Страница 152 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

777. В какую сторону и на сколько цифр надо перенести запятую, чтобы увеличить десятичную дробь:

а) в 10 раз;

б) в 100 раз;

в) в 1000 раз;

г) в 10 000 раз;

д) в 100 000 раз;

е) в 1 000 000 раз?

Чтобы увеличить десятичную дробь, то есть умножить ее на число, которое является степенью 10 (10, 100, 1000 и т.д.), необходимо перенести запятую вправо. Количество цифр, на которое нужно перенести запятую, равно количеству нулей в множителе.

а) в 10 раз
Чтобы увеличить дробь в 10 раз, нужно умножить её на 10. В числе 10 один ноль, поэтому запятую нужно перенести на 1 цифру вправо.
Ответ: вправо на 1 цифру.

б) в 100 раз
Чтобы увеличить дробь в 100 раз, нужно умножить её на 100. В числе 100 два ноля, поэтому запятую нужно перенести на 2 цифры вправо.
Ответ: вправо на 2 цифры.

в) в 1000 раз
Чтобы увеличить дробь в 1000 раз, нужно умножить её на 1000. В числе 1000 три ноля, поэтому запятую нужно перенести на 3 цифры вправо.
Ответ: вправо на 3 цифры.

г) в 10 000 раз
Чтобы увеличить дробь в 10 000 раз, нужно умножить её на 10 000. В числе 10 000 четыре ноля, поэтому запятую нужно перенести на 4 цифры вправо.
Ответ: вправо на 4 цифры.

д) в 100 000 раз
Чтобы увеличить дробь в 100 000 раз, нужно умножить её на 100 000. В числе 100 000 пять нолей, поэтому запятую нужно перенести на 5 цифр вправо.
Ответ: вправо на 5 цифр.

е) в 1 000 000 раз
Чтобы увеличить дробь в 1 000 000 раз, нужно умножить её на 1 000 000. В числе 1 000 000 шесть нолей, поэтому запятую нужно перенести на 6 цифр вправо.
Ответ: вправо на 6 цифр.

778. В какую сторону и на сколько цифр надо перенести запятую, чтобы уменьшить десятичную дробь:

а) в 10 раз;

б) в 100 раз;

в) в 1000 раз;

г) в 10 000 раз;

д) в 100 000 раз;

е) в 1 000 000 раз?

Чтобы уменьшить десятичную дробь, то есть разделить ее на число, являющееся степенью десяти ($10, 100, 1000$ и т.д.), необходимо перенести запятую влево. Количество цифр, на которое нужно перенести запятую, равно количеству нулей в делителе.

а) в 10 раз
Чтобы уменьшить дробь в 10 раз, ее нужно разделить на $10$. В числе $10$ один ноль, следовательно, запятую нужно перенести влево на одну цифру.
Ответ: влево на 1 цифру.

б) в 100 раз
Чтобы уменьшить дробь в 100 раз, ее нужно разделить на $100$. В числе $100$ два ноля, следовательно, запятую нужно перенести влево на две цифры.
Ответ: влево на 2 цифры.

в) в 1000 раз
Чтобы уменьшить дробь в 1000 раз, ее нужно разделить на $1000$. В числе $1000$ три ноля, следовательно, запятую нужно перенести влево на три цифры.
Ответ: влево на 3 цифры.

г) в 10 000 раз
Чтобы уменьшить дробь в 10 000 раз, ее нужно разделить на $10\;000$. В числе $10\;000$ четыре ноля, следовательно, запятую нужно перенести влево на четыре цифры.
Ответ: влево на 4 цифры.

д) в 100 000 раз
Чтобы уменьшить дробь в 100 000 раз, ее нужно разделить на $100\;000$. В числе $100\;000$ пять нолей, следовательно, запятую нужно перенести влево на пять цифр.
Ответ: влево на 5 цифр.

е) в 1 000 000 раз
Чтобы уменьшить дробь в 1 000 000 раз, ее нужно разделить на $1\;000\;000$. В числе $1\;000\;000$ шесть нолей, следовательно, запятую нужно перенести влево на шесть цифр.
Ответ: влево на 6 цифр.

779. a) Как изменится дробь, если в её десятичной записи запятую перенести на 3 цифры вправо? на 3 цифры влево?

на 3 цифры вправо?

Перенос запятой в десятичной дроби на один разряд вправо равносилен умножению этой дроби на 10. Следовательно, перенос запятой на 3 цифры вправо равносилен умножению на $10^3$, то есть на 1000.

Например, для дроби 5,678: $5,678 \times 1000 = 5678$.

Ответ: дробь увеличится в 1000 раз.

на 3 цифры влево?

Перенос запятой в десятичной дроби на один разряд влево равносилен делению этой дроби на 10. Следовательно, перенос запятой на 3 цифры влево равносилен делению на $10^3$, то есть на 1000.

Например, для дроби 5678,0: $5678 \div 1000 = 5,678$.

Ответ: дробь уменьшится в 1000 раз.

780. Как изменится дробь, если:

а) запятую в её десятичной записи перенести сначала на 2 цифры вправо, а затем на 3 цифры влево;

б) запятую в её десятичной записи перенести сначала на 3 цифры влево, а затем на 2 цифры вправо?

а) Чтобы понять, как изменится дробь, давайте проанализируем каждое действие.
Перенос запятой в десятичной записи на 2 цифры вправо эквивалентен умножению числа на $10^2$, то есть на 100. Если исходная дробь равна $x$, то после первого действия она станет $x \cdot 100$.
Далее, перенос запятой на 3 цифры влево эквивалентен делению числа на $10^3$, то есть на 1000. Применим это действие к полученному результату: $(x \cdot 100) / 1000$.
Теперь упростим выражение: $x \cdot (100 / 1000) = x \cdot (1 / 10) = x / 10$.
Таким образом, итоговое изменение заключается в делении исходной дроби на 10.
Можно рассуждать и по-другому: перенос вправо на 2 цифры и затем влево на 3 цифры — это итоговый перенос на $3 - 2 = 1$ цифру влево. Перенос запятой на 1 цифру влево означает уменьшение числа в 10 раз.

Ответ: дробь уменьшится в 10 раз.

б) Рассуждаем аналогично пункту а).
Перенос запятой в десятичной записи на 3 цифры влево эквивалентен делению числа на $10^3$, то есть на 1000. Если исходная дробь равна $x$, то после первого действия она станет $x / 1000$.
Далее, перенос запятой на 2 цифры вправо эквивалентен умножению числа на $10^2$, то есть на 100. Применим это действие к полученному результату: $(x / 1000) \cdot 100$.
Упростим выражение: $x \cdot (100 / 1000) = x \cdot (1 / 10) = x / 10$.
Как и в предыдущем пункте, итоговое изменение — это деление исходной дроби на 10.
Итоговый перенос запятой: 3 цифры влево и 2 цифры вправо — это суммарный перенос на $3 - 2 = 1$ цифру влево, что означает уменьшение числа в 10 раз.

Ответ: дробь уменьшится в 10 раз.

781. Как изменится положение запятой в записи десятичной дроби, если эту дробь:

а) сначала увеличить в 10 раз, потом ещё в 100 раз;

б) сначала увеличить в 10 раз, а потом уменьшить в 100 раз;

в) сначала уменьшить в 10 раз, потом ещё в 100 раз;

г) сначала уменьшить в 10 раз, а потом увеличить в 100 раз?

а) Увеличить десятичную дробь в 10 раз означает перенести запятую на 1 знак вправо. После этого увеличить полученное число ещё в 100 раз означает перенести запятую ещё на 2 знака вправо. В итоге общее смещение запятой будет $1 + 2 = 3$ знака вправо. Это эквивалентно умножению исходной дроби на $10 \times 100 = 1000$.
Ответ: запятая переместится на 3 знака вправо.

б) Сначала увеличить дробь в 10 раз — это перенести запятую на 1 знак вправо. Затем уменьшить полученное число в 100 раз — это перенести запятую на 2 знака влево. В результате запятая сместится на 1 знак вправо, а потом на 2 знака влево. Итоговое смещение будет $2 - 1 = 1$ знак влево. Это эквивалентно делению исходной дроби на $100 \div 10 = 10$.
Ответ: запятая переместится на 1 знак влево.

в) Уменьшить десятичную дробь в 10 раз означает перенести запятую на 1 знак влево. После этого уменьшить полученное число ещё в 100 раз означает перенести запятую ещё на 2 знака влево. В итоге общее смещение запятой будет $1 + 2 = 3$ знака влево. Это эквивалентно делению исходной дроби на $10 \times 100 = 1000$.
Ответ: запятая переместится на 3 знака влево.

г) Сначала уменьшить дробь в 10 раз — это перенести запятую на 1 знак влево. Затем увеличить полученное число в 100 раз — это перенести запятую на 2 знака вправо. В результате запятая сместится на 1 знак влево, а потом на 2 знака вправо. Итоговое смещение будет $2 - 1 = 1$ знак вправо. Это эквивалентно умножению исходной дроби на $100 \div 10 = 10$.
Ответ: запятая переместится на 1 знак вправо.

782. Какое число больше и во сколько раз:

а) 32,549 или 325,49;

б) 2,7543 или 2754,3;

в) 47,58 или 4,758;

г) 123,45 или 1,2345?

а) Для того чтобы сравнить числа 32,549 и 325,49, посмотрим на их целые части. Целая часть числа 32,549 равна 32, а целая часть числа 325,49 равна 325. Поскольку $325 > 32$, то и число $325,49 > 32,549$.
Чтобы определить, во сколько раз 325,49 больше, чем 32,549, необходимо разделить большее число на меньшее:
$325,49 : 32,549 = 10$.
Ответ: число 325,49 больше числа 32,549 в 10 раз.

б) Сравниваем числа 2,7543 и 2754,3. Целая часть первого числа — 2, второго — 2754. Так как $2754 > 2$, то число $2754,3 > 2,7543$.
Теперь найдем, во сколько раз большее число превосходит меньшее, выполнив деление:
$2754,3 : 2,7543 = 1000$.
Ответ: число 2754,3 больше числа 2,7543 в 1000 раз.

в) Сравниваем числа 47,58 и 4,758. Целая часть числа 47,58 равна 47, а целая часть числа 4,758 равна 4. Поскольку $47 > 4$, то $47,58 > 4,758$.
Разделим большее число на меньшее, чтобы найти их соотношение:
$47,58 : 4,758 = 10$.
Ответ: число 47,58 больше числа 4,758 в 10 раз.

г) Сравниваем числа 123,45 и 1,2345. Целая часть первого числа равна 123, а второго — 1. Так как $123 > 1$, то $123,45 > 1,2345$.
Найдем, во сколько раз 123,45 больше, чем 1,2345, с помощью деления:
$123,45 : 1,2345 = 100$.
Ответ: число 123,45 больше числа 1,2345 в 100 раз.

783. Какое число меньше и во сколько раз:

а) $0,4853$ или $4853$;

б) $0,296$ или $0,00296$;

в) $480$ или $0.48$;

г) $200$ или $0.02$?

а) 0,4853 или 4853
Для начала сравним эти два числа. Число 0,4853 является десятичной дробью, которая меньше 1, в то время как 4853 — это большое целое число. Таким образом, очевидно, что $0,4853 < 4853$.
Чтобы определить, во сколько раз одно число меньше другого, необходимо разделить большее число на меньшее.
$4853 : 0,4853 = 10000$
Ответ: число 0,4853 меньше числа 4853 в 10000 раз.

б) 0,296 или 0,00296
Сравним две десятичные дроби. У числа 0,296 первая значащая цифра (2) находится в разряде десятых, а у числа 0,00296 первая значащая цифра (2) находится в разряде тысячных. Чем дальше от запятой стоит первая значащая цифра, тем меньше число. Следовательно, $0,00296 < 0,296$.
Теперь найдем, во сколько раз большее число превосходит меньшее, разделив их:
$0,296 : 0,00296 = 100$
Ответ: число 0,00296 меньше числа 0,296 в 100 раз.

в) 480 или 0,48
Сравниваем числа: 480 — это целое число, значительно большее 1, а 0,48 — это десятичная дробь, меньшая 1. Следовательно, $0,48 < 480$.
Чтобы узнать, во сколько раз 0,48 меньше, чем 480, разделим большее число на меньшее:
$480 : 0,48 = 48000 : 48 = 1000$
Ответ: число 0,48 меньше числа 480 в 1000 раз.

г) 200 или 0,02
Сравниваем числа: 200 — это целое число, а 0,02 — десятичная дробь, меньшая 1. Очевидно, что $0,02 < 200$.
Найдем, во сколько раз одно число меньше другого, для этого разделим большее на меньшее:
$200 : 0,02 = 20000 : 2 = 10000$
Ответ: число 0,02 меньше числа 200 в 10000 раз.

784. Увеличьте следующие дроби в 10, 100, 1000 раз:

a) $7,3459$;

б) $8,279$;

в) $9,13$;

г) $7,2$.

Чтобы увеличить десятичную дробь в 10, 100, 1000 раз, необходимо умножить её на эти числа. Это действие равносильно переносу запятой вправо на столько знаков, сколько нулей в множителе (на 1, 2 или 3 знака соответственно). Если цифр после запятой не хватает для переноса, то справа к числу дописываются нули.

а) Увеличим дробь 7,3459:
Увеличение в 10 раз: $7,3459 \cdot 10 = 73,459$.
Увеличение в 100 раз: $7,3459 \cdot 100 = 734,59$.
Увеличение в 1000 раз: $7,3459 \cdot 1000 = 7345,9$.
Ответ: 73,459; 734,59; 7345,9.

б) Увеличим дробь 8,279:
Увеличение в 10 раз: $8,279 \cdot 10 = 82,79$.
Увеличение в 100 раз: $8,279 \cdot 100 = 827,9$.
Увеличение в 1000 раз: $8,279 \cdot 1000 = 8279$.
Ответ: 82,79; 827,9; 8279.

в) Увеличим дробь 9,13:
Увеличение в 10 раз: $9,13 \cdot 10 = 91,3$.
Увеличение в 100 раз: $9,13 \cdot 100 = 913$.
Увеличение в 1000 раз: $9,13 \cdot 1000 = 9130$.
Ответ: 91,3; 913; 9130.

г) Увеличим дробь 7,2:
Увеличение в 10 раз: $7,2 \cdot 10 = 72$.
Увеличение в 100 раз: $7,2 \cdot 100 = 720$.
Увеличение в 1000 раз: $7,2 \cdot 1000 = 7200$.
Ответ: 72; 720; 7200.

785. Выразите в сантиметрах по образцу:

a) $4,25 \text{ дм} = 42,5 \text{ см}$;

б) $4,2 \text{ мм} = 0,42 \text{ см}$;

в) $5,21 \text{ дм}$;

г) $3,2 \text{ дм}$;

д) $13,2 \text{ мм}$;

е) $2,1 \text{ мм}$.

Для решения этой задачи необходимо знать соотношения между единицами длины:

• 1 дециметр (дм) равен 10 сантиметрам (см). Чтобы перевести дециметры в сантиметры, нужно умножить значение на 10.
• 1 сантиметр (см) равен 10 миллиметрам (мм). Соответственно, чтобы перевести миллиметры в сантиметры, нужно разделить значение на 10.

в) Чтобы выразить 5,21 дм в сантиметрах, умножим это значение на 10, так как в одном дециметре 10 сантиметров.

$5,21 \text{ дм} = 5,21 \times 10 \text{ см} = 52,1 \text{ см}$

Ответ: 52,1 см.

г) Чтобы выразить 3,2 дм в сантиметрах, умножим это значение на 10.

$3,2 \text{ дм} = 3,2 \times 10 \text{ см} = 32 \text{ см}$

Ответ: 32 см.

д) Чтобы выразить 13,2 мм в сантиметрах, разделим это значение на 10, так как в одном сантиметре 10 миллиметров.

$13,2 \text{ мм} = 13,2 : 10 \text{ см} = 1,32 \text{ см}$

Ответ: 1,32 см.

е) Чтобы выразить 2,1 мм в сантиметрах, разделим это значение на 10.

$2,1 \text{ мм} = 2,1 : 10 \text{ см} = 0,21 \text{ см}$

Ответ: 0,21 см.