Страница 154 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Сформулируйте правило умножения двух десятичных дробей.

Правило умножения двух десятичных дробей можно сформулировать в виде алгоритма из трёх шагов:

1. Перемножить числа, не обращая внимания на десятичные запятые, как будто это натуральные числа.
2. Подсчитать, сколько всего цифр стоит после запятой в обоих множителях вместе.
3. В полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их было в сумме у обоих множителей (результат из шага 2). Если в произведении окажется меньше цифр, чем нужно отделить, то слева от числа нужно дописать недостающее количество нулей.

Рассмотрим на примерах:

Пример 1: Умножить $2.75$ на $1.4$.

1. Умножаем $275$ на $14$:
   $275 \times 14 = 3850$.
2. В первом множителе ($2.75$) две цифры после запятой, во втором ($1.4$) — одна. Всего $2 + 1 = 3$ цифры.
3. В результате $3850$ отделяем справа три цифры: $3.850$. Конечный ноль в дробной части можно отбросить, поэтому получаем $3.85$.

Таким образом, $2.75 \times 1.4 = 3.85$.

Пример 2: Умножить $0.16$ на $0.3$.

1. Умножаем $16$ на $3$:
   $16 \times 3 = 48$.
2. В первом множителе ($0.16$) две цифры после запятой, во втором ($0.3$) — одна. Всего $2 + 1 = 3$ цифры.
3. В результате $48$ нужно отделить три цифры, но у нас их только две. Поэтому дописываем слева один ноль, чтобы получилось три цифры: $048$. Теперь отделяем три цифры запятой: $0.048$.

Таким образом, $0.16 \times 0.3 = 0.048$.

Ответ: Чтобы умножить две десятичные дроби, нужно перемножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые, а затем в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Если в произведении не хватает цифр, чтобы отделить запятой, слева от него дописывают необходимое количество нулей.

Вычислите произведение (794–799):

794. a) $0.02 \cdot 10$; б) $3.2 \cdot 100$; в) $0.3 \cdot 1000$;

г) $2.39 \cdot 1000$; д) $0.041 \cdot 100$; е) $0.0005 \cdot 1000$.

а) Чтобы умножить десятичную дробь на 10, необходимо перенести запятую в этой дроби на один знак вправо.
$0,02 \cdot 10 = 0,2$
Ответ: 0,2.

б) Чтобы умножить десятичную дробь на 100, необходимо перенести запятую в этой дроби на два знака вправо. В числе 3,2 после запятой только одна цифра, поэтому добавляем справа один ноль, чтобы можно было перенести запятую на две позиции.
$3,2 \cdot 100 = 3,20 \cdot 100 = 320$
Ответ: 320.

в) Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, необходимо перенести запятую в этой дроби на три знака вправо. В числе 0,3 после запятой только одна цифра, поэтому добавляем справа два ноля.
$0,3 \cdot 1000 = 0,300 \cdot 1000 = 300$
Ответ: 300.

г) Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, необходимо перенести запятую в этой дроби на три знака вправо. В числе 2,39 после запятой две цифры, поэтому добавляем справа один ноль.
$2,39 \cdot 1000 = 2,390 \cdot 1000 = 2390$
Ответ: 2390.

д) Чтобы умножить десятичную дробь на 100, необходимо перенести запятую в этой дроби на два знака вправо.
$0,041 \cdot 100 = 4,1$
Ответ: 4,1.

е) Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, необходимо перенести запятую в этой дроби на три знака вправо.
$0,0005 \cdot 1000 = 0,5$
Ответ: 0,5.

795. а) $2,4 \cdot 2;$

б) $3,1 \cdot 3;$

в) $0,5 \cdot 2;$

г) $2,5 \cdot 4;$

д) $1,25 \cdot 8;$

е) $0,072 \cdot 2;$

ж) $5,2 \cdot 0,4;$

з) $7,1 \cdot 0,9;$

и) $0,08 \cdot 0,13.$

а) Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно умножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятую, а затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их было в десятичной дроби.

Выполняем умножение $24$ на $2$:

$24 \cdot 2 = 48$

В дроби $2,4$ одна цифра после запятой, поэтому в результате $48$ нужно отделить одну цифру справа. Получаем $4,8$.

$2,4 \cdot 2 = 4,8$

Ответ: 4,8

б) Умножаем $3,1$ на $3$.

Сначала умножаем $31$ на $3$:

$31 \cdot 3 = 93$

В дроби $3,1$ одна цифра после запятой. Отделяем в результате одну цифру справа.

$3,1 \cdot 3 = 9,3$

Ответ: 9,3

в) Умножаем $0,5$ на $2$.

Умножаем $5$ на $2$:

$5 \cdot 2 = 10$

В дроби $0,5$ одна цифра после запятой. Отделяем в результате одну цифру справа. Получаем $1,0$, что равно $1$.

$0,5 \cdot 2 = 1$

Ответ: 1

г) Умножаем $2,5$ на $4$.

Умножаем $25$ на $4$:

$25 \cdot 4 = 100$

В дроби $2,5$ одна цифра после запятой. Отделяем в результате одну цифру справа. Получаем $10,0$, что равно $10$.

$2,5 \cdot 4 = 10$

Ответ: 10

д) Умножаем $1,25$ на $8$.

Умножаем $125$ на $8$:

$125 \cdot 8 = 1000$

В дроби $1,25$ две цифры после запятой. Отделяем в результате две цифры справа. Получаем $10,00$, что равно $10$.

$1,25 \cdot 8 = 10$

Ответ: 10

е) Умножаем $0,072$ на $2$.

Умножаем $72$ на $2$:

$72 \cdot 2 = 144$

В дроби $0,072$ три цифры после запятой. В результате $144$ нужно отделить три цифры справа. Ставим запятую перед числом и добавляем ноль в целой части.

$0,072 \cdot 2 = 0,144$

Ответ: 0,144

ж) Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Умножаем $5,2$ на $0,4$.

Умножаем $52$ на $4$:

$52 \cdot 4 = 208$

В множителе $5,2$ одна цифра после запятой, в множителе $0,4$ — тоже одна. Всего $1+1=2$ цифры. В результате $208$ отделяем две цифры справа.

$5,2 \cdot 0,4 = 2,08$

Ответ: 2,08

з) Умножаем $7,1$ на $0,9$.

Умножаем $71$ на $9$:

$71 \cdot 9 = 639$

В множителе $7,1$ одна цифра после запятой, в множителе $0,9$ — тоже одна. Всего $1+1=2$ цифры. В результате $639$ отделяем две цифры справа.

$7,1 \cdot 0,9 = 6,39$

Ответ: 6,39

и) Умножаем $0,08$ на $0,13$.

Умножаем $8$ на $13$:

$8 \cdot 13 = 104$

В множителе $0,08$ две цифры после запятой, в множителе $0,13$ — тоже две. Всего $2+2=4$ цифры. В результате $104$ нужно отделить четыре цифры справа. Так как в числе $104$ только три цифры, дописываем слева один ноль, ставим запятую и еще один ноль в целой части.

$0,08 \cdot 0,13 = 0,0104$

Ответ: 0,0104

796. a) $6,5 \cdot 0,004;$

б) $0,09 \cdot 0,18;$

в) $7,6 \cdot 0,005;$

г) $0,048 \cdot 0,09;$

д) $0,7 \cdot 0,0085;$

е) $0,009 \cdot 0,78;$

ж) $80,8 \cdot 0,7;$

з) $0,09 \cdot 5,007;$

и) $0,6 \cdot 3,054.$

а) Чтобы умножить десятичные дроби $6,5$ и $0,004$, нужно выполнить следующие шаги:
1. Перемножить числа, не обращая внимания на запятые: $65 \cdot 4 = 260$.
2. Посчитать общее количество знаков после запятой в обоих множителях. В числе $6,5$ — один знак, в числе $0,004$ — три знака. Сумма: $1 + 3 = 4$.
3. В полученном произведении $260$ отделить справа запятой $4$ знака. Так как цифр не хватает, дописываем нули слева: $0,0260$.
Конечный ноль можно отбросить: $0,026$.
$6,5 \cdot 0,004 = 0,026$
Ответ: 0,026

б) Чтобы умножить $0,09$ на $0,18$:
1. Умножаем $9$ на $18$: $9 \cdot 18 = 162$.
2. В первом множителе ($0,09$) два знака после запятой, во втором ($0,18$) — тоже два. Всего $2 + 2 = 4$ знака.
3. В результате $162$ отделяем $4$ знака справа, добавив недостающие нули: $0,0162$.
$0,09 \cdot 0,18 = 0,0162$
Ответ: 0,0162

в) Чтобы умножить $7,6$ на $0,005$:
1. Умножаем $76$ на $5$: $76 \cdot 5 = 380$.
2. В числе $7,6$ — один знак после запятой, в числе $0,005$ — три знака. Всего $1 + 3 = 4$ знака.
3. В результате $380$ отделяем $4$ знака справа: $0,0380$.
Конечный ноль можно отбросить: $0,038$.
$7,6 \cdot 0,005 = 0,038$
Ответ: 0,038

г) Чтобы умножить $0,048$ на $0,09$:
1. Умножаем $48$ на $9$: $48 \cdot 9 = 432$.
2. В первом множителе ($0,048$) три знака после запятой, во втором ($0,09$) — два. Всего $3 + 2 = 5$ знаков.
3. В результате $432$ отделяем $5$ знаков справа, добавив нули: $0,00432$.
$0,048 \cdot 0,09 = 0,00432$
Ответ: 0,00432

д) Чтобы умножить $0,7$ на $0,0085$:
1. Умножаем $7$ на $85$: $7 \cdot 85 = 595$.
2. В первом множителе ($0,7$) один знак после запятой, во втором ($0,0085$) — четыре. Всего $1 + 4 = 5$ знаков.
3. В результате $595$ отделяем $5$ знаков справа, добавив нули: $0,00595$.
$0,7 \cdot 0,0085 = 0,00595$
Ответ: 0,00595

е) Чтобы умножить $0,009$ на $0,78$:
1. Умножаем $9$ на $78$: $9 \cdot 78 = 702$.
2. В первом множителе ($0,009$) три знака после запятой, во втором ($0,78$) — два. Всего $3 + 2 = 5$ знаков.
3. В результате $702$ отделяем $5$ знаков справа, добавив нули: $0,00702$.
$0,009 \cdot 0,78 = 0,00702$
Ответ: 0,00702

ж) Чтобы умножить $80,8$ на $0,7$:
1. Умножаем $808$ на $7$: $808 \cdot 7 = 5656$.
2. В каждом множителе по одному знаку после запятой. Всего $1 + 1 = 2$ знака.
3. В результате $5656$ отделяем $2$ знака справа: $56,56$.
$80,8 \cdot 0,7 = 56,56$
Ответ: 56,56

з) Чтобы умножить $0,09$ на $5,007$:
1. Умножаем $9$ на $5007$: $9 \cdot 5007 = 45063$.
2. В первом множителе ($0,09$) два знака после запятой, во втором ($5,007$) — три. Всего $2 + 3 = 5$ знаков.
3. В результате $45063$ отделяем $5$ знаков справа: $0,45063$.
$0,09 \cdot 5,007 = 0,45063$
Ответ: 0,45063

и) Чтобы умножить $0,6$ на $3,054$:
1. Умножаем $6$ на $3054$: $6 \cdot 3054 = 18324$.
2. В первом множителе ($0,6$) один знак после запятой, во втором ($3,054$) — три. Всего $1 + 3 = 4$ знака.
3. В результате $18324$ отделяем $4$ знака справа: $1,8324$.
$0,6 \cdot 3,054 = 1,8324$
Ответ: 1,8324

797. a) $3,59 \cdot 0,1;$

б) $2,3 \cdot 0,1;$

в) $0,0235 \cdot 0,1;$

г) $63,2 \cdot 0,01;$

д) $3,5 \cdot 0,01;$

е) $2,32 \cdot 0,01;$

ж) $723,1 \cdot 0,001;$

з) $79,4 \cdot 0,001;$

и) $3,8 \cdot 0,001.$

а) Умножение на $0,1$ равносильно делению на $10$. Чтобы умножить $3,59$ на $0,1$, нужно перенести запятую в числе $3,59$ на один знак влево.
$3,59 \cdot 0,1 = 0,359$
Ответ: $0,359$

б) Умножение на $0,1$ равносильно делению на $10$. Чтобы умножить $2,3$ на $0,1$, нужно перенести запятую в числе $2,3$ на один знак влево.
$2,3 \cdot 0,1 = 0,23$
Ответ: $0,23$

в) Умножение на $0,1$ равносильно делению на $10$. Чтобы умножить $0,0235$ на $0,1$, нужно перенести запятую в числе $0,0235$ на один знак влево.
$0,0235 \cdot 0,1 = 0,00235$
Ответ: $0,00235$

г) Умножение на $0,01$ равносильно делению на $100$. Чтобы умножить $63,2$ на $0,01$, нужно перенести запятую в числе $63,2$ на два знака влево.
$63,2 \cdot 0,01 = 0,632$
Ответ: $0,632$

д) Умножение на $0,01$ равносильно делению на $100$. Чтобы умножить $3,5$ на $0,01$, нужно перенести запятую в числе $3,5$ на два знака влево. Для этого слева от цифры $3$ необходимо дописать один ноль.
$3,5 \cdot 0,01 = 0,035$
Ответ: $0,035$

е) Умножение на $0,01$ равносильно делению на $100$. Чтобы умножить $2,32$ на $0,01$, нужно перенести запятую в числе $2,32$ на два знака влево. Для этого слева от цифры $2$ необходимо дописать один ноль.
$2,32 \cdot 0,01 = 0,0232$
Ответ: $0,0232$

ж) Умножение на $0,001$ равносильно делению на $1000$. Чтобы умножить $723,1$ на $0,001$, нужно перенести запятую в числе $723,1$ на три знака влево.
$723,1 \cdot 0,001 = 0,7231$
Ответ: $0,7231$

з) Умножение на $0,001$ равносильно делению на $1000$. Чтобы умножить $79,4$ на $0,001$, нужно перенести запятую в числе $79,4$ на три знака влево. Для этого слева от цифры $7$ необходимо дописать один ноль.
$79,4 \cdot 0,001 = 0,0794$
Ответ: $0,0794$

и) Умножение на $0,001$ равносильно делению на $1000$. Чтобы умножить $3,8$ на $0,001$, нужно перенести запятую в числе $3,8$ на три знака влево. Для этого слева от цифры $3$ необходимо дописать два ноля.
$3,8 \cdot 0,001 = 0,0038$
Ответ: $0,0038$

798. a) $4,381 \cdot 0,2;$

б) $7,713 \cdot 0,8;$

в) $0,07 \cdot 620,4;$

г) $0,2569 \cdot 0,6;$

д) $0,3 \cdot 2,451;$

е) $67,19 \cdot 0,05;$

ж) $42,25 \cdot 0,4;$

з) $362,5 \cdot 0,8;$

и) $512,5 \cdot 0,08.$

а) Чтобы умножить десятичные дроби, нужно сначала перемножить их как целые числа, не обращая внимания на запятые. Затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Выполним умножение $4,381$ на $0,2$.
1. Умножим числа $4381$ и $2$:
$4381 \cdot 2 = 8762$.
2. Посчитаем количество знаков после запятой в обоих множителях. В числе $4,381$ — три знака, в числе $0,2$ — один знак. Всего $3 + 1 = 4$ знака.
3. В результате $8762$ отделим справа четыре знака запятой. Поскольку цифр всего четыре, ставим перед ними ноль и запятую.
$4,381 \cdot 0,2 = 0,8762$.
Ответ: $0,8762$.

б) Выполним умножение $7,713$ на $0,8$.
1. Умножим числа $7713$ и $8$:
$7713 \cdot 8 = 61704$.
2. В числе $7,713$ — три знака после запятой, в числе $0,8$ — один знак. Всего $3 + 1 = 4$ знака.
3. В результате $61704$ отделим справа четыре знака запятой.
$7,713 \cdot 0,8 = 6,1704$.
Ответ: $6,1704$.

в) Выполним умножение $0,07$ на $620,4$.
1. Умножим числа $7$ и $6204$:
$7 \cdot 6204 = 43428$.
2. В числе $0,07$ — два знака после запятой, в числе $620,4$ — один знак. Всего $2 + 1 = 3$ знака.
3. В результате $43428$ отделим справа три знака запятой.
$0,07 \cdot 620,4 = 43,428$.
Ответ: $43,428$.

г) Выполним умножение $0,2569$ на $0,6$.
1. Умножим числа $2569$ и $6$:
$2569 \cdot 6 = 15414$.
2. В числе $0,2569$ — четыре знака после запятой, в числе $0,6$ — один знак. Всего $4 + 1 = 5$ знаков.
3. В результате $15414$ отделим справа пять знаков запятой. Поскольку цифр всего пять, ставим перед ними ноль и запятую.
$0,2569 \cdot 0,6 = 0,15414$.
Ответ: $0,15414$.

д) Выполним умножение $0,3$ на $2,451$.
1. Умножим числа $3$ и $2451$:
$3 \cdot 2451 = 7353$.
2. В числе $0,3$ — один знак после запятой, в числе $2,451$ — три знака. Всего $1 + 3 = 4$ знака.
3. В результате $7353$ отделим справа четыре знака запятой. Поскольку цифр всего четыре, ставим перед ними ноль и запятую.
$0,3 \cdot 2,451 = 0,7353$.
Ответ: $0,7353$.

е) Выполним умножение $67,19$ на $0,05$.
1. Умножим числа $6719$ и $5$:
$6719 \cdot 5 = 33595$.
2. В числе $67,19$ — два знака после запятой, в числе $0,05$ — два знака. Всего $2 + 2 = 4$ знака.
3. В результате $33595$ отделим справа четыре знака запятой.
$67,19 \cdot 0,05 = 3,3595$.
Ответ: $3,3595$.

ж) Выполним умножение $42,25$ на $0,4$.
1. Умножим числа $4225$ и $4$:
$4225 \cdot 4 = 16900$.
2. В числе $42,25$ — два знака после запятой, в числе $0,4$ — один знак. Всего $2 + 1 = 3$ знака.
3. В результате $16900$ отделим справа три знака запятой. Получим $16,900$. Нули в конце дробной части можно отбросить.
$42,25 \cdot 0,4 = 16,9$.
Ответ: $16,9$.

з) Выполним умножение $362,5$ на $0,8$.
1. Умножим числа $3625$ и $8$:
$3625 \cdot 8 = 29000$.
2. В числе $362,5$ — один знак после запятой, в числе $0,8$ — один знак. Всего $1 + 1 = 2$ знака.
3. В результате $29000$ отделим справа два знака запятой. Получим $290,00$. Нули в конце дробной части можно отбросить.
$362,5 \cdot 0,8 = 290$.
Ответ: $290$.

и) Выполним умножение $512,5$ на $0,08$.
1. Умножим числа $5125$ и $8$:
$5125 \cdot 8 = 41000$.
2. В числе $512,5$ — один знак после запятой, в числе $0,08$ — два знака. Всего $1 + 2 = 3$ знака.
3. В результате $41000$ отделим справа три знака запятой. Получим $41,000$. Нули в конце дробной части можно отбросить.
$512,5 \cdot 0,08 = 41$.
Ответ: $41$.