Номер 704, страница 137 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 3. Фигуры на плоскости, симметричные относительно прямой. Глава 3. Рациональные числа - номер 704, страница 137.

Условие.

704. На плане (рис. 81) показана железная дорога и два города $A$ и $B$. Укажите место на железной дороге, где надо построить станцию $C$, чтобы суммарная длина дороги от $A$ до $C$ и от $C$ до $B$ была наименьшей. б) $A$ $B$ $A$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а)

В этом случае города A и B находятся по разные стороны от железной дороги. Пусть железная дорога представляет собой прямую l, а станция C — точка на этой прямой. Нам необходимо найти такое положение точки C, чтобы суммарная длина дороги от A до C и от C до B, то есть сумма расстояний $AC + CB$, была наименьшей.

Согласно основному свойству расстояния (неравенству треугольника), кратчайший путь между двумя точками — это отрезок прямой, соединяющий их. Сумма длин $AC + CB$ будет минимальна и равна длине отрезка $AB$ только в том случае, если точка C лежит на этом отрезке.

Следовательно, чтобы найти оптимальное местоположение станции C, нужно соединить города A и B отрезком прямой. Точка пересечения этого отрезка с линией железной дороги и будет искомым местом для станции C, так как именно в этом случае путь A-C-B будет представлять собой прямую линию.

Построение:
1. Соединить точки A и B отрезком прямой.
2. Точка C, в которой отрезок AB пересекает линию железной дороги, является искомым местом для строительства станции.

Ответ: Станцию C следует построить в точке пересечения отрезка AB с линией железной дороги.

б)

В этом случае города A и B находятся по одну сторону от железной дороги (прямой l). Мы снова ищем на прямой l такую точку C, чтобы сумма расстояний $AC + CB$ была минимальной.

Для решения этой задачи применим метод осевой симметрии. Построим точку A', симметричную точке A относительно прямой l (железной дороги). Для этого из точки A опустим перпендикуляр на прямую l и на его продолжении за прямой отложим отрезок, равный расстоянию от A до прямой.

По свойству осевой симметрии, для любой точки C, лежащей на оси симметрии (на железной дороге), расстояние до симметричных точек A и A' будет одинаковым, то есть $AC = A'C$.

Тогда задача минимизации суммы $AC + CB$ сводится к задаче минимизации равной ей суммы $A'C + CB$. Точки A' и B находятся по разные стороны от железной дороги, поэтому эта задача аналогична случаю а). Сумма $A'C + CB$ будет наименьшей, когда точки A', C и B лежат на одной прямой.

Построение:
1. Построить точку A', симметричную точке A относительно прямой, изображающей железную дорогу.
2. Соединить точку A' с точкой B отрезком прямой.
3. Точка C, в которой отрезок A'B пересекает линию железной дороги, и будет искомым местом для станции.

Ответ: Станцию C следует построить в точке пересечения линии железной дороги с отрезком, соединяющим город B и точку A', симметричную городу A относительно железной дороги.