,34$ на $7,234$, перенесем запятую вправо на 3 знака (так как в делителе $7,234$ три знака после запятой). $72,34 : 7,234 = (72,34 \cdot 1000) : (7,234 \cdot 1000) = 72340 : 7234 = 10$.

Ответ: 10

г) Чтобы разделить десятичную дробь $7,234$ на $0,01$, нужно перенести запятую в делимом вправо на 2 знака. $7,234 : 0,01 = 723,4$.

Ответ: 723,4

д) Чтобы разделить $372,9$ на $3,729$, перенесем запятую вправо на 3 знака в обоих числах. $372,9 : 3,729 = (372,9 \cdot 1000) : (3,729 \cdot 1000) = 372900 : 3729 = 100$.

Ответ: 100

е) Чтобы разделить десятичную дробь $3,729$ на $0,1$, нужно перенести запятую в делимом вправо на 1 знак, так как деление на $0,1$ эквивалентно умножению на 10. $3,729 : 0,1 = 37,29$.

Ответ: 37,29

Выполните деление, проверьте результат (828–829):

828. а) $4 : 0,5$;

б) $3 : 0,2$;

в) $2 : 0,02$;

г) $14 : 0,07$;

д) $12 : 0,004$;

е) $10 : 0,005$.

а)

Чтобы разделить 4 на 0,5, мы должны преобразовать делитель (0,5) в целое число. Для этого умножим и делимое, и делитель на 10. Это равносильно переносу запятой на один знак вправо в обоих числах.

$4 : 0,5 = (4 \times 10) : (0,5 \times 10) = 40 : 5 = 8$

Проверка:

Умножим полученное частное на делитель:

$8 \times 0,5 = 4$

Результат совпадает с делимым, значит, деление выполнено верно.

Ответ: 8

б)

Чтобы разделить 3 на 0,2, умножим делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от дроби в делителе.

$3 : 0,2 = (3 \times 10) : (0,2 \times 10) = 30 : 2 = 15$

Проверка:

Умножим результат на исходный делитель:

$15 \times 0,2 = 3$

Результат проверки совпадает с делимым. Решение верное.

Ответ: 15

в)

В этом примере делитель 0,02 имеет два знака после запятой. Умножим делимое и делитель на 100, чтобы делитель стал целым числом.

$2 : 0,02 = (2 \times 100) : (0,02 \times 100) = 200 : 2 = 100$

Проверка:

Проверим результат умножением:

$100 \times 0,02 = 2$

Деление выполнено правильно.

Ответ: 100

г)

Чтобы разделить 14 на 0,07, перенесем запятую в делимом и делителе на два знака вправо. Это эквивалентно умножению на 100.

$14 : 0,07 = (14 \times 100) : (0,07 \times 100) = 1400 : 7 = 200$

Проверка:

Выполним проверку умножением частного на делитель:

$200 \times 0,07 = 14$

Результат совпадает с делимым, следовательно, решение верно.

Ответ: 200

д)

Делитель 0,004 имеет три знака после запятой. Умножим и делимое, и делитель на 1000.

$12 : 0,004 = (12 \times 1000) : (0,004 \times 1000) = 12000 : 4 = 3000$

Проверка:

Проверим умножением:

$3000 \times 0,004 = 12$

Решение верное.

Ответ: 3000

е)

Чтобы разделить 10 на 0,005, перенесем запятую на три знака вправо в обоих числах (умножим на 1000).

$10 : 0,005 = (10 \times 1000) : (0,005 \times 1000) = 10000 : 5 = 2000$

Проверка:

Выполним проверку умножением:

$2000 \times 0,005 = 10$

Результат совпадает с делимым. Деление выполнено верно.

Ответ: 2000

829. a) $7.6 : 0.2$

б) $6.3 : 0.3$

в) $0.64 : 3.2$

г) $0.49 : 0.7$

д) $0.01 : 0.05$

е) $0.004 : 0.8$

а) Чтобы разделить десятичную дробь $7,6$ на десятичную дробь $0,2$, необходимо перенести запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько их в делителе. В делителе $0,2$ один знак после запятой.
Переносим запятую на один знак вправо в обоих числах:
$7,6 \rightarrow 76$
$0,2 \rightarrow 2$
Теперь задача сводится к делению целых чисел:
$76 : 2 = 38$
Ответ: 38

б) В выражении $6,3 : 0,3$ делитель $0,3$ имеет один знак после запятой. Перенесем запятую в обоих числах на один знак вправо, чтобы делитель стал целым числом.
$6,3 \rightarrow 63$
$0,3 \rightarrow 3$
Выполним деление полученных целых чисел:
$63 : 3 = 21$
Ответ: 21

в) В выражении $0,64 : 3,2$ делитель $3,2$ имеет один знак после запятой. Перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо.
$0,64 \rightarrow 6,4$
$3,2 \rightarrow 32$
Теперь нужно разделить $6,4$ на $32$.
$6,4 : 32$. Поскольку $6 < 32$, в целой части частного будет $0$. Ставим запятую. Теперь делим $64$ на $32$.
$64 : 32 = 2$
Таким образом, $6,4 : 32 = 0,2$.
Ответ: 0,2

г) В выражении $0,49 : 0,7$ делитель $0,7$ имеет один знак после запятой. Перенесем запятую в обоих числах на один знак вправо.
$0,49 \rightarrow 4,9$
$0,7 \rightarrow 7$
Теперь разделим $4,9$ на $7$.
$4,9 : 7$. Поскольку $4 < 7$, целая часть частного равна $0$. Делим $49$ на $7$, получаем $7$.
$4,9 : 7 = 0,7$
Ответ: 0,7

д) В выражении $0,01 : 0,05$ делитель $0,05$ имеет два знака после запятой. Перенесем запятую в обоих числах на два знака вправо.
$0,01 \rightarrow 1$
$0,05 \rightarrow 5$
Теперь разделим $1$ на $5$.
$1 : 5 = \frac{1}{5} = 0,2$
Ответ: 0,2

е) В выражении $0,004 : 0,8$ делитель $0,8$ имеет один знак после запятой. Перенесем запятую в обоих числах на один знак вправо.
$0,004 \rightarrow 0,04$
$0,8 \rightarrow 8$
Теперь разделим $0,04$ на $8$.
Можно представить это деление в виде дроби: $\frac{0,04}{8}$. Умножим числитель и знаменатель на $100$, чтобы избавиться от дроби в числителе:
$\frac{0,04 \times 100}{8 \times 100} = \frac{4}{800}$
Сократим дробь:
$\frac{4}{800} = \frac{1}{200}$
Переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого можно умножить числитель и знаменатель на $5$, чтобы получить в знаменателе $1000$:
$\frac{1 \times 5}{200 \times 5} = \frac{5}{1000} = 0,005$
Ответ: 0,005

Вычислите (830–833):

830. а) $0,21 : 0,84$;

б) $0,19 : 0,095$;

в) $3,76 : 0,4$;

г) $7,05 : 1,5$;

д) $3,5 : 0,4$;

е) $25,9 : 3,7$.

а) Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, нужно перенести запятую в делимом и делителе на столько знаков вправо, сколько их в делителе, чтобы делитель стал целым числом. В данном случае в делителе $0,84$ два знака после запятой, поэтому переносим запятую на два знака вправо в обоих числах.
$0,21 : 0,84 = 21 : 84$
Теперь выполним деление. Удобно записать это как обыкновенную дробь и сократить ее:
$\frac{21}{84} = \frac{21 \div 21}{84 \div 21} = \frac{1}{4}$
Переведем дробь в десятичную:
$\frac{1}{4} = 0,25$
Ответ: 0,25

б) В делителе $0,095$ три знака после запятой. Перенесем запятую на три знака вправо в обоих числах:
$0,19 : 0,095 = 190 : 95$
Выполним деление целых чисел:
$190 \div 95 = 2$
Ответ: 2

в) В делителе $0,4$ один знак после запятой. Перенесем запятую на один знак вправо в обоих числах:
$3,76 : 0,4 = 37,6 : 4$
Выполним деление в столбик:
$37,6 \div 4$:
$37 \div 4 = 9$ (остаток $1$). Ставим запятую в частном.
Сносим $6$, получаем $16$.
$16 \div 4 = 4$.
Получаем $9,4$.
Ответ: 9,4

г) В делителе $1,5$ один знак после запятой. Перенесем запятую на один знак вправо в обоих числах:
$7,05 : 1,5 = 70,5 : 15$
Выполним деление в столбик:
$70,5 \div 15$:
$70 \div 15 = 4$ (остаток $10$). Ставим запятую в частном.
Сносим $5$, получаем $105$.
$105 \div 15 = 7$.
Получаем $4,7$.
Ответ: 4,7

д) В делителе $0,4$ один знак после запятой. Перенесем запятую на один знак вправо в обоих числах:
$3,5 : 0,4 = 35 : 4$
Выполним деление:
$35 \div 4 = 8,75$
Можно проверить: $35 = 4 \cdot 8 + 3$.
$3,0 \div 4 = 0,7$ (остаток $0,2$).
$0,20 \div 4 = 0,05$.
$8 + 0,7 + 0,05 = 8,75$.
Ответ: 8,75

е) В делителе $3,7$ один знак после запятой. Перенесем запятую на один знак вправо в обоих числах:
$25,9 : 3,7 = 259 : 37$
Выполним деление целых чисел. Чтобы найти частное, можно прикинуть, на что надо умножить $37$, чтобы получить $259$. Поскольку $30 \cdot 8 = 240$ и $7 \cdot 7 = 49$, попробуем умножить $37$ на $7$:
$37 \cdot 7 = (30 + 7) \cdot 7 = 210 + 49 = 259$
Деление выполняется нацело.
$259 : 37 = 7$
Ответ: 7

831. а) $1.75 : 1.4$;

б) $18.4 : 7.36$;

в) $16.92 : 4.23$;

г) $86.1 : 2.46$;

д) $21.875 : 3.125$;

е) $183.96 : 5.256$.

а) 1,75 : 1,4

Чтобы разделить на десятичную дробь, нужно избавиться от запятой в делителе. В числе 1,4 один знак после запятой, поэтому мы умножаем и делимое (1,75), и делитель (1,4) на 10. Это равносильно переносу запятой на один знак вправо в обоих числах.

$1,75 : 1,4 = (1,75 \cdot 10) : (1,4 \cdot 10) = 17,5 : 14$

Теперь выполним деление:

$17,5 : 14 = 1,25$

Ответ: 1,25

б) 18,4 : 7,36

В делителе 7,36 два знака после запятой. Умножаем делимое и делитель на 100, чтобы делитель стал целым числом.

$18,4 : 7,36 = (18,4 \cdot 100) : (7,36 \cdot 100) = 1840 : 736$

Выполним деление:

$1840 : 736 = 2,5$

Проверка: $736 \cdot 2,5 = 1840$.

Ответ: 2,5

в) 16,92 : 4,23

В делителе 4,23 два знака после запятой. Умножаем оба числа на 100.

$16,92 : 4,23 = (16,92 \cdot 100) : (4,23 \cdot 100) = 1692 : 423$

Выполним деление:

$1692 : 423 = 4$

Проверка: $423 \cdot 4 = 1692$.

Ответ: 4

г) 86,1 : 2,46

В делителе 2,46 два знака после запятой. Умножаем оба числа на 100.

$86,1 : 2,46 = (86,1 \cdot 100) : (2,46 \cdot 100) = 8610 : 246$

Выполним деление:

$8610 : 246 = 35$

Проверка: $246 \cdot 35 = 8610$.

Ответ: 35

д) 21,875 : 3,125

В делителе 3,125 три знака после запятой. Умножаем оба числа на 1000.

$21,875 : 3,125 = (21,875 \cdot 1000) : (3,125 \cdot 1000) = 21875 : 3125$

Выполним деление:

$21875 : 3125 = 7$

Проверка: $3125 \cdot 7 = 21875$.

Ответ: 7

е) 183,96 : 5,256

В делителе 5,256 три знака после запятой. Умножаем оба числа на 1000.

$183,96 : 5,256 = (183,96 \cdot 1000) : (5,256 \cdot 1000) = 183960 : 5256$

Выполним деление:

$183960 : 5256 = 35$

Проверка: $5256 \cdot 35 = 183960$.

Ответ: 35

832. a) $0.25 \div 4 + 15.3 \div 5 + 12.4 \div 8 + 0.15 \div 3;$

б) $96.7 \div 10 + 0.045 \div 5 + 140.4 \div 12 + 1.53 \div 15.$

a) $0,25 : 4 + 15,3 : 5 + 12,4 : 8 + 0,15 : 3$

Для решения данного примера необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала все операции деления, а затем сложения.

1. Выполним первое деление: $0,25 : 4 = 0,0625$.

2. Выполним второе деление: $15,3 : 5 = 3,06$.

3. Выполним третье деление: $12,4 : 8 = 1,55$.

4. Выполним четвертое деление: $0,15 : 3 = 0,05$.

5. Теперь сложим все полученные результаты:
$0,0625 + 3,06 + 1,55 + 0,05 = 4,7225$.

Ответ: 4,7225.

б) $96,7 : 10 + 0,045 : 5 + 140,4 : 12 + 1,53 : 15$

Решим пример по действиям, соблюдая порядок их выполнения. Сначала выполняются операции деления, затем сложения.

1. Выполним первое деление: $96,7 : 10 = 9,67$.

2. Выполним второе деление: $0,045 : 5 = 0,009$.

3. Выполним третье деление: $140,4 : 12 = 11,7$.

4. Выполним четвертое деление: $1,53 : 15 = 0,102$.

5. Сложим полученные результаты:
$9,67 + 0,009 + 11,7 + 0,102 = 21,481$.

Ответ: 21,481.

833. а) $4,912 \div 16 + (18,305 \div 7 + 0,0368 \div 4);$

б) $72,492 \div 12 + 78,156 \div 36 - 120,03 \div 15;$

в) $1,35 \div 2,7 + 6,02 - 5,9 + 0,4 \div 2,5 \cdot (4,2 - 0,075);$

г) $4,3 - 3,5 + 1,44 \div 3,6 + 3,6 \div 1,44 \cdot (0,1 - 0,02).$

а) $4,912 : 16 + (18,305 : 7 + 0,0368 : 4)$

Решим задачу по действиям, соблюдая порядок их выполнения. Сначала выполняем действия в скобках (деление, затем сложение), затем деление вне скобок и, наконец, сложение.

1. Выполним деление в скобках: $18,305 : 7 = 2,615$.

2. Выполним второе деление в скобках: $0,0368 : 4 = 0,0092$.

3. Сложим результаты, полученные в скобках: $2,615 + 0,0092 = 2,6242$.

4. Выполним деление вне скобок: $4,912 : 16 = 0,307$.

5. Сложим результат деления с результатом из скобок: $0,307 + 2,6242 = 2,9312$.

Ответ: 2,9312.

б) $72,492 : 12 + 78,156 : 36 - 120,03 : 15$

В этом выражении нет скобок, поэтому сначала выполняем все операции деления слева направо, а затем сложение и вычитание.

1. Первое деление: $72,492 : 12 = 6,041$.

2. Второе деление: $78,156 : 36 = 2,171$.

3. Третье деление: $120,03 : 15 = 8,002$.

4. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: $6,041 + 2,171 - 8,002$.

5. Выполним сложение: $6,041 + 2,171 = 8,212$.

6. Выполним вычитание: $8,212 - 8,002 = 0,21$.

Ответ: 0,21.

в) $1,35 : 2,7 + 6,02 - 5,9 + 0,4 : 2,5 \cdot (4,2 - 0,075)$

Сначала выполняем действие в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце сложение и вычитание слева направо.

1. Вычитание в скобках: $4,2 - 0,075 = 4,125$.

2. Первое деление: $1,35 : 2,7 = 0,5$.

3. Второе деление: $0,4 : 2,5 = 0,16$.

4. Умножение: $0,16 \cdot 4,125 = 0,66$.

5. Теперь выражение выглядит так: $0,5 + 6,02 - 5,9 + 0,66$.

6. Выполняем сложение и вычитание по порядку: $0,5 + 6,02 = 6,52$; затем $6,52 - 5,9 = 0,62$; и наконец $0,62 + 0,66 = 1,28$.

Ответ: 1,28.

г) $4,3 - 3,5 + 1,44 : 3,6 + 3,6 : 1,44 \cdot (0,1 - 0,02)$

Соблюдаем порядок действий: сначала скобки, затем деление и умножение слева направо, после чего сложение и вычитание слева направо.

1. Действие в скобках: $0,1 - 0,02 = 0,08$.

2. Первое деление: $1,44 : 3,6 = 0,4$.

3. Второе деление: $3,6 : 1,44 = 2,5$.

4. Умножение: $2,5 \cdot 0,08 = 0,2$.

5. Выражение принимает вид: $4,3 - 3,5 + 0,4 + 0,2$.

6. Выполняем действия по порядку: $4,3 - 3,5 = 0,8$; затем $0,8 + 0,4 = 1,2$; и наконец $1,2 + 0,2 = 1,4$.

Ответ: 1,4.

834. Сколько сотых содержится в числе:

a) $\frac{3}{4}$;

б) $\frac{2}{5}$;

в) $\frac{1}{2}$;

г) $\frac{7}{20}$;

д) $\frac{3}{25}$?

Чтобы определить, сколько сотых долей содержится в числе, представленном в виде обыкновенной дроби, можно привести эту дробь к знаменателю 100. Числитель полученной дроби и будет искомым количеством сотых.

а) Приведем дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателю 100. Для этого нужно умножить знаменатель 4 на 25. Умножим на это же число и числитель:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100}$
Таким образом, в числе $\frac{3}{4}$ содержится 75 сотых.
Ответ: 75.

б) Приведем дробь $\frac{2}{5}$ к знаменателю 100. Для этого нужно умножить знаменатель 5 на 20. Умножим на это же число и числитель:
$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 20}{5 \times 20} = \frac{40}{100}$
Таким образом, в числе $\frac{2}{5}$ содержится 40 сотых.
Ответ: 40.

в) Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 100. Для этого нужно умножить знаменатель 2 на 50. Умножим на это же число и числитель:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 50}{2 \times 50} = \frac{50}{100}$
Таким образом, в числе $\frac{1}{2}$ содержится 50 сотых.
Ответ: 50.

г) Приведем дробь $\frac{7}{20}$ к знаменателю 100. Для этого нужно умножить знаменатель 20 на 5. Умножим на это же число и числитель:
$\frac{7}{20} = \frac{7 \times 5}{20 \times 5} = \frac{35}{100}$
Таким образом, в числе $\frac{7}{20}$ содержится 35 сотых.
Ответ: 35.

д) Приведем дробь $\frac{3}{25}$ к знаменателю 100. Для этого нужно умножить знаменатель 25 на 4. Умножим на это же число и числитель:
$\frac{3}{25} = \frac{3 \times 4}{25 \times 4} = \frac{12}{100}$
Таким образом, в числе $\frac{3}{25}$ содержится 12 сотых.
Ответ: 12.