Номер 705, страница 137 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Рациональные числа. Дополнения к главе 3. Фигуры на плоскости, симметричные относительно прямой - номер 705, страница 137.

Условие.

705. В жаркий день медвежонок направился из своего дома ($A$) в гости к ослику ($B$), но сначала решил подойти к реке попить воды. Укажите кратчайший путь от $A$ до $B$ с заходом к реке (рис. 82).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

703.

Чтобы построить окружность, симметричную данной окружности относительно прямой $b$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Обозначим центр данной окружности буквой $O$, а ее радиус — $r$.
2. Построим точку $O'$, симметричную центру $O$ относительно прямой $b$. Для этого:
   • Проведем через точку $O$ прямую, перпендикулярную прямой $b$. Пусть $H$ — точка их пересечения.
   • На этой перпендикулярной прямой отложим от точки $H$ отрезок $HO'$, равный отрезку $OH$, так, чтобы точки $O$ и $O'$ лежали по разные стороны от прямой $b$. Точка $O'$ и будет симметрична точке $O$.
3. Построим новую окружность с центром в точке $O'$ и тем же радиусом $r$.

Полученная окружность с центром в $O'$ и радиусом $r$ является искомой, так как при осевой симметрии окружность переходит в окружность с тем же радиусом, а ее центр переходит в симметричный ему центр.

Ответ: Искомая окружность — это окружность с центром $O'$ (симметричным исходному центру $O$ относительно прямой $b$) и тем же радиусом, что и у данной окружности.

704.

Эта задача имеет два варианта, показанных на рисунке 81 под буквами а) и б). Решим оба.

а) Города А и В находятся по разные стороны от железной дороги.

Чтобы суммарная длина $AC + CB$ была наименьшей, точки $A$, $C$ и $B$ должны лежать на одной прямой. Это следует из неравенства треугольника: для любой точки $C'$, не лежащей на отрезке $AB$, сумма длин $AC' + C'B$ будет больше длины отрезка $AB$. Кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая.

Построение:

1. Соединяем точки А и В отрезком прямой.
2. Точка пересечения этого отрезка с линией железной дороги и будет искомым местом для станции С.

Ответ: Станцию С нужно строить в точке пересечения отрезка АВ с линией железной дороги.

б) Города А и В находятся по одну сторону от железной дороги.

Чтобы найти точку С на железной дороге (прямой), для которой сумма расстояний $AC + CB$ будет минимальной, воспользуемся методом осевой симметрии.

Построение:

1. Построим точку А', симметричную точке А относительно прямой, изображающей железную дорогу.
2. Соединим точку А' с точкой В отрезком прямой.
3. Точка С, в которой отрезок А'В пересекает железную дорогу, является искомой точкой.

Объяснение: Для любой точки С на прямой-железной дороге расстояние $AC$ равно расстоянию $A'C$ по свойству осевой симметрии. Следовательно, нам нужно минимизировать сумму $A'C + CB$. Эта сумма будет наименьшей, когда точки А', С и В лежат на одной прямой, так как кратчайшее расстояние между точками А' и В — это длина отрезка А'В. Построенная нами точка С как раз удовлетворяет этому условию.

Ответ: Станцию С нужно строить в точке пересечения линии железной дороги с отрезком, соединяющим точку В и точку А', симметричную точке А относительно железной дороги.

705.

Эта задача по своей сути аналогична задаче 704 (б). Дом медвежонка (А) и дом ослика (В) находятся по одну сторону от реки (прямой). Нужно найти на реке такую точку С, чтобы путь $A \rightarrow C \rightarrow B$ был кратчайшим. Длина этого пути равна сумме длин отрезков $AC + CB$.

Для решения используется метод осевой симметрии:

1. Отразим точку А (дом медвежонка) симметрично относительно прямой, изображающей реку. Получим точку А'.
2. Соединим точку А' с точкой В (дом ослика) прямой линией.
3. Точка С, где эта линия пересекает реку, и есть то место, куда медвежонку нужно подойти, чтобы попить воды.

Кратчайшим путем будет ломаная линия A-C-B. Его длина равна длине отрезка А'В, так как по свойству симметрии $AC = A'C$, и, следовательно, $AC + CB = A'C + CB$. А кратчайшее расстояние между точками А' и В — это прямая.

Ответ: Кратчайший путь — это ломаная линия, проходящая через точку С на реке, которая является точкой пересечения реки и отрезка, соединяющего точку В с точкой А' (симметричной точке А относительно реки).