Страница 144 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

724. Запишите обыкновенные и смешанные дроби в виде десятичных и прочитайте полученные записи:

а) $3\frac{1}{10}$, $2\frac{9}{10}$, $15\frac{4}{10}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{5}{10}$, $\frac{11}{10}$, $\frac{27}{10}$

б) $5\frac{12}{100}$, $7\frac{20}{100}$, $6\frac{91}{100}$, $\frac{13}{100}$, $\frac{85}{100}$, $\frac{7}{100}$, $\frac{111}{100}$

в) $5\frac{135}{1000}$, $17\frac{399}{1000}$, $8\frac{999}{1000}$, $\frac{777}{1000}$, $\frac{123}{1000}$, $\frac{87}{1000}$, $\frac{2011}{1000}$

г) $4\frac{8899}{10000}$, $1\frac{5678}{10000}$, $\frac{1234}{10000}$, $\frac{6969}{10000}$, $\frac{98}{10000}$, $\frac{2012}{10000}$

а) Чтобы записать обыкновенную или смешанную дробь в виде десятичной, нужно целую часть (если она есть) записать до запятой, а затем после запятой записать числитель дробной части. Количество цифр после запятой должно быть равно количеству нулей в знаменателе.

$3\frac{1}{10} = 3,1$ (читается: три целых одна десятая);

$2\frac{9}{10} = 2,9$ (читается: две целых девять десятых);

$15\frac{4}{10} = 15,4$ (читается: пятнадцать целых четыре десятых);

$\frac{3}{10} = 0,3$ (читается: ноль целых три десятых);

$\frac{5}{10} = 0,5$ (читается: ноль целых пять десятых);

Для неправильных дробей сначала выделяем целую часть: $\frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1,1$ (читается: одна целая одна десятая);

$\frac{27}{10} = 2\frac{7}{10} = 2,7$ (читается: две целых семь десятых).

Ответ: $3,1$; $2,9$; $15,4$; $0,3$; $0,5$; $1,1$; $2,7$.

б) В знаменателе дробей стоит 100, значит, после запятой должно быть две цифры.

$5\frac{12}{100} = 5,12$ (читается: пять целых двенадцать сотых);

$7\frac{20}{100} = 7,20 = 7,2$ (читается: семь целых двадцать сотых или семь целых две десятых);

$6\frac{91}{100} = 6,91$ (читается: шесть целых девяносто одна сотая);

$\frac{13}{100} = 0,13$ (читается: ноль целых тринадцать сотых);

$\frac{85}{100} = 0,85$ (читается: ноль целых восемьдесят пять сотых);

Если в числителе цифр меньше, чем нулей в знаменателе, то недостающие места после запятой заполняются нулями: $\frac{7}{100} = 0,07$ (читается: ноль целых семь сотых);

$\frac{111}{100} = 1\frac{11}{100} = 1,11$ (читается: одна целая одиннадцать сотых).

Ответ: $5,12$; $7,2$; $6,91$; $0,13$; $0,85$; $0,07$; $1,11$.

в) В знаменателе дробей стоит 1000, значит, после запятой должно быть три цифры.

$5\frac{135}{1000} = 5,135$ (читается: пять целых сто тридцать пять тысячных);

$17\frac{399}{1000} = 17,399$ (читается: семнадцать целых триста девяносто девять тысячных);

$8\frac{999}{1000} = 8,999$ (читается: восемь целых девятьсот девяносто девять тысячных);

$\frac{777}{1000} = 0,777$ (читается: ноль целых семьсот семьдесят семь тысячных);

$\frac{123}{1000} = 0,123$ (читается: ноль целых сто двадцать три тысячных);

$\frac{87}{1000} = 0,087$ (читается: ноль целых восемьдесят семь тысячных);

$\frac{2011}{1000} = 2\frac{11}{1000} = 2,011$ (читается: две целых одиннадцать тысячных).

Ответ: $5,135$; $17,399$; $8,999$; $0,777$; $0,123$; $0,087$; $2,011$.

г) В знаменателе дробей стоит 10000, значит, после запятой должно быть четыре цифры.

$4\frac{8899}{10000} = 4,8899$ (читается: четыре целых восемь тысяч восемьсот девяносто девять десятитысячных);

$1\frac{5678}{10000} = 1,5678$ (читается: одна целая пять тысяч шестьсот семьдесят восемь десятитысячных);

$\frac{1234}{10000} = 0,1234$ (читается: ноль целых одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячных);

$\frac{6969}{10000} = 0,6969$ (читается: ноль целых шесть тысяч девятьсот шестьдесят девять десятитысячных);

$\frac{98}{10000} = 0,0098$ (читается: ноль целых девяносто восемь десятитысячных);

$\frac{2012}{10000} = 0,2012$ (читается: ноль целых две тысячи двенадцать десятитысячных).

Ответ: $4,8899$; $1,5678$; $0,1234$; $0,6969$; $0,0098$; $0,2012$.

725. Прочитайте дроби, запишите их в виде обыкновенных или смешанных дробей:

а) 3,2; 7,3; 3,5; 0,1; 0,9;

б) 7,12; 9,23; 10,34; 0,45; 0,56;

в) 12,333; 16,596; 0,887; 0,379; 0,111;

г) 2,1111; 5,1995; 4,1996; 0,1997; 0,1998.

Чтобы преобразовать десятичную дробь в обыкновенную или смешанную, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Целую часть десятичной дроби (число до запятой) записать как целую часть смешанной дроби. Если целая часть равна нулю, этот шаг пропускается, и в результате получится обыкновенная дробь.
2. Дробную часть десятичной дроби (число после запятой) записать в числитель.
3. В знаменатель записать цифру 1 и столько нулей, сколько цифр стоит в дробной части после запятой.
4. Если возможно, сократить полученную дробную часть, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.

а)

$3,2$: целая часть $3$, в дробной части одна цифра ($2$). Значит, $3,2 = 3\frac{2}{10}$. Сокращаем дробную часть на $2$: $3\frac{2:2}{10:2} = 3\frac{1}{5}$.
Ответ: $3\frac{1}{5}$

$7,3$: целая часть $7$, в дробной части одна цифра ($3$). Значит, $7,3 = 7\frac{3}{10}$. Дробь несократимая.
Ответ: $7\frac{3}{10}$

$3,5$: целая часть $3$, в дробной части одна цифра ($5$). Значит, $3,5 = 3\frac{5}{10}$. Сокращаем дробную часть на $5$: $3\frac{5:5}{10:5} = 3\frac{1}{2}$.
Ответ: $3\frac{1}{2}$

$0,1$: целая часть $0$, в дробной части одна цифра ($1$). Значит, $0,1 = \frac{1}{10}$. Дробь несократимая.
Ответ: $\frac{1}{10}$

$0,9$: целая часть $0$, в дробной части одна цифра ($9$). Значит, $0,9 = \frac{9}{10}$. Дробь несократимая.
Ответ: $\frac{9}{10}$

б)

$7,12$: целая часть $7$, в дробной части две цифры ($12$). Значит, $7,12 = 7\frac{12}{100}$. Сокращаем дробную часть на $4$: $7\frac{12:4}{100:4} = 7\frac{3}{25}$.
Ответ: $7\frac{3}{25}$

$9,23$: целая часть $9$, в дробной части две цифры ($23$). Значит, $9,23 = 9\frac{23}{100}$. Дробь несократимая.
Ответ: $9\frac{23}{100}$

$10,34$: целая часть $10$, в дробной части две цифры ($34$). Значит, $10,34 = 10\frac{34}{100}$. Сокращаем дробную часть на $2$: $10\frac{34:2}{100:2} = 10\frac{17}{50}$.
Ответ: $10\frac{17}{50}$

$0,45$: целая часть $0$, в дробной части две цифры ($45$). Значит, $0,45 = \frac{45}{100}$. Сокращаем дробь на $5$: $\frac{45:5}{100:5} = \frac{9}{20}$.
Ответ: $\frac{9}{20}$

$0,56$: целая часть $0$, в дробной части две цифры ($56$). Значит, $0,56 = \frac{56}{100}$. Сокращаем дробь на $4$: $\frac{56:4}{100:4} = \frac{14}{25}$.
Ответ: $\frac{14}{25}$

в)

$12,333$: целая часть $12$, в дробной части три цифры ($333$). Значит, $12,333 = 12\frac{333}{1000}$. Дробь несократимая.
Ответ: $12\frac{333}{1000}$

$16,596$: целая часть $16$, в дробной части три цифры ($596$). Значит, $16,596 = 16\frac{596}{1000}$. Сокращаем дробную часть на $4$: $16\frac{596:4}{1000:4} = 16\frac{149}{250}$.
Ответ: $16\frac{149}{250}$

$0,887$: целая часть $0$, в дробной части три цифры ($887$). Значит, $0,887 = \frac{887}{1000}$. Дробь несократимая.
Ответ: $\frac{887}{1000}$

$0,379$: целая часть $0$, в дробной части три цифры ($379$). Значит, $0,379 = \frac{379}{1000}$. Дробь несократимая.
Ответ: $\frac{379}{1000}$

$0,111$: целая часть $0$, в дробной части три цифры ($111$). Значит, $0,111 = \frac{111}{1000}$. Дробь несократимая.
Ответ: $\frac{111}{1000}$

г)

$2,1111$: целая часть $2$, в дробной части четыре цифры ($1111$). Значит, $2,1111 = 2\frac{1111}{10000}$. Дробь несократимая.
Ответ: $2\frac{1111}{10000}$

$5,1995$: целая часть $5$, в дробной части четыре цифры ($1995$). Значит, $5,1995 = 5\frac{1995}{10000}$. Сокращаем дробную часть на $5$: $5\frac{1995:5}{10000:5} = 5\frac{399}{2000}$.
Ответ: $5\frac{399}{2000}$

$4,1996$: целая часть $4$, в дробной части четыре цифры ($1996$). Значит, $4,1996 = 4\frac{1996}{10000}$. Сокращаем дробную часть на $4$: $4\frac{1996:4}{10000:4} = 4\frac{499}{2500}$.
Ответ: $4\frac{499}{2500}$

$0,1997$: целая часть $0$, в дробной части четыре цифры ($1997$). Значит, $0,1997 = \frac{1997}{10000}$. Дробь несократимая.
Ответ: $\frac{1997}{10000}$

$0,1998$: целая часть $0$, в дробной части четыре цифры ($1998$). Значит, $0,1998 = \frac{1998}{10000}$. Сокращаем дробь на $2$: $\frac{1998:2}{10000:2} = \frac{999}{5000}$.
Ответ: $\frac{999}{5000}$

726. Запишите обыкновенные и смешанные дроби в виде десятичных и прочитайте полученные записи:

а) $4\frac{1}{100}$, $215\frac{3}{100}$, $\frac{9}{100}$, $\frac{2}{100}$, $\frac{11}{100}$, $21\frac{17}{100}$;

б) $3\frac{1}{1000}$, $7\frac{12}{1000}$, $\frac{8}{1000}$, $\frac{81}{1000}$, $32\frac{7}{1000}$, $\frac{113}{1000}$;

в) $6\frac{5}{10000}$, $2\frac{13}{10000}$, $\frac{356}{10000}$, $\frac{679}{10000}$, $\frac{2011}{10000}$, $15\frac{17}{10000}$;

г) $7\frac{7}{100000}$, $100\frac{46}{100000}$, $\frac{627}{100000}$, $\frac{1111}{100000}$, $98\frac{2012}{100000}$.

а) Чтобы записать обыкновенные и смешанные дроби со знаменателем 100 в виде десятичных, нужно целую часть (если она есть) записать до запятой, а в числителе дробной части должно быть столько же цифр, сколько нулей в знаменателе. Если цифр в числителе меньше, то перед ними дописываются нули. В знаменателе 100 два нуля, значит, после запятой должно быть две цифры.

$4\frac{1}{100} = 4.01$ (четыре целых одна сотая)

$215\frac{3}{100} = 215.03$ (двести пятнадцать целых три сотых)

$\frac{9}{100} = 0.09$ (ноль целых девять сотых)

$\frac{2}{100} = 0.02$ (ноль целых две сотых)

$\frac{11}{100} = 0.11$ (ноль целых одиннадцать сотых)

$21\frac{17}{100} = 21.17$ (двадцать одна целая семнадцать сотых)

Ответ: $4.01$; $215.03$; $0.09$; $0.02$; $0.11$; $21.17$.

б) В знаменателе 1000 три нуля, значит, после запятой должно быть три цифры.

$3\frac{1}{1000} = 3.001$ (три целых одна тысячная)

$7\frac{12}{1000} = 7.012$ (семь целых двенадцать тысячных)

$\frac{8}{1000} = 0.008$ (ноль целых восемь тысячных)

$\frac{81}{1000} = 0.081$ (ноль целых восемьдесят одна тысячная)

$32\frac{7}{1000} = 32.007$ (тридцать две целых семь тысячных)

$\frac{113}{1000} = 0.113$ (ноль целых сто тринадцать тысячных)

Ответ: $3.001$; $7.012$; $0.008$; $0.081$; $32.007$; $0.113$.

в) В знаменателе 10000 четыре нуля, значит, после запятой должно быть четыре цифры.

$6\frac{5}{10000} = 6.0005$ (шесть целых пять десятитысячных)

$2\frac{13}{10000} = 2.0013$ (две целых тринадцать десятитысячных)

$\frac{356}{10000} = 0.0356$ (ноль целых триста пятьдесят шесть десятитысячных)

$\frac{679}{10000} = 0.0679$ (ноль целых шестьсот семьдесят девять десятитысячных)

$\frac{2011}{10000} = 0.2011$ (ноль целых две тысячи одиннадцать десятитысячных)

$15\frac{17}{10000} = 15.0017$ (пятнадцать целых семнадцать десятитысячных)

Ответ: $6.0005$; $2.0013$; $0.0356$; $0.0679$; $0.2011$; $15.0017$.

г) В знаменателе 100000 пять нулей, значит, после запятой должно быть пять цифр.

$7\frac{7}{100000} = 7.00007$ (семь целых семь стотысячных)

$100\frac{46}{100000} = 100.00046$ (сто целых сорок шесть стотысячных)

$\frac{627}{100000} = 0.00627$ (ноль целых шестьсот двадцать семь стотысячных)

$\frac{1111}{100000} = 0.01111$ (ноль целых одна тысяча сто одиннадцать стотысячных)

$98\frac{2012}{100000} = 98.02012$ (девяносто восемь целых две тысячи двенадцать стотысячных)

Ответ: $7.00007$; $100.00046$; $0.00627$; $0.01111$; $98.02012$.

727. Запишите в виде неправильной дроби:

а) 12,3;

б) 1,23;

в) 10,123;

г) 987,6;

д) 98,76;

е) 9,876;

ж) 2,2222;

з) 22,222;

и) 222,22.

а) Чтобы представить десятичную дробь 12,3 в виде неправильной дроби, нужно число без запятой записать в числитель, а в знаменатель поставить 1 и столько нулей, сколько цифр стоит после запятой. В данном случае после запятой стоит одна цифра (3), поэтому в знаменателе будет 10.
$12,3 = \frac{123}{10}$
Эта дробь является несократимой, так как числитель 123 не делится нацело на 2 или 5.
Ответ: $ \frac{123}{10} $

б) Для десятичной дроби 1,23 в числитель записываем число без запятой — 123. В знаменатель ставим 1 и два нуля, так как после запятой две цифры (2 и 3). Получаем знаменатель 100.
$1,23 = \frac{123}{100}$
Эта дробь является несократимой.
Ответ: $ \frac{123}{100} $

в) Для десятичной дроби 10,123 в числитель записываем число без запятой — 10123. В знаменатель ставим 1 и три нуля, так как после запятой три цифры. Получаем знаменатель 1000.
$10,123 = \frac{10123}{1000}$
Эта дробь является несократимой.
Ответ: $ \frac{10123}{1000} $

г) Для десятичной дроби 987,6 в числитель записываем 9876, а в знаменатель 10 (одна цифра после запятой).
$987,6 = \frac{9876}{10}$
Полученную дробь можно сократить. Числитель и знаменатель делятся на 2.
$\frac{9876}{10} = \frac{9876 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4938}{5}$
Ответ: $ \frac{4938}{5} $

д) Для десятичной дроби 98,76 в числитель записываем 9876, а в знаменатель 100 (две цифры после запятой).
$98,76 = \frac{9876}{100}$
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 9876 и 100 — это 4.
$\frac{9876}{100} = \frac{9876 \div 4}{100 \div 4} = \frac{2469}{25}$
Ответ: $ \frac{2469}{25} $

е) Для десятичной дроби 9,876 в числитель записываем 9876, а в знаменатель 1000 (три цифры после запятой).
$9,876 = \frac{9876}{1000}$
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 9876 и 1000 — это 4.
$\frac{9876}{1000} = \frac{9876 \div 4}{1000 \div 4} = \frac{2469}{250}$
Ответ: $ \frac{2469}{250} $

ж) Для десятичной дроби 2,2222 в числитель записываем 22222, а в знаменатель 10000 (четыре цифры после запятой).
$2,2222 = \frac{22222}{10000}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2.
$\frac{22222}{10000} = \frac{22222 \div 2}{10000 \div 2} = \frac{11111}{5000}$
Ответ: $ \frac{11111}{5000} $

з) Для десятичной дроби 22,222 в числитель записываем 22222, а в знаменатель 1000 (три цифры после запятой).
$22,222 = \frac{22222}{1000}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2.
$\frac{22222}{1000} = \frac{22222 \div 2}{1000 \div 2} = \frac{11111}{500}$
Ответ: $ \frac{11111}{500} $

и) Для десятичной дроби 222,22 в числитель записываем 22222, а в знаменатель 100 (две цифры после запятой).
$222,22 = \frac{22222}{100}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2.
$\frac{22222}{100} = \frac{22222 \div 2}{100 \div 2} = \frac{11111}{50}$
Ответ: $ \frac{11111}{50} $

728. Прочитайте дроби:

а) $5,05$; $7,01$; $12,07$; $0,01$; $0,09$;

б) $19,004$; $6,016$; $8,008$; $0,001$; $0,022$;

в) $13,0007$; $2,0089$; $16,0999$; $0,0001$; $0,0022$;

г) $31,00009$; $7,00099$; $0,00001$; $0,00666$.

а) В дробях этого пункта два знака после запятой, что соответствует разряду сотых. Десятичную дробь читают, называя сначала целую часть, а затем дробную, добавляя название разряда последней цифры дробной части.

$5,05$ — пять целых пять сотых.

$7,01$ — семь целых одна сотая.

$12,07$ — двенадцать целых семь сотых.

$0,01$ — ноль целых одна сотая.

$0,09$ — ноль целых девять сотых.

Ответ: пять целых пять сотых; семь целых одна сотая; двенадцать целых семь сотых; ноль целых одна сотая; ноль целых девять сотых.

б) В дробях этого пункта три знака после запятой, что соответствует разряду тысячных.

$19,004$ — девятнадцать целых четыре тысячных.

$6,016$ — шесть целых шестнадцать тысячных.

$8,008$ — восемь целых восемь тысячных.

$0,001$ — ноль целых одна тысячная.

$0,022$ — ноль целых двадцать две тысячных.

Ответ: девятнадцать целых четыре тысячных; шесть целых шестнадцать тысячных; восемь целых восемь тысячных; ноль целых одна тысячная; ноль целых двадцать две тысячных.

в) В дробях этого пункта четыре знака после запятой, что соответствует разряду десятитысячных.

$13,0007$ — тринадцать целых семь десятитысячных.

$2,0089$ — две целых восемьдесят девять десятитысячных.

$16,0999$ — шестнадцать целых девятьсот девяносто девять десятитысячных.

$0,0001$ — ноль целых одна десятитысячная.

$0,0022$ — ноль целых двадцать две десятитысячных.

Ответ: тринадцать целых семь десятитысячных; две целых восемьдесят девять десятитысячных; шестнадцать целых девятьсот девяносто девять десятитысячных; ноль целых одна десятитысячная; ноль целых двадцать две десятитысячных.

г) В дробях этого пункта пять знаков после запятой, что соответствует разряду стотысячных.

$31,00009$ — тридцать одна целая девять стотысячных.

$7,00099$ — семь целых девяносто девять стотысячных.

$0,00001$ — ноль целых одна стотысячная.

$0,00666$ — ноль целых шестьсот шестьдесят шесть стотысячных.

Ответ: тридцать одна целая девять стотысячных; семь целых девяносто девять стотысячных; ноль целых одна стотысячная; ноль целых шестьсот шестьдесят шесть стотысячных.