Номер 706, страница 137 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 3. Фигуры на плоскости, симметричные относительно прямой. Глава 3. Рациональные числа - номер 706, страница 137.

Условие.

706. Другой раз медвежонок направился из дома $(A)$ в гости к ослику $(B)$, но сначала решил подойти к реке попить воды, а потом поесть малины. Укажите кратчайший путь от $A$ до $B$ с заходом к реке и к кустам малины (рис. 83).

$B$

$A$

Рис. 82

$A$

$B$ кусты малины

Рис. 83

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для нахождения кратчайшего пути от дома (точка А) до гостей (точка В) с заходом к реке, а затем к кустам малины, используется метод осевой симметрии. Задача состоит в том, чтобы минимизировать суммарную длину пути, состоящего из трех отрезков.

Пусть точка $P$ — место на реке, куда подойдет медвежонок, а точка $Q$ — место у кустов малины. Тогда общая длина пути $L$ равна сумме длин отрезков: $L = AP + PQ + QB$. Нам нужно найти такое положение точек $P$ и $Q$ на соответствующих прямых (реке и линии кустов), чтобы длина $L$ была наименьшей.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Первое отражение. Построим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой, обозначающей реку. По свойству осевой симметрии, расстояние от любой точки на оси симметрии (реке) до точки $A$ равно расстоянию до ее симметричного образа $A'$. То есть, для любой точки $P$ на реке верно равенство $AP = A'P$. Тогда длина нашего пути может быть записана как $L = A'P + PQ + QB$.

2. Второе отражение. Теперь построим точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно прямой, обозначающей кусты малины. Аналогично первому шагу, для любой точки $Q$ на этой прямой будет выполняться равенство $QB = QB'$. Подставив это в наше выражение для длины пути, получим: $L = A'P + PQ + QB'$.

3. Нахождение кратчайшего пути. Задача свелась к поиску точек $P$ и $Q$ на заданных прямых, которые минимизируют длину ломаной линии $A'PQB'$. Как известно, кратчайшее расстояние между двумя точками ($A'$ и $B'$) — это длина отрезка прямой, их соединяющего. Следовательно, чтобы путь был минимальным, точки $A'$, $P$, $Q$ и $B'$ должны лежать на одной прямой.

Таким образом, алгоритм построения кратчайшего пути выглядит так:
1. Строим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой реки.
2. Строим точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно прямой, вдоль которой растут кусты малины.
3. Соединяем точки $A'$ и $B'$ отрезком прямой.
4. Точка, в которой отрезок $A'B'$ пересекает реку, и будет искомой точкой $P$.
5. Точка, в которой отрезок $A'B'$ пересекает линию кустов малины, и будет искомой точкой $Q$.
6. Кратчайший путь медвежонка — это ломаная линия $APQB$.

Ответ: Кратчайший путь — это ломаная линия $APQB$, где $P$ — точка пересечения реки с отрезком $A'B'$, $Q$ — точка пересечения линии кустов малины с отрезком $A'B'$, при этом $A'$ — точка, симметричная $A$ относительно реки, а $B'$ — точка, симметричная $B$ относительно линии кустов малины.