Страница 150 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите, применяя законы сложения и правила раскрытия скобок (762–763):

762. а) $7,48 + 3,19 + 1,12 + 6,81;$

б) $6,2 + 7,49 + 1,8 + 1,29;$

в) $16,28 + 5,395 - 1,18 - 4,305;$

г) $7,358 + 8,24 - 6,458 - 2,84.$

а) $7,48 + 3,19 + 1,12 + 6,81$

Применим переместительный и сочетательный законы сложения, чтобы сгруппировать слагаемые для более простого вычисления. Удобно сгруппировать $7,48$ с $1,12$ и $3,19$ с $6,81$.

$7,48 + 3,19 + 1,12 + 6,81 = (7,48 + 1,12) + (3,19 + 6,81)$

Вычислим сумму в каждой из скобок:

$7,48 + 1,12 = 8,6$

$3,19 + 6,81 = 10$

Теперь найдем сумму полученных результатов:

$8,6 + 10 = 18,6$

Ответ: 18,6

б) $6,2 + 7,49 + 1,8 + 1,29$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений. Удобно сложить $6,2$ и $1,8$, так как их сумма является целым числом.

$6,2 + 7,49 + 1,8 + 1,29 = (6,2 + 1,8) + (7,49 + 1,29)$

Вычислим сумму в каждой из скобок:

$6,2 + 1,8 = 8$

$7,49 + 1,29 = 8,78$

Теперь сложим полученные результаты:

$8 + 8,78 = 16,78$

Ответ: 16,78

в) $16,28 + 5,395 - 1,18 - 4,305$

Перегруппируем члены выражения так, чтобы упростить вычисления. Сгруппируем числа с одинаковыми дробными частями по количеству знаков или по схожести.

$16,28 + 5,395 - 1,18 - 4,305 = (16,28 - 1,18) + (5,395 - 4,305)$

Вычислим значение в каждой из скобок:

$16,28 - 1,18 = 15,1$

$5,395 - 4,305 = 1,09$

Теперь найдем сумму полученных результатов:

$15,1 + 1,09 = 16,19$

Ответ: 16,19

г) $7,358 + 8,24 - 6,458 - 2,84$

Перегруппируем члены выражения для удобства вычислений. Удобно сгруппировать числа с одинаковым количеством знаков после запятой или схожими дробными частями.

$7,358 + 8,24 - 6,458 - 2,84 = (7,358 - 6,458) + (8,24 - 2,84)$

Вычислим значение в каждой из скобок:

$7,358 - 6,458 = 0,9$

$8,24 - 2,84 = 5,4$

Теперь сложим полученные результаты:

$0,9 + 5,4 = 6,3$

Ответ: 6,3

763. a) $5.236 + (4.664 - 2.6);$

б) $4.756 - (2.395 - 1.244).$

а)

Для решения данного примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняется действие в скобках (вычитание), а затем — сложение.

1. Первое действие — вычитание в скобках. Чтобы вычесть десятичные дроби, нужно уравнять количество знаков после запятой, добавив нули.

$4,664 - 2,6 = 4,664 - 2,600 = 2,064$

2. Второе действие — сложение полученного результата с первым числом.

$5,236 + 2,064 = 7,300$

Конечные нули в дробной части можно отбросить, поэтому результат равен $7,3$.

Ответ: $7,3$

б)

Решим этот пример также по действиям. Сначала выполним вычитание в скобках, а затем вычтем полученный результат из первого числа.

1. Первое действие — вычитание в скобках.

$2,395 - 1,244 = 1,151$

2. Второе действие — вычитание.

$4,756 - 1,151 = 3,605$

Ответ: $3,605$

764. Заменив десятичную дробь обыкновенной, вычислите:

a) $2.5 + 3\frac{1}{2}$;

б) $7\frac{3}{4} - 2.25$;

в) $0.2 \cdot 3$;

г) $4.8 : 4$;

д) $6 : 0.6$;

е) $12 : 0.3$.

а) $2,5 + 3\frac{1}{2}$. Заменим десятичную дробь $2,5$ обыкновенной: $2,5 = 2\frac{5}{10} = 2\frac{1}{2}$. Теперь выполним сложение смешанных чисел: $2\frac{1}{2} + 3\frac{1}{2} = (2+3) + (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}) = 5 + \frac{2}{2} = 5 + 1 = 6$. Ответ: $6$

б) $7\frac{3}{4} - 2,25$. Заменим десятичную дробь $2,25$ обыкновенной: $2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4}$. Теперь выполним вычитание смешанных чисел: $7\frac{3}{4} - 2\frac{1}{4} = (7-2) + (\frac{3}{4}-\frac{1}{4}) = 5 + \frac{2}{4} = 5\frac{2}{4} = 5\frac{1}{2}$. Ответ: $5\frac{1}{2}$

в) $0,2 \cdot 3$. Заменим десятичную дробь $0,2$ обыкновенной: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Теперь выполним умножение: $\frac{1}{5} \cdot 3 = \frac{1 \cdot 3}{5} = \frac{3}{5}$. Ответ: $\frac{3}{5}$

г) $4,8 : 4$. Заменим десятичную дробь $4,8$ обыкновенной, представив ее в виде неправильной дроби: $4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$. Теперь выполним деление: $\frac{24}{5} : 4 = \frac{24}{5 \cdot 4} = \frac{6}{5}$. Преобразуем результат в десятичную дробь: $\frac{6}{5} = \frac{12}{10} = 1,2$. Ответ: $1,2$

д) $6 : 0,6$. Заменим десятичную дробь $0,6$ обыкновенной: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Теперь выполним деление: $6 : \frac{3}{5} = 6 \cdot \frac{5}{3} = \frac{6 \cdot 5}{3} = 2 \cdot 5 = 10$. Ответ: $10$

е) $12 : 0,3$. Заменим десятичную дробь $0,3$ обыкновенной: $0,3 = \frac{3}{10}$. Теперь выполним деление: $12 : \frac{3}{10} = 12 \cdot \frac{10}{3} = \frac{12 \cdot 10}{3} = 4 \cdot 10 = 40$. Ответ: $40$

765. Заменив обыкновенную дробь десятичной, вычислите:

а) $ \frac{1}{10} + 2,5; $

б) $ 7\frac{3}{100} - 2,15; $

в) $ 4,12 - 1\frac{1}{5}; $

г) $ 9,1 + 3\frac{1}{2}; $

д) $ 17,3 - 9\frac{1}{4}; $

е) $ 6,09 + 2\frac{1}{25}. $

а) Чтобы вычислить сумму $\frac{1}{10} + 2,5$, заменим обыкновенную дробь $\frac{1}{10}$ десятичной. По определению, одна десятая записывается как 0,1. Теперь выполним сложение десятичных дробей: $0,1 + 2,5 = 2,6$.
Ответ: 2,6

б) В выражении $7\frac{3}{100} - 2,15$ заменим смешанное число $7\frac{3}{100}$ десятичной дробью. Целая часть равна 7, а дробная часть $\frac{3}{100}$ (три сотых) записывается как 0,03. Таким образом, $7\frac{3}{100} = 7,03$. Теперь выполним вычитание: $7,03 - 2,15 = 4,88$.
Ответ: 4,88

в) В выражении $4,12 - 1\frac{1}{5}$ заменим смешанное число $1\frac{1}{5}$ десятичной дробью. Для этого приведем дробную часть $\frac{1}{5}$ к знаменателю, равному степени 10. Домножим числитель и знаменатель на 2: $\frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10} = 0,2$. Значит, $1\frac{1}{5} = 1,2$. Теперь выполним вычитание, уравняв количество знаков после запятой: $4,12 - 1,2 = 4,12 - 1,20 = 2,92$.
Ответ: 2,92

г) В выражении $9,1 + 3\frac{1}{2}$ заменим смешанное число $3\frac{1}{2}$ десятичной дробью. Приведем дробную часть $\frac{1}{2}$ к знаменателю 10, домножив числитель и знаменатель на 5: $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} = 0,5$. Значит, $3\frac{1}{2} = 3,5$. Теперь выполним сложение: $9,1 + 3,5 = 12,6$.
Ответ: 12,6

д) В выражении $17,3 - 9\frac{1}{4}$ заменим смешанное число $9\frac{1}{4}$ десятичной дробью. Приведем дробную часть $\frac{1}{4}$ к знаменателю 100, домножив числитель и знаменатель на 25: $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 25}{4 \times 25} = \frac{25}{100} = 0,25$. Значит, $9\frac{1}{4} = 9,25$. Теперь выполним вычитание, уравняв количество знаков после запятой: $17,3 - 9,25 = 17,30 - 9,25 = 8,05$.
Ответ: 8,05

е) В выражении $6,09 + 2\frac{1}{25}$ заменим смешанное число $2\frac{1}{25}$ десятичной дробью. Приведем дробную часть $\frac{1}{25}$ к знаменателю 100, домножив числитель и знаменатель на 4: $\frac{1}{25} = \frac{1 \times 4}{25 \times 4} = \frac{4}{100} = 0,04$. Значит, $2\frac{1}{25} = 2,04$. Теперь выполним сложение: $6,09 + 2,04 = 8,13$.
Ответ: 8,13

766. Вычислите периметр прямоугольника, если:

а) его ширина равна 2,3 см, а длина на 1,9 см больше;

б) его ширина равна 2,48 дм, а длина на 1,6 дм больше;

в) его длина равна 12,1 см, а ширина на 4,8 см меньше;

г) его длина равна 18 дм, а ширина на 4,7 дм меньше.

а) По условию, ширина прямоугольника равна $2,3$ см, а его длина на $1,9$ см больше.
1. Найдем длину прямоугольника. Для этого к ширине прибавим $1,9$ см:
$2,3 + 1,9 = 4,2$ см.
2. Теперь вычислим периметр прямоугольника по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ - длина, а $b$ - ширина:
$P = 2(4,2 + 2,3) = 2 \cdot 6,5 = 13$ см.
Ответ: 13 см.

б) По условию, ширина прямоугольника равна $2,48$ дм, а его длина на $1,6$ дм больше.
1. Найдем длину прямоугольника. Для этого к ширине прибавим $1,6$ дм:
$2,48 + 1,6 = 4,08$ дм.
2. Вычислим периметр прямоугольника по формуле $P = 2(a+b)$:
$P = 2(4,08 + 2,48) = 2 \cdot 6,56 = 13,12$ дм.
Ответ: 13,12 дм.

в) По условию, длина прямоугольника равна $12,1$ см, а его ширина на $4,8$ см меньше.
1. Найдем ширину прямоугольника. Для этого из длины вычтем $4,8$ см:
$12,1 - 4,8 = 7,3$ см.
2. Вычислим периметр прямоугольника по формуле $P = 2(a+b)$:
$P = 2(12,1 + 7,3) = 2 \cdot 19,4 = 38,8$ см.
Ответ: 38,8 см.

г) По условию, длина прямоугольника равна $18$ дм, а его ширина на $4,7$ дм меньше.
1. Найдем ширину прямоугольника. Для этого из длины вычтем $4,7$ дм:
$18 - 4,7 = 13,3$ дм.
2. Вычислим периметр прямоугольника по формуле $P = 2(a+b)$:
$P = 2(18 + 13,3) = 2 \cdot 31,3 = 62,6$ дм.
Ответ: 62,6 дм.

767. Вычислите по образцу:

a) $1,2 \text{ дм} + 1,2 \text{ см} = 1,2 \text{ дм} + 0,12 \text{ дм} = 1,32 \text{ дм};$

б) $16 \text{ см} + 4,35 \text{ дм};$

в) $7,35 \text{ м} + 4,9 \text{ дм};$

г) $2 \cdot 4,8 \text{ дм};$

д) $4,8 \text{ дм} : 2;$

е) $12,3 \text{ дм} - 42 \text{ см};$

ж) $34 \text{ дм} - 34 \text{ см}.$

б) Для того чтобы сложить величины, выраженные в разных единицах измерения, приведем их к одной единице. Переведем сантиметры в дециметры. Так как в одном дециметре 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$), то $1 \text{ см} = 0,1 \text{ дм}$.
$16 \text{ см} = 16 \cdot 0,1 \text{ дм} = 1,6 \text{ дм}$.
Теперь выполним сложение:
$16 \text{ см} + 4,35 \text{ дм} = 1,6 \text{ дм} + 4,35 \text{ дм} = 5,95 \text{ дм}$.
Ответ: $5,95 \text{ дм}$.

в) Приведем все величины к дециметрам. В одном метре 10 дециметров ($1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$).
$7,35 \text{ м} = 7,35 \cdot 10 \text{ дм} = 73,5 \text{ дм}$.
Теперь выполним сложение:
$7,35 \text{ м} + 4,9 \text{ дм} = 73,5 \text{ дм} + 4,9 \text{ дм} = 78,4 \text{ дм}$.
Ответ: $78,4 \text{ дм}$.

г) В данном примере нужно умножить число на величину. Единицы измерения при этом не меняются.
$2 \cdot 4,8 \text{ дм} = 9,6 \text{ дм}$.
Ответ: $9,6 \text{ дм}$.

д) В данном примере нужно разделить величину на число. Единицы измерения при этом не меняются.
$4,8 \text{ дм} : 2 = 2,4 \text{ дм}$.
Ответ: $2,4 \text{ дм}$.

е) Для того чтобы выполнить вычитание величин, выраженных в разных единицах измерения, приведем их к одной единице. Переведем сантиметры в дециметры. Так как $1 \text{ см} = 0,1 \text{ дм}$.
$42 \text{ см} = 42 \cdot 0,1 \text{ дм} = 4,2 \text{ дм}$.
Теперь выполним вычитание:
$12,3 \text{ дм} - 42 \text{ см} = 12,3 \text{ дм} - 4,2 \text{ дм} = 8,1 \text{ дм}$.
Ответ: $8,1 \text{ дм}$.

ж) Приведем все величины к дециметрам. Так как $1 \text{ см} = 0,1 \text{ дм}$.
$34 \text{ см} = 34 \cdot 0,1 \text{ дм} = 3,4 \text{ дм}$.
Теперь выполним вычитание:
$34 \text{ дм} - 34 \text{ см} = 34 \text{ дм} - 3,4 \text{ дм} = 30,6 \text{ дм}$.
Ответ: $30,6 \text{ дм}$.

768. Вычислите периметр треугольника, имеющего стороны:

а) $490 \text{ мм}$, $48 \text{ см}$, $4,7 \text{ дм}$;

б) $23 \text{ мм}$, $3,4 \text{ см}$, $0,48 \text{ дм}$;

в) $3,5 \text{ см}$, $0,38 \text{ дм}$, $0,041 \text{ м}$;

г) $0,125 \text{ м}$, $1,3 \text{ дм}$, $14,5 \text{ см}$.

Для вычисления периметра треугольника необходимо сложить длины всех его сторон. Периметр $P$ вычисляется по формуле: $P = a + b + c$, где $a, b, c$ — длины сторон. Так как в каждом пункте задачи длины сторон даны в разных единицах измерения, для вычисления периметра их необходимо сначала привести к одной общей единице.

а) Даны стороны: 490 мм, 48 см, 4,7 дм.

Приведем все длины к сантиметрам (см), используя соотношения: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$ и $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Первая сторона: $490 \text{ мм} = 490 / 10 \text{ см} = 49 \text{ см}$.
Вторая сторона: $48 \text{ см}$.
Третья сторона: $4,7 \text{ дм} = 4,7 \times 10 \text{ см} = 47 \text{ см}$.
Теперь вычислим периметр:
$P = 49 \text{ см} + 48 \text{ см} + 47 \text{ см} = 144 \text{ см}$.

Ответ: 144 см.

б) Даны стороны: 23 мм, 3,4 см, 0,48 дм.

Переведем все длины в миллиметры (мм), чтобы работать с целыми числами. Используем соотношения: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$ и $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$.
Первая сторона: $23 \text{ мм}$.
Вторая сторона: $3,4 \text{ см} = 3,4 \times 10 \text{ мм} = 34 \text{ мм}$.
Третья сторона: $0,48 \text{ дм} = 0,48 \times 100 \text{ мм} = 48 \text{ мм}$.
Вычислим периметр:
$P = 23 \text{ мм} + 34 \text{ мм} + 48 \text{ мм} = 105 \text{ мм}$.

Ответ: 105 мм.

в) Даны стороны: 3,5 см, 0,38 дм, 0,041 м.

Выразим все длины сторон в сантиметрах (см). Используем соотношения: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$ и $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Первая сторона: $3,5 \text{ см}$.
Вторая сторона: $0,38 \text{ дм} = 0,38 \times 10 \text{ см} = 3,8 \text{ см}$.
Третья сторона: $0,041 \text{ м} = 0,041 \times 100 \text{ см} = 4,1 \text{ см}$.
Найдем периметр:
$P = 3,5 \text{ см} + 3,8 \text{ см} + 4,1 \text{ см} = 11,4 \text{ см}$.

Ответ: 11,4 см.

г) Даны стороны: 0,125 м, 1,3 дм, 14,5 см.

Снова приведем все длины к сантиметрам (см). Используем соотношения: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$ и $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Первая сторона: $0,125 \text{ м} = 0,125 \times 100 \text{ см} = 12,5 \text{ см}$.
Вторая сторона: $1,3 \text{ дм} = 1,3 \times 10 \text{ см} = 13 \text{ см}$.
Третья сторона: $14,5 \text{ см}$.
Сложим длины сторон для нахождения периметра:
$P = 12,5 \text{ см} + 13 \text{ см} + 14,5 \text{ см} = 40 \text{ см}$.

Ответ: 40 см.

769. В квартире две комнаты. Одна комната имеет площадь 16,3 $м^2$, а другая на 1,9 $м^2$ меньше. Какова площадь двух комнат?

Для решения задачи выполним два действия: сначала найдем площадь второй комнаты, а затем — общую площадь обеих комнат.

1. Найдем площадь второй комнаты.
По условию, площадь первой комнаты составляет $16,3$ м², а вторая комната на $1,9$ м² меньше. Чтобы найти площадь второй комнаты, необходимо из площади первой комнаты вычесть $1,9$ м²:
$16,3 - 1,9 = 14,4$ (м²) – площадь второй комнаты.

2. Найдем общую площадь двух комнат.
Чтобы найти общую площадь, нужно сложить площади первой и второй комнат:
$16,3 + 14,4 = 30,7$ (м²) – общая площадь двух комнат.

Ответ: $30,7$ м².

770. В квартире три комнаты общей площадью $44.8 \text{ м}^2$. Одна комната имеет площадь $11.3 \text{ м}^2$, другая на $3.5 \text{ м}^2$ больше. Найдите площадь третьей комнаты.

Для решения этой задачи необходимо выполнить три действия: найти площадь второй комнаты, затем найти суммарную площадь двух комнат и, наконец, вычесть эту сумму из общей площади квартиры, чтобы найти площадь третьей комнаты.

1. Найдём площадь второй комнаты.
По условию, площадь первой комнаты равна $11,3$ м², а вторая комната на $3,5$ м² больше. Чтобы найти площадь второй комнаты, сложим площадь первой комнаты с разницей в площади:
$11,3 + 3,5 = 14,8$ (м²)

2. Найдём общую площадь первой и второй комнат.
Сложим площади первой и второй комнат:
$11,3 + 14,8 = 26,1$ (м²)

3. Найдём площадь третьей комнаты.
Общая площадь всех трех комнат составляет $44,8$ м². Чтобы найти площадь третьей комнаты, нужно из общей площади вычесть суммарную площадь первых двух комнат:
$44,8 - 26,1 = 18,7$ (м²)

Ответ: площадь третьей комнаты составляет $18,7$ м².

771. Щенок весит 2,5 кг, а котёнок на 2,1 кг меньше. Сколько весят котёнок и щенок вместе?

Для решения этой задачи нужно выполнить два действия.

1. Найдём вес котёнка.

В условии сказано, что щенок весит 2,5 кг, а котёнок — на 2,1 кг меньше. Чтобы найти вес котёнка, нужно из веса щенка вычесть разницу в весе:

$2,5 - 2,1 = 0,4$ (кг)

Таким образом, котёнок весит 0,4 кг.

2. Найдём, сколько весят котёнок и щенок вместе.

Чтобы найти их общий вес, сложим вес щенка и вес котёнка:

$2,5 + 0,4 = 2,9$ (кг)

Ответ: 2,9 кг.

772. Турист проехал на автобусе 48,4 км — это на 25,8 км больше, чем он прошёл пешком. Какое расстояние турист преодолел на автобусе и пешком?

Задача решается в два действия. Сначала необходимо найти расстояние, которое турист прошел пешком, а затем — общее расстояние.

1. Найдем расстояние, которое турист прошел пешком.

По условию, турист проехал на автобусе 48,4 км, что на 25,8 км больше, чем он прошел пешком. Это значит, что расстояние, пройденное пешком, меньше расстояния, пройденного на автобусе, на 25,8 км. Чтобы найти это расстояние, выполним вычитание:

$48,4 - 25,8 = 22,6$ (км)

Ответ: турист прошел пешком 22,6 км.

2. Найдем общее расстояние, которое турист преодолел на автобусе и пешком.

Чтобы найти общее расстояние, нужно сложить расстояние, которое турист проехал на автобусе, с расстоянием, которое он прошел пешком.

$48,4 + 22,6 = 71$ (км)

Ответ: всего турист преодолел 71 км.

773. Боря собрал $12,6 \text{ кг}$ яблок — это на $2,8 \text{ кг}$ больше, чем собрал Алёша, и на $1,4 \text{ кг}$ меньше, чем собрал Серёжа. Сколько килограммов яблок собрали мальчики вместе?

Для решения задачи необходимо последовательно найти, сколько килограммов яблок собрал каждый мальчик, а затем сложить эти значения.

1. Найдем, сколько килограммов яблок собрал Алёша.

В условии сказано, что Боря собрал 12,6 кг яблок, и это на 2,8 кг больше, чем собрал Алёша. Следовательно, чтобы найти количество яблок у Алёши, нужно из веса яблок Бори вычесть 2,8 кг.

$12,6 - 2,8 = 9,8$ (кг)

Таким образом, Алёша собрал 9,8 кг яблок.

2. Найдем, сколько килограммов яблок собрал Серёжа.

Также известно, что Боря собрал на 1,4 кг меньше, чем Серёжа. Это значит, что Серёжа собрал на 1,4 кг больше, чем Боря. Чтобы найти количество яблок у Серёжи, нужно к весу яблок Бори прибавить 1,4 кг.

$12,6 + 1,4 = 14$ (кг)

Таким образом, Серёжа собрал 14 кг яблок.

3. Найдем, сколько килограммов яблок собрали мальчики вместе.

Теперь сложим массу яблок, собранных всеми тремя мальчиками: Борей (12,6 кг), Алёшей (9,8 кг) и Серёжей (14 кг).

$12,6 + 9,8 + 14 = 22,4 + 14 = 36,4$ (кг)

Ответ: 36,4 кг.