Номер 712, страница 139 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Рациональные числа. Дополнения к главе 3. Занимательные задачи - номер 712, страница 139.

Условие.

712. В первенстве по футболу принимают участие 8 команд. Каждая команда играет с каждой по одному разу. За выигрыш команда получает 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Какая наибольшая и какая наименьшая разница очков может быть между первым и последним местом, если известно, что первое место заняла одна команда и последнее место заняла одна команда?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Всего в первенстве участвует 8 команд. Каждая команда играет с 7 другими командами по одному разу.

Очки начисляются следующим образом:

• Победа: 2 очка
• Ничья: 1 очко
• Поражение: 0 очков

В каждом матче разыгрывается ровно 2 очка (либо 2+0, либо 1+1). Общее количество матчей в турнире равно числу сочетаний из 8 по 2: $C_8^2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.
Следовательно, общая сумма очков всех команд в конце первенства всегда будет постоянной и равна $28 \times 2 = 56$ очков.

Какая наибольшая разница очков может быть между первым и последним местом

Чтобы разница была наибольшей, команда, занявшая первое место, должна набрать максимальное количество очков, а команда, занявшая последнее место, — минимальное.

1. Максимальное количество очков для победителя.
Команда-победитель играет 7 матчей. Максимальное число очков она получит, если выиграет все свои матчи. В этом случае ее результат будет $7 \times 2 = 14$ очков. Поскольку все остальные команды проиграют ей хотя бы один матч, ни одна из них не сможет набрать 14 очков. Таким образом, условие, что первое место заняла одна команда, выполняется.

2. Минимальное количество очков для аутсайдера.
Команда, занявшая последнее место, играет 7 матчей. Минимальное число очков она получит, если проиграет все свои матчи. В этом случае ее результат будет $7 \times 0 = 0$ очков. Поскольку все остальные команды выиграют у нее хотя бы один матч, каждая из них наберет как минимум 2 очка. Таким образом, условие, что последнее место заняла одна команда, выполняется.

Такой сценарий возможен: команда-лидер выигрывает у всех, а команда-аутсайдер проигрывает всем. Результаты матчей между остальными 6 командами не влияют на очки лидера и аутсайдера. Наибольшая разница очков будет равна разнице между максимальным и минимальным возможными результатами.

Наибольшая разница: $14 - 0 = 14$ очков.

Ответ: 14

Какая наименьшая разница очков может быть между первым и последним местом

Чтобы разница была наименьшей, очки всех команд должны быть как можно ближе друг к другу. Обозначим очки команд, отсортированные по убыванию, как $S_1, S_2, \ldots, S_8$. По условию, у нас есть единоличный победитель и единоличный аутсайдер, что означает:

$S_1 > S_2 \ge S_3 \ge S_4 \ge S_5 \ge S_6 \ge S_7 > S_8$

Так как очки — целые числа, это эквивалентно $S_1 \ge S_2 + 1$ и $S_7 \ge S_8 + 1$.

Рассмотрим, может ли разница $S_1 - S_8$ быть равной 1.
Если $S_1 - S_8 = 1$, то $S_1 = S_8 + 1$. Для любой другой команды с очками $S_i$ (где $i$ от 2 до 7) должно выполняться неравенство $S_8 < S_i < S_1$. Подставив $S_1$, получаем $S_8 < S_i < S_8 + 1$. Так как $S_i$ и $S_8$ — целые числа, между $S_8$ и $S_8 + 1$ не может быть других целых чисел. Следовательно, такой ситуации быть не может, и разница не может быть равна 1.

Рассмотрим, может ли разница $S_1 - S_8$ быть равной 2.
Это возможно, если, например, $S_1 = S_8 + 2$. В этом случае для остальных команд $S_i$ должно выполняться $S_8 < S_i < S_8+2$, что означает $S_i$ может быть равно $S_8 + 1$.
Давайте попробуем составить такой набор очков, чтобы их сумма была равна 56. Пусть очки распределились так:

• $S_1$ (первое место)
• $S_2 = S_3 = S_4 = S_5 = S_6 = S_7$ (промежуточные места)
• $S_8$ (последнее место)

Пусть $S_8 = x$. Тогда $S_2 = \ldots = S_7 = x+1$, а $S_1 = x+2$.
Сумма очков: $S_{total} = S_1 + 6 \times S_2 + S_8 = (x+2) + 6 \times (x+1) + x = 56$.
$x + 2 + 6x + 6 + x = 56$
$8x + 8 = 56$
$8x = 48$
$x = 6$
Таким образом, мы получили возможное распределение очков: $S_1 = 8$, $S_2=\ldots=S_7=7$, $S_8=6$. Оно удовлетворяет условиям единоличного первого и последнего места.

Осталось показать, что такое распределение очков в принципе возможно. Рассмотрим следующую схему игр:

1. Команды $K_2, \ldots, K_7$ (6 команд) играют между собой все матчи вничью. Каждая из них играет 5 таких матчей и получает 5 очков.
2. Команда $K_1$ (лидер) выигрывает у $K_8$ (аутсайдера). $K_1$ получает 2 очка, $K_8$ — 0.
3. Все команды $K_2, \ldots, K_7$ выигрывают у $K_8$ и проигрывают $K_1$. В играх с $K_1$ и $K_8$ каждая из команд $K_2, \ldots, K_7$ получает $2+0=2$ очка. Суммарный результат для каждой из них: $5+2=7$ очков.
4. Остальные матчи (между $K_1$ и $K_2, \ldots, K_7$, а также между $K_8$ и $K_2, \ldots, K_7$) мы уже определили. Давайте посчитаем очки для $K_1$ и $K_8$. $K_1$: выигрывает у 6 команд ($K_2, \ldots, K_7$), но это дает 12 очков, что не 8. Схема неверна.

Построим другой пример. Пусть команды играют по круговой схеме: $K_1$ побеждает $K_2$, $K_2$ побеждает $K_3, \ldots, K_7$ побеждает $K_8$, а $K_8$ побеждает $K_1$. Все остальные матчи (не по этой цепочке) заканчиваются вничью. В такой схеме у каждой команды 1 победа, 1 поражение и 5 ничьих, что дает $1 \times 2 + 1 \times 0 + 5 \times 1 = 7$ очков. Все команды набрали бы по 7 очков.
Теперь изменим результат одного матча, который в этой схеме был ничьей. Например, пусть в матче $K_1 - K_3$ (который был ничьей) теперь побеждает $K_1$.

• Очки $K_1$ изменятся с 7 на $7 - 1 (очко за ничью) + 2 (очка за победу) = 8$ очков.
• Очки $K_3$ изменятся с 7 на $7 - 1 (очко за ничью) + 0 (очков за поражение) = 6$ очков.
• Очки всех остальных команд останутся равными 7.

В итоге мы получаем распределение очков: одна команда с 8 очками, одна с 6 очками, и шесть команд с 7 очками. Это полностью удовлетворяет условиям задачи: есть единоличный лидер и единоличный аутсайдер.
Минимальная разница составляет $8 - 6 = 2$.

Ответ: 2