Страница 140 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

716. (Армения, VII в.) Один купец прошёл через три города, и взыскали с него в первом городе пошлины половину и треть имущества, во втором городе половину и треть [с того, что осталось] и в третьем городе снова взыскали половину и треть [с того, что у него было]; и когда он прибыл домой, у него осталось 11 дахеканов [денежных единиц]. Итак, узнай, сколько всего дахеканов было вначале у купца.

Для решения этой задачи будем рассуждать с конца. Мы знаем, что после посещения трех городов у купца осталось 11 дахеканов. Выясним, какая часть имущества взималась в качестве пошлины в каждом городе.

Пошлина составляла "половину и треть" имущества. Сложим эти доли:

$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} $

Таким образом, в каждом городе в качестве пошлины забирали $ \frac{5}{6} $ имевшихся у купца денег. Следовательно, после уплаты пошлины у него оставалась:

$ 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} $

То есть, проходя через каждый город, купец лишался $ \frac{5}{6} $ своего состояния, и у него оставалась лишь $ \frac{1}{6} $ от той суммы, с которой он входил в город.

Теперь решим задачу, двигаясь в обратном порядке:

1. Перед третьим городом:

После выхода из третьего города у купца осталось 11 дахеканов. Эта сумма составляет $ \frac{1}{6} $ от того, что у него было до уплаты пошлины в этом городе. Чтобы найти, сколько денег у него было до входа в третий город, нужно 11 умножить на 6:

$ 11 \cdot 6 = 66 $ дахеканов.

2. Перед вторым городом:

Сумма в 66 дахеканов — это то, что осталось у купца после уплаты пошлины во втором городе. Эта сумма составляет $ \frac{1}{6} $ от того, что у него было до входа во второй город. Найдем эту сумму:

$ 66 \cdot 6 = 396 $ дахеканов.

3. Перед первым городом (изначальная сумма):

Сумма в 396 дахеканов — это то, что осталось у купца после уплаты пошлины в первом городе. Эта сумма составляет $ \frac{1}{6} $ от его первоначального капитала. Найдем первоначальную сумму:

$ 396 \cdot 6 = 2376 $ дахеканов.

Таким образом, вначале у купца было 2376 дахеканов.

Ответ: 2376 дахеканов.

717. Из Акмимского папируса (VI в.). Некто взял из сокровищницы $\frac{1}{13}$. Другой взял $\frac{1}{17}$ из того, что осталось, оставил же в сокровищнице 150. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально.

Для решения задачи введем переменную $x$, которая будет обозначать первоначальное количество чего-либо в сокровищнице.

Первый человек взял $\frac{1}{13}$ от первоначального количества. После этого в сокровищнице осталось:

$x - \frac{1}{13}x = \frac{13}{13}x - \frac{1}{13}x = \frac{12}{13}x$

Второй человек взял $\frac{1}{17}$ от того, что осталось. Это означает, что после него осталась часть, равная $1 - \frac{1}{17} = \frac{16}{17}$ от суммы, которая была в сокровищнице после первого человека.

Найдем, какая часть от первоначального количества осталась в итоге:

$\frac{16}{17} \times \left(\frac{12}{13}x\right) = \frac{16 \times 12}{17 \times 13}x = \frac{192}{221}x$

Согласно условию, в сокровищнице осталось 150. Мы можем составить уравнение:

$\frac{192}{221}x = 150$

Теперь решим это уравнение относительно $x$, чтобы найти первоначальное количество:

$x = 150 \div \frac{192}{221} = 150 \times \frac{221}{192}$

Сократим полученное выражение. И числитель (150), и знаменатель (192) делятся на 6:

$150 = 6 \times 25$

$192 = 6 \times 32$

$x = \frac{25 \times 6 \times 221}{32 \times 6} = \frac{25 \times 221}{32} = \frac{5525}{32}$

Чтобы получить более наглядный ответ, преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$5525 \div 32 = 172$ с остатком $21$.

Таким образом, $x = 172 \frac{21}{32}$.

Ответ: первоначально в сокровищнице было $172 \frac{21}{32}$.

718. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некто пришёл в ряд, купил игрушек для малых ребят: за первую игрушку заплатил $\frac{1}{5}$ часть всех своих денег, за другую $\frac{3}{7}$ остатка от первой покупки, за третью игрушку заплатил $\frac{3}{5}$ остатка от второй покупки, а по приезде в дом нашёл остальных в кошельке денег 1 р. 92 к. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за которую игрушку денег заплачено.

Для решения этой задачи удобнее всего рассуждать с конца, определив, какая часть денег оставалась после каждой покупки. Для простоты вычислений переведем рубли и копейки в копейки: 1 р. 92 к. = 192 копейки.

1. Найдем, сколько денег было перед покупкой третьей игрушки.

За третью игрушку было заплачено $ \frac{3}{5} $ остатка от второй покупки. Следовательно, оставшиеся 192 копейки составляют $ 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} $ от той суммы, которая была в кошельке перед покупкой третьей игрушки.

Найдем эту сумму, решив пропорцию:

$ 192 \text{ коп.} - \frac{2}{5} $

$ x \text{ коп.} - 1 $

$ x = 192 \div \frac{2}{5} = 192 \times \frac{5}{2} = 96 \times 5 = 480 $ копеек.

Таким образом, перед третьей покупкой было 480 копеек (4 р. 80 к.).

2. Найдем, сколько денег было перед покупкой второй игрушки.

Сумма в 480 копеек осталась после второй покупки. За вторую игрушку было заплачено $ \frac{3}{7} $ остатка от первой покупки. Значит, 480 копеек составляют $ 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7} $ от суммы, которая была перед второй покупкой.

Найдем эту сумму:

$ x = 480 \div \frac{4}{7} = 480 \times \frac{7}{4} = 120 \times 7 = 840 $ копеек.

Таким образом, перед второй покупкой было 840 копеек (8 р. 40 к.).

3. Найдем, сколько денег было в кошельке изначально.

Сумма в 840 копеек осталась после первой покупки. За первую игрушку было заплачено $ \frac{1}{5} $ всех денег. Значит, 840 копеек составляют $ 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $ от первоначальной суммы.

Найдем первоначальную сумму:

$ x = 840 \div \frac{4}{5} = 840 \times \frac{5}{4} = 210 \times 5 = 1050 $ копеек.

Таким образом, изначально в кошельке было 1050 копеек.

Ответ: Изначально в кошельке было 10 рублей 50 копеек.

4. Найдем, сколько заплачено за каждую игрушку.

Зная все промежуточные и итоговую суммы, мы можем вычислить стоимость каждой игрушки:

• За первую игрушку: $ \frac{1}{5} $ от 1050 копеек.
  $ 1050 \times \frac{1}{5} = 210 $ копеек, или 2 рубля 10 копеек.

• За вторую игрушку: $ \frac{3}{7} $ от остатка после первой покупки (840 копеек).
  $ 840 \times \frac{3}{7} = 120 \times 3 = 360 $ копеек, или 3 рубля 60 копеек.

• За третью игрушку: $ \frac{3}{5} $ от остатка после второй покупки (480 копеек).
  $ 480 \times \frac{3}{5} = 96 \times 3 = 288 $ копеек, или 2 рубля 88 копеек.

Ответ: За первую игрушку заплатили 2 р. 10 к., за вторую — 3 р. 60 к., за третью — 2 р. 88 к.

719. Для перевозки 25 зеркал нанят извозчик с условием заплатить ему по 1 р. 50 к. за доставку каждого зеркала в целости и вычесть с него по 5 р. за каждое разбитое им зеркало. На дороге извозчик действительно разбил несколько зеркал и за перевозку получил только 18 р. Сколько зеркал он доставил в целости?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество зеркал, доставленных в целости, а $y$ — количество разбитых зеркал. Всего было 25 зеркал, поэтому мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 25$

Извозчик должен был получить 1 рубль 50 копеек ($1.5$ рубля) за каждое целое зеркало и заплатить штраф 5 рублей за каждое разбитое. В итоге он получил 18 рублей. Это можно выразить вторым уравнением:

$1.5x - 5y = 18$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 25 \\ 1.5x - 5y = 18 \end{cases} $

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 25 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение, чтобы найти $x$:

$1.5x - 5(25 - x) = 18$

Раскроем скобки:

$1.5x - 125 + 5x = 18$

Сгруппируем слагаемые с $x$:

$6.5x = 18 + 125$

$6.5x = 143$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{143}{6.5} = \frac{1430}{65} = 22$

Итак, извозчик доставил в целости 22 зеркала.

Проверим результат. Если целых зеркал было 22, то разбитых было $25 - 22 = 3$.

Расчет оплаты: $(22 \times 1.5) - (3 \times 5) = 33 - 15 = 18$ рублей. Все сходится.

Ответ: извозчик доставил в целости 22 зеркала.

720. Первый мастер шьёт шубу за 5 дней, а второй — за 3 дня. Как распределить между ними заказ на пошив 9 шуб, чтобы каждый сшил целое число шуб и заказ был выполнен в кратчайший срок?

Для решения этой задачи необходимо найти такое распределение 9 шуб между двумя мастерами, при котором время, затраченное на выполнение своей части заказа последним из мастеров, будет минимальным. Оба мастера начинают работать одновременно.

Пусть $n_1$ — количество шуб, которые сошьёт первый мастер, а $n_2$ — количество шуб, которые сошьёт второй мастер. По условию, оба числа должны быть целыми, и в сумме они должны давать 9:

$n_1 + n_2 = 9$

Время, которое потребуется первому мастеру для пошива $n_1$ шуб, составляет:

$T_1 = 5 \cdot n_1$ дней

Время, которое потребуется второму мастеру для пошива $n_2$ шуб, составляет:

$T_2 = 3 \cdot n_2$ дней

Так как они работают параллельно, общее время выполнения заказа $T$ будет равно максимальному из времён $T_1$ и $T_2$:

$T = \max(T_1, T_2) = \max(5n_1, 3n_2)$

Наша цель — найти такие целые неотрицательные $n_1$ и $n_2$, что $n_1 + n_2 = 9$, а величина $T$ минимальна.

Чтобы минимизировать максимальное из двух значений, нужно, чтобы эти значения были как можно ближе друг к другу. То есть, $5n_1 \approx 3n_2$. Учитывая, что $n_2 = 9 - n_1$, получаем:

$5n_1 \approx 3(9 - n_1)$

$5n_1 \approx 27 - 3n_1$

$8n_1 \approx 27$

$n_1 \approx \frac{27}{8} = 3.375$

Поскольку $n_1$ должно быть целым числом, проверим ближайшие к $3.375$ целые значения: $n_1=3$ и $n_1=4$.

Переберём все возможные варианты распределения заказа и вычислим время выполнения для каждого:

• Если первый мастер шьёт 0 шуб ($n_1=0$), то второй шьёт 9 ($n_2=9$). Время: $T = \max(5 \cdot 0, 3 \cdot 9) = \max(0, 27) = 27$ дней.
• Если $n_1=1$, то $n_2=8$. Время: $T = \max(5 \cdot 1, 3 \cdot 8) = \max(5, 24) = 24$ дня.
• Если $n_1=2$, то $n_2=7$. Время: $T = \max(5 \cdot 2, 3 \cdot 7) = \max(10, 21) = 21$ день.
• Если $n_1=3$, то $n_2=6$. Время: $T = \max(5 \cdot 3, 3 \cdot 6) = \max(15, 18) = 18$ дней.
• Если $n_1=4$, то $n_2=5$. Время: $T = \max(5 \cdot 4, 3 \cdot 5) = \max(20, 15) = 20$ дней.
• Если $n_1=5$, то $n_2=4$. Время: $T = \max(5 \cdot 5, 3 \cdot 4) = \max(25, 12) = 25$ дней.
• Если $n_1=6$, то $n_2=3$. Время: $T = \max(5 \cdot 6, 3 \cdot 3) = \max(30, 9) = 30$ дней.
• Если $n_1=7$, то $n_2=2$. Время: $T = \max(5 \cdot 7, 3 \cdot 2) = \max(35, 6) = 35$ дней.
• Если $n_1=8$, то $n_2=1$. Время: $T = \max(5 \cdot 8, 3 \cdot 1) = \max(40, 3) = 40$ дней.
• Если $n_1=9$, то $n_2=0$. Время: $T = \max(5 \cdot 9, 3 \cdot 0) = \max(45, 0) = 45$ дней.

Сравнивая полученные результаты, видим, что минимальное время выполнения заказа составляет 18 дней. Это достигается, когда первый мастер шьёт 3 шубы (затратив $5 \cdot 3 = 15$ дней), а второй — 6 шуб (затратив $3 \cdot 6 = 18$ дней). Заказ будет выполнен через 18 дней, когда второй, более медленный в данном распределении, мастер закончит свою работу.

Ответ: первому мастеру нужно поручить сшить 3 шубы, а второму — 6 шуб. Заказ будет выполнен за 18 дней.

721. Три пирата Джон, Джек и Билл откопали кувшин с золотыми. Джон хотел взять себе $1/3$ всех золотых и $1/2$ остатка дать Джеку. Джек хотел взять себе $1/2$ всех золотых и $1/3$ остатка дать Джону. На каком варианте дележа они остановились, Билл не помнит, но он точно знает, что ему досталось 50 золотых. Сколько золотых было в кувшине?

Для решения задачи необходимо рассмотреть оба варианта дележа и найти общее количество золотых в каждом случае, исходя из того, что Биллу досталось 50 золотых. Обозначим общее количество золотых в кувшине переменной $x$.

Рассмотрим первый вариант (предложение Джона)

1. Джон хотел взять себе треть всех золотых. Его доля составляет $\frac{1}{3}x$.

2. После этого остаток составляет $x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x$.

3. Половину этого остатка Джон хотел дать Джеку. Доля Джека составляет $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x$.

4. Биллу достается то, что осталось после Джона и Джека. Его доля равна общему количеству минус доли Джона и Джека: $x - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}x = \frac{1}{3}x$.

5. Мы знаем, что Биллу досталось 50 золотых. Составим уравнение: $\frac{1}{3}x = 50$.

6. Решив уравнение, находим общее количество золотых: $x = 50 \cdot 3 = 150$.

При этом варианте дележа Джон получил бы $50$ золотых, Джек — $50$ золотых и Билл — $50$ золотых.

Рассмотрим второй вариант (предложение Джека)

1. Джек хотел взять себе половину всех золотых. Его доля составляет $\frac{1}{2}x$.

2. После этого остаток составляет $x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x$.

3. Треть этого остатка Джек хотел дать Джону. Доля Джона составляет $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}x = \frac{1}{6}x$.

4. Биллу достается то, что осталось после Джека и Джона. Его доля равна остатку после Джека минус доля Джона: $\frac{1}{2}x - \frac{1}{6}x = \frac{3}{6}x - \frac{1}{6}x = \frac{2}{6}x = \frac{1}{3}x$.

5. Мы знаем, что Биллу досталось 50 золотых. Снова составляем уравнение: $\frac{1}{3}x = 50$.

6. Решение уравнения дает тот же результат: $x = 50 \cdot 3 = 150$.

При этом варианте дележа Джек получил бы $\frac{1}{2} \cdot 150 = 75$ золотых, Джон — $\frac{1}{6} \cdot 150 = 25$ золотых, а Билл — $50$ золотых.

В обоих случаях, если Биллу досталось 50 золотых, общее количество золотых в кувшине должно было быть равным 150. Поэтому Биллу не нужно помнить, какой вариант дележа был выбран.

Ответ: В кувшине было 150 золотых.