Номер 700, страница 137 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 3. Фигуры на плоскости, симметричные относительно прямой. Глава 3. Рациональные числа - номер 700, страница 137.

Условие.

700. Дана прямая $b$ и отрезок $AB$, пересекающий эту прямую. Постройте отрезок $MN$, симметричный отрезку $AB$ относительно прямой $b$. Где лежит точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$? Как это объяснить?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Постройте отрезок MN, симметричный отрезку AB относительно прямой b.

Для построения отрезка $MN$, симметричного отрезку $AB$ относительно прямой $b$, необходимо построить точки $M$ и $N$, симметричные концам отрезка $A$ и $B$ соответственно, а затем соединить их.

1. Из точки $A$ проводим прямую, перпендикулярную прямой $b$, и отмечаем их точку пересечения $H_A$.
2. На продолжении перпендикуляра за точку $H_A$ откладываем отрезок $H_AM$, равный отрезку $AH_A$. Полученная точка $M$ будет симметрична точке $A$ относительно прямой $b$.
3. Аналогично строим точку $N$, симметричную точке $B$. Из точки $B$ проводим перпендикуляр к прямой $b$ (точка пересечения $H_B$) и на его продолжении откладываем отрезок $H_BN$, равный $BH_B$.
4. Соединяем точки $M$ и $N$ отрезком.

Ответ: Отрезок $MN$ построен путем нахождения точек $M$ и $N$, симметричных точкам $A$ и $B$ относительно прямой $b$, и их последующего соединения.

Где лежит точка пересечения отрезков AB и MN?

Точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$ лежит на оси симметрии, то есть на прямой $b$.

Ответ: Точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$ лежит на прямой $b$.

Как это объяснить?

Это утверждение следует из определения и свойств осевой симметрии.

• Пусть отрезок $AB$ пересекает прямую $b$ в точке $K$. Такая точка существует и единственна, так как по условию отрезок $AB$ пересекает прямую $b$.
• По определению осевой симметрии, любая точка, лежащая на оси симметрии (в нашем случае на прямой $b$), при симметричном отображении переходит сама в себя. Такие точки называются неподвижными. Следовательно, образом точки $K$ при симметрии относительно прямой $b$ является сама точка $K$.
• Отрезок $MN$ является образом отрезка $AB$ при данной симметрии. Это значит, что образ любой точки, принадлежащей отрезку $AB$, должен принадлежать отрезку $MN$.
• Поскольку точка $K$ принадлежит отрезку $AB$, ее симметричный образ (то есть сама точка $K$) должен принадлежать симметричному образу отрезка $AB$, то есть отрезку $MN$.
• Таким образом, точка $K$ принадлежит обоим отрезкам: $AB$ (по построению) и $MN$ (по свойству симметрии). Следовательно, $K$ является точкой их пересечения.
• А так как точка $K$ по определению лежит на прямой $b$, то и точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$ лежит на прямой $b$.

Ответ: Точка пересечения отрезка $AB$ и прямой $b$ является неподвижной при симметрии относительно $b$. Так как эта точка принадлежит $AB$, ее образ (она сама) принадлежит образу $AB$, то есть отрезку $MN$. Значит, эта точка является общей для отрезков $AB$ и $MN$, то есть их точкой пересечения, и лежит она на прямой $b$.