Страница 160 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

835. Не выполняя вычислений, сравните:

а) $19,95 \cdot 199,6$ и $1,995 \cdot 1996$;

б) $19,96 \cdot 1,997$ и $199,6 \cdot 19,97$;

в) $199,7 \cdot 199,8$ и $1,997 \cdot 1,998$;

г) $1,998 \cdot 199,9$ и $1,998 \cdot 1999$.

836. Не выполняя вычислений, объясните, почему верно равенство

$35,48 \cdot 2,937 = 0,3548 \cdot 293,7$

Придумайте несколько аналогичных верных равенств.

Не выполняя вычислений, объясните, почему верно равенство $35,48 \cdot 2,937 = 0,3548 \cdot 293,7$.

Данное равенство верно благодаря одному из основных свойств умножения: произведение не изменится, если один из множителей уменьшить в некоторое количество раз, а другой множитель увеличить во столько же раз.

Проанализируем, как были изменены множители в данном равенстве:

1. Первый множитель в левой части — $35,48$. В правой части он стал $0,3548$. Чтобы получить $0,3548$ из $35,48$, нужно перенести запятую на два знака влево, что эквивалентно делению на 100.
$35,48 : 100 = 0,3548$

2. Второй множитель в левой части — $2,937$. В правой части он стал $293,7$. Чтобы получить $293,7$ из $2,937$, нужно перенести запятую на два знака вправо, что эквивалентно умножению на 100.
$2,937 \cdot 100 = 293,7$

Таким образом, первый множитель был уменьшен в 100 раз, а второй — увеличен в 100 раз. Эти два действия взаимно компенсируют друг друга, поэтому произведение остается неизменным.

Математически это можно показать так:
$0,3548 \cdot 293,7 = (35,48 : 100) \cdot (2,937 \cdot 100) = 35,48 \cdot 2,937 \cdot (\frac{1}{100} \cdot 100) = 35,48 \cdot 2,937 \cdot 1 = 35,48 \cdot 2,937$.

Ответ: Равенство верно, потому что первый множитель уменьшили в 100 раз (разделили на 100), а второй множитель увеличили в 100 раз (умножили на 100), что в итоге не меняет их произведения.

Придумайте несколько аналогичных верных равенств.

Используя то же свойство, можно составить следующие равенства:

• $12,5 \cdot 4,8 = 125 \cdot 0,48$ (первый множитель увеличен в 10 раз, второй — уменьшен в 10 раз)
• $567 \cdot 0,25 = 5,67 \cdot 25$ (первый множитель уменьшен в 100 раз, второй — увеличен в 100 раз)
• $0,08 \cdot 1500 = 8 \cdot 15$ (первый множитель увеличен в 100 раз, второй — уменьшен в 100 раз)

Ответ: $12,5 \cdot 4,8 = 125 \cdot 0,48$; $567 \cdot 0,25 = 5,67 \cdot 25$; $0,08 \cdot 1500 = 8 \cdot 15$.

837. Не выполняя вычислений, объясните, почему верно неравенство

$2,318 \cdot 12,547 > 23,17 \cdot 1,2547.$

Придумайте несколько аналогичных верных неравенств.

Не выполняя вычислений, объясните, почему верно неравенство

Для того чтобы сравнить два произведения, не вычисляя их значения, преобразуем левую часть неравенства. Основное свойство произведения заключается в том, что оно не изменится, если один множитель увеличить в определенное количество раз, а второй множитель уменьшить во столько же раз.

Рассмотрим левую часть неравенства: $2,318 \cdot 12,547$.

Умножим первый множитель на 10, а второй разделим на 10. Значение произведения при этом не изменится: $2,318 \cdot 12,547 = (2,318 \cdot 10) \cdot (12,547 \div 10) = 23,18 \cdot 1,2547$.

Теперь исходное неравенство $2,318 \cdot 12,547 > 23,17 \cdot 1,2547$ можно переписать в эквивалентном виде, подставив преобразованное выражение: $23,18 \cdot 1,2547 > 23,17 \cdot 1,2547$.

Это неравенство очевидно верно. Мы сравниваем два произведения, у которых один из множителей одинаковый ($1,2547$) и является положительным числом. Следовательно, то произведение будет больше, у которого второй множитель больше.

Так как $23,18 > 23,17$, то и произведение в левой части больше произведения в правой.

Ответ: Левую часть неравенства можно представить в виде $23,18 \cdot 1,2547$. Тогда неравенство принимает вид $23,18 \cdot 1,2547 > 23,17 \cdot 1,2547$. Оно является верным, так как при сравнении произведений с одинаковым положительным множителем ($1,2547$) большим будет то, у которого второй множитель больше ($23,18 > 23,17$).

Придумайте несколько аналогичных верных неравенств

Аналогичные неравенства можно составить, используя тот же принцип.

1. $4,5 \cdot 15,2 > 44 \cdot 1,52$.
   (Пояснение: $4,5 \cdot 15,2 = 45 \cdot 1,52$, а $45 > 44$)
2. $0,781 \cdot 345 > 7,8 \cdot 34,5$.
   (Пояснение: $0,781 \cdot 345 = 7,81 \cdot 34,5$, а $7,81 > 7,8$)
3. $19,87 \cdot 0,55 > 1,98 \cdot 5,5$.
   (Пояснение: $19,87 \cdot 0,55 = 1,987 \cdot 5,5$, а $1,987 > 1,98$)

Ответ: Например:
1) $4,5 \cdot 15,2 > 44 \cdot 1,52$;
2) $0,781 \cdot 345 > 7,8 \cdot 34,5$;
3) $19,87 \cdot 0,55 > 1,98 \cdot 5,5$.

838. Вычислите:

а) $\frac{12,3 \cdot 3,21}{1,23 \cdot 32,1}$

б) $\frac{0,123 \cdot 321}{1,23 \cdot 3,21}$

в) $\frac{12,3 \cdot 3,21}{1,23 \cdot 3,21}$

г) $\frac{0,123 \cdot 0,321}{1,23 \cdot 3,21}$

а)

Рассмотрим выражение $\frac{12,3 \cdot 3,21}{1,23 \cdot 32,1}$. Чтобы упростить дробь, представим числа в числителе и знаменателе таким образом, чтобы выделить общие множители. Заметим, что $12,3 = 1,23 \cdot 10$ и $32,1 = 3,21 \cdot 10$. Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{12,3 \cdot 3,21}{1,23 \cdot 32,1} = \frac{(1,23 \cdot 10) \cdot 3,21}{1,23 \cdot (3,21 \cdot 10)}$

Теперь мы видим, что числитель и знаменатель состоят из одинаковых множителей. Сократим их:

$\frac{1,23 \cdot 10 \cdot 3,21}{1,23 \cdot 10 \cdot 3,21} = 1$

Ответ: 1

б)

Рассмотрим выражение $\frac{0,123 \cdot 321}{1,23 \cdot 3,21}$. Преобразуем множители в числителе, выразив их через множители из знаменателя. Заметим, что $0,123 = 1,23 \cdot 0,1$ и $321 = 3,21 \cdot 100$. Подставим эти значения в дробь:

$\frac{(1,23 \cdot 0,1) \cdot (3,21 \cdot 100)}{1,23 \cdot 3,21} = \frac{1,23 \cdot 3,21 \cdot (0,1 \cdot 100)}{1,23 \cdot 3,21}$

Сократим общие множители $1,23$ и $3,21$. Остается вычислить произведение:

$0,1 \cdot 100 = 10$

Ответ: 10

в)

Рассмотрим выражение $\frac{12,3 \cdot 3,21}{1,23 \cdot 3,21}$. В числителе и знаменателе есть общий множитель $3,21$. Сократим его:

$\frac{12,3 \cdot 3,21}{1,23 \cdot 3,21} = \frac{12,3}{1,23}$

Чтобы найти значение оставшейся дроби, заметим, что $12,3 = 1,23 \cdot 10$:

$\frac{1,23 \cdot 10}{1,23} = 10$

Ответ: 10

г)

Рассмотрим выражение $\frac{0,123 \cdot 0,321}{1,23 \cdot 3,21}$. Преобразуем множители в числителе, выразив их через множители из знаменателя. $0,123 = 1,23 \cdot 0,1$ и $0,321 = 3,21 \cdot 0,1$. Подставим эти выражения в дробь:

$\frac{(1,23 \cdot 0,1) \cdot (3,21 \cdot 0,1)}{1,23 \cdot 3,21} = \frac{1,23 \cdot 3,21 \cdot (0,1 \cdot 0,1)}{1,23 \cdot 3,21}$

Сократим общие множители $1,23$ и $3,21$. Остается вычислить произведение:

$0,1 \cdot 0,1 = 0,01$

Ответ: 0,01

839. На прямолинейном участке железнодорожного пути уложены рельсы длиной 12,5 м. Сколько рельсов уложено на 1 км пути?

Для того чтобы определить, сколько рельсов уложено на 1 км пути, необходимо общую длину пути разделить на длину одного рельса.

Сначала нужно привести все измерения к единой единице. Так как длина одного рельса дана в метрах, переведем 1 километр в метры.
В 1 километре 1000 метров:
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Теперь разделим общую длину пути в метрах на длину одного рельса, чтобы найти их количество:
$N = \frac{1000 \text{ м}}{12,5 \text{ м}}$

Для удобства вычислений можно избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:
$N = \frac{1000 \times 10}{12,5 \times 10} = \frac{10000}{125} = 80$

Таким образом, на участке железнодорожного пути длиной 1 км уложено 80 рельсов.

Ответ: 80 рельсов.

840. Слон тяжелее бегемота на $0,7$ т, а их общая масса $8,3$ т. Какова масса каждого животного?

Для решения этой задачи можно использовать алгебраический метод. Обозначим массу бегемота за $x$ тонн.

Согласно условию, слон тяжелее бегемота на 0,7 тонны. Следовательно, массу слона можно выразить как $(x + 0,7)$ тонн.

Общая масса слона и бегемота составляет 8,3 тонны. Мы можем составить уравнение, сложив их массы:

$x + (x + 0,7) = 8,3$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$ (массу бегемота):

1. Сначала упростим левую часть уравнения, сложив переменные:

$2x + 0,7 = 8,3$

2. Затем перенесем 0,7 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$2x = 8,3 - 0,7$

$2x = 7,6$

3. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{7,6}{2}$

$x = 3,8$

Таким образом, масса бегемота составляет 3,8 тонны.

Теперь, когда мы знаем массу бегемота, найдем массу слона:

Масса слона = $x + 0,7 = 3,8 + 0,7 = 4,5$ тонны.

Проверим результат: $3,8 \text{ т} + 4,5 \text{ т} = 8,3 \text{ т}$. Общая масса совпадает с условием задачи.

Ответ: масса бегемота — 3,8 т, масса слона — 4,5 т.

841. Вычислите скорость движения пешехода, который:

а) за 2,4 ч прошёл 10,8 км;

б) за 1,8 ч прошёл 9,9 км.

Чтобы вычислить скорость движения, необходимо разделить пройденное расстояние на время, затраченное на этот путь. Формула для вычисления скорости $v$ выглядит так:

$v = \frac{s}{t}$

где $s$ – это расстояние, а $t$ – время.

а)

По условию, расстояние $s = 10,8$ км, а время $t = 2,4$ ч. Подставим эти значения в формулу:

$v = \frac{10,8 \text{ км}}{2,4 \text{ ч}}$

Для удобства вычисления избавимся от десятичных дробей, умножив и делимое, и делитель на 10:

$v = \frac{10,8 \times 10}{2,4 \times 10} = \frac{108}{24}$

Выполним деление:

$v = 4,5 \text{ км/ч}$

Ответ: 4,5 км/ч.

б)

По условию, расстояние $s = 9,9$ км, а время $t = 1,8$ ч. Подставим эти значения в формулу:

$v = \frac{9,9 \text{ км}}{1,8 \text{ ч}}$

Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы работать с целыми числами:

$v = \frac{9,9 \times 10}{1,8 \times 10} = \frac{99}{18}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 9:

$v = \frac{99 \div 9}{18 \div 9} = \frac{11}{2}$

Переведем дробь в десятичный вид:

$v = 5,5 \text{ км/ч}$

Ответ: 5,5 км/ч.

842. На производство 1 т бумаги расходуется 250 т воды. Это в 12,5 раза больше, чем расходуется на производство 1 т стали, и в 6 раз меньше, чем на производство 1 т аммиака. Сколько тонн воды расходуется на производство 1 т стали? 1 т аммиака?

Сколько тонн воды расходуется на производство 1 т стали?

Согласно условию, на производство 1 т бумаги расходуется 250 т воды. Это количество в 12,5 раза больше, чем расходуется на производство 1 т стали. Чтобы найти, сколько воды требуется для производства 1 т стали, необходимо количество воды, идущее на производство бумаги, разделить на 12,5.

$250 \div 12,5 = 20$ (т)

Ответ: на производство 1 т стали расходуется 20 т воды.

1 т аммиака?

Также по условию известно, что расход воды на 1 т бумаги (250 т) в 6 раз меньше, чем на производство 1 т аммиака. Следовательно, чтобы найти, сколько воды требуется для производства 1 т аммиака, нужно количество воды, расходуемое на производство бумаги, умножить на 6.

$250 \times 6 = 1500$ (т)

Ответ: на производство 1 т аммиака расходуется 1500 т воды.

843. Площадь первой комнаты на $5,2 m^2$ больше площади второй комнаты, а сумма их площадей $34,8 m^2$. Определите площадь каждой комнаты.

Для решения задачи обозначим площадь второй (меньшей) комнаты через $x$ м². Тогда, согласно условию, площадь первой комнаты, которая на 5,2 м² больше, будет равна $(x + 5.2)$ м².

Сумма площадей обеих комнат составляет 34,8 м². Составим и решим уравнение на основе этого условия:

$x + (x + 5.2) = 34.8$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x + 5.2 = 34.8$

Перенесем 5,2 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 34.8 - 5.2$

$2x = 29.6$

Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{29.6}{2}$

$x = 14.8$

Таким образом, площадь второй комнаты составляет $14.8 \text{ м}^2$.

Теперь определим площадь первой комнаты, которая на 5,2 м² больше:

$14.8 + 5.2 = 20 \text{ м}^2$

Проверим: сумма площадей $14.8 + 20 = 34.8 \text{ м}^2$, что соответствует условию задачи.

Ответ: площадь первой комнаты — $20 \text{ м}^2$, площадь второй комнаты — $14.8 \text{ м}^2$.

844. Расстояние между двумя пунктами 14,4 км. Пешеход прошёл в 2 раза больше, чем ему осталось пройти. Сколько километров прошёл пешеход?

Обозначим расстояние, которое осталось пройти пешеходу, как $x$ км.

По условию задачи, пешеход уже прошёл расстояние в 2 раза большее, чем ему осталось пройти. Следовательно, пройденное расстояние составляет $2x$ км.

Общее расстояние между двумя пунктами равно сумме пройденного и оставшегося пути. Общее расстояние составляет 14,4 км. Можем составить уравнение:

$2x + x = 14,4$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$3x = 14,4$

$x = \frac{14,4}{3}$

$x = 4,8$

Таким образом, расстояние, которое осталось пройти пешеходу, равно 4,8 км.

Вопрос задачи — найти, сколько километров прошёл пешеход. Это расстояние равно $2x$.

$2 \times 4,8 = 9,6$ км.

Ответ: 9,6 км.

845. На 66,5 р. купили 4 пачки печенья и 3 коробки конфет. Каждая коробка конфет стоила в 5 раз дороже пачки печенья. Сколько стоила коробка конфет?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это стоимость одной пачки печенья в рублях.

Из условия задачи известно, что каждая коробка конфет стоила в 5 раз дороже пачки печенья. Значит, стоимость одной коробки конфет составляет $5x$ рублей.

Всего купили 4 пачки печенья, их общая стоимость равна $4 \cdot x = 4x$ рублей.

Также купили 3 коробки конфет, их общая стоимость равна $3 \cdot (5x) = 15x$ рублей.

Общая стоимость всей покупки — 66,5 рублей. Можем составить уравнение, сложив стоимость печенья и конфет:

$4x + 15x = 66,5$

Теперь решим полученное уравнение:

1. Складываем подобные слагаемые в левой части:

$19x = 66,5$

2. Находим $x$, разделив обе части уравнения на 19:

$x = \frac{66,5}{19}$

$x = 3,5$

Таким образом, мы нашли стоимость одной пачки печенья — она равна 3,5 рубля.

В задаче требуется найти, сколько стоила коробка конфет. Для этого умножим стоимость пачки печенья на 5:

$5 \cdot x = 5 \cdot 3,5 = 17,5$ рублей.

Ответ: 17,5 р.