Номер 716, страница 140 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Рациональные числа. Дополнения к главе 3. Занимательные задачи - номер 716, страница 140.

Условие.

716. (Армения, VII в.) Один купец прошёл через три города, и взыскали с него в первом городе пошлины половину и треть имущества, во втором городе половину и треть [с того, что осталось] и в третьем городе снова взыскали половину и треть [с того, что у него было]; и когда он прибыл домой, у него осталось 11 дахеканов [денежных единиц]. Итак, узнай, сколько всего дахеканов было вначале у купца.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для решения этой задачи будем рассуждать с конца. Мы знаем, что после посещения трех городов у купца осталось 11 дахеканов. Выясним, какая часть имущества взималась в качестве пошлины в каждом городе.

Пошлина составляла "половину и треть" имущества. Сложим эти доли:

$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} $

Таким образом, в каждом городе в качестве пошлины забирали $ \frac{5}{6} $ имевшихся у купца денег. Следовательно, после уплаты пошлины у него оставалась:

$ 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} $

То есть, проходя через каждый город, купец лишался $ \frac{5}{6} $ своего состояния, и у него оставалась лишь $ \frac{1}{6} $ от той суммы, с которой он входил в город.

Теперь решим задачу, двигаясь в обратном порядке:

1. Перед третьим городом:

После выхода из третьего города у купца осталось 11 дахеканов. Эта сумма составляет $ \frac{1}{6} $ от того, что у него было до уплаты пошлины в этом городе. Чтобы найти, сколько денег у него было до входа в третий город, нужно 11 умножить на 6:

$ 11 \cdot 6 = 66 $ дахеканов.

2. Перед вторым городом:

Сумма в 66 дахеканов — это то, что осталось у купца после уплаты пошлины во втором городе. Эта сумма составляет $ \frac{1}{6} $ от того, что у него было до входа во второй город. Найдем эту сумму:

$ 66 \cdot 6 = 396 $ дахеканов.

3. Перед первым городом (изначальная сумма):

Сумма в 396 дахеканов — это то, что осталось у купца после уплаты пошлины в первом городе. Эта сумма составляет $ \frac{1}{6} $ от его первоначального капитала. Найдем первоначальную сумму:

$ 396 \cdot 6 = 2376 $ дахеканов.

Таким образом, вначале у купца было 2376 дахеканов.

Ответ: 2376 дахеканов.