Страница 137 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

698. Вырежите из бумаги «снежинку», имеющую восемь осей симметрии.

Для того чтобы вырезать из бумаги снежинку, имеющую ровно восемь осей симметрии, необходимо сложить лист бумаги таким образом, чтобы получился узкий сектор круга. При разворачивании этот сектор и его зеркальные отражения составят полную снежинку. Фигура с восемью осями симметрии делит полный круг ($360^\circ$) на $2 \times 8 = 16$ одинаковых секторов. Следовательно, угол сложенной заготовки должен составлять $360^\circ / 16 = 22.5^\circ$.

Вот пошаговая инструкция по складыванию и вырезанию:

1. Подготовка бумаги: Возьмите квадратный лист бумаги. Если у вас прямоугольный лист (например, формата А4), сделайте из него квадрат, согнув один угол так, чтобы короткая сторона легла на длинную, и отрежьте лишнюю полоску.
2. Первый сгиб: Сложите квадрат по диагонали. Получится равнобедренный прямоугольный треугольник.
3. Второй сгиб: Сложите полученный треугольник пополам, совместив острые углы. Получится треугольник вдвое меньшего размера. Вершина прямого угла этой заготовки является центром будущей снежинки.
4. Третий сгиб: Ещё раз сложите заготовку пополам, совместив её острые углы. У вас получится узкий треугольник с центральным углом $45^\circ$. Если развернуть бумагу на этом этапе, получится фигура с четырьмя осями симметрии.
5. Четвертый сгиб: Это ключевой шаг для получения восьми осей. Сложите полученный треугольник (с углом $45^\circ$) еще раз пополам, совместив его боковые стороны. В результате у вас будет очень узкий сектор с углом $22.5^\circ$.
6. Вырезание узора: На получившейся заготовке нарисуйте карандашом желаемый узор и вырежьте его ножницами. Узоры можно вырезать по двум коротким сторонам заготовки. Длинная сторона (линия последнего сгиба) является осью симметрии для элемента узора, её лучше не разрезать полностью, чтобы снежинка не распалась на части.
7. Разворачивание: Аккуратно, чтобы не порвать, разверните заготовку. Готовая снежинка будет иметь восемь осей симметрии, так как вырезанный вами узор симметрично отразится 16 раз.

Ответ: Чтобы вырезать снежинку с восемью осями симметрии, нужно взять квадратный лист бумаги и последовательно сложить его четыре раза. Первые три сгиба делаются пополам (сначала по диагонали, затем дважды полученный треугольник). Четвертый сгиб также делается пополам, чтобы из сектора с углом $45^\circ$ получить сектор с углом $22.5^\circ$. После этого на сложенной заготовке вырезается узор, и бумага разворачивается.

699. Дан отрезок $AB$ и прямая $b$, не пересекающая этот отрезок. Постройте отрезок $MN$, симметричный отрезку $AB$ относительно прямой $b$.

Для того чтобы построить отрезок $MN$, симметричный данному отрезку $AB$ относительно прямой $b$, необходимо построить точки $M$ и $N$, симметричные концам отрезка $AB$ (точкам $A$ и $B$ соответственно) относительно прямой $b$. После этого точки $M$ и $N$ соединяются отрезком.

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки в несколько шагов:

1. Построение точки M, симметричной точке A.
   1. Из центра в точке $A$ проведем окружность (или дугу) такого радиуса, чтобы она пересекла прямую $b$ в двух различных точках. Обозначим эти точки как $P_1$ и $P_2$.
   2. Теперь из точек $P_1$ и $P_2$ как из центров проведем две дуги одинакового радиуса (можно взять тот же радиус, что и в шаге 1, то есть $AP_1$) так, чтобы они пересеклись с той стороны от прямой $b$, где не лежит точка $A$.
   3. Точка пересечения этих дуг и будет искомой точкой $M$. По построению, прямая $b$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AM$, что означает, что точка $M$ симметрична точке $A$ относительно прямой $b$.
2. Построение точки N, симметричной точке B.
   1. Повторим аналогичную процедуру для точки $B$.
   2. Из центра в точке $B$ проведем дугу, пересекающую прямую $b$ в двух точках, которые мы назовем $Q_1$ и $Q_2$.
   3. Из точек $Q_1$ и $Q_2$ как из центров проведем две дуги одинакового радиуса с противоположной от точки $B$ стороны прямой $b$.
   4. Точка их пересечения будет искомой точкой $N$, симметричной точке $B$ относительно прямой $b$.
3. Построение отрезка MN.
   1. С помощью линейки соединим точки $M$ и $N$.

Полученный отрезок $MN$ является искомым, так как его концы $M$ и $N$ симметричны концам $A$ и $B$ исходного отрезка $AB$ относительно прямой $b$.

Ответ: Отрезок $MN$, построенный по описанному алгоритму, является симметричным отрезку $AB$ относительно прямой $b$.

700. Дана прямая $b$ и отрезок $AB$, пересекающий эту прямую. Постройте отрезок $MN$, симметричный отрезку $AB$ относительно прямой $b$. Где лежит точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$? Как это объяснить?

Постройте отрезок MN, симметричный отрезку AB относительно прямой b.

Для построения отрезка $MN$, симметричного отрезку $AB$ относительно прямой $b$, необходимо построить точки $M$ и $N$, симметричные концам отрезка $A$ и $B$ соответственно, а затем соединить их.

1. Из точки $A$ проводим прямую, перпендикулярную прямой $b$, и отмечаем их точку пересечения $H_A$.
2. На продолжении перпендикуляра за точку $H_A$ откладываем отрезок $H_AM$, равный отрезку $AH_A$. Полученная точка $M$ будет симметрична точке $A$ относительно прямой $b$.
3. Аналогично строим точку $N$, симметричную точке $B$. Из точки $B$ проводим перпендикуляр к прямой $b$ (точка пересечения $H_B$) и на его продолжении откладываем отрезок $H_BN$, равный $BH_B$.
4. Соединяем точки $M$ и $N$ отрезком.

Ответ: Отрезок $MN$ построен путем нахождения точек $M$ и $N$, симметричных точкам $A$ и $B$ относительно прямой $b$, и их последующего соединения.

Где лежит точка пересечения отрезков AB и MN?

Точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$ лежит на оси симметрии, то есть на прямой $b$.

Ответ: Точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$ лежит на прямой $b$.

Как это объяснить?

Это утверждение следует из определения и свойств осевой симметрии.

• Пусть отрезок $AB$ пересекает прямую $b$ в точке $K$. Такая точка существует и единственна, так как по условию отрезок $AB$ пересекает прямую $b$.
• По определению осевой симметрии, любая точка, лежащая на оси симметрии (в нашем случае на прямой $b$), при симметричном отображении переходит сама в себя. Такие точки называются неподвижными. Следовательно, образом точки $K$ при симметрии относительно прямой $b$ является сама точка $K$.
• Отрезок $MN$ является образом отрезка $AB$ при данной симметрии. Это значит, что образ любой точки, принадлежащей отрезку $AB$, должен принадлежать отрезку $MN$.
• Поскольку точка $K$ принадлежит отрезку $AB$, ее симметричный образ (то есть сама точка $K$) должен принадлежать симметричному образу отрезка $AB$, то есть отрезку $MN$.
• Таким образом, точка $K$ принадлежит обоим отрезкам: $AB$ (по построению) и $MN$ (по свойству симметрии). Следовательно, $K$ является точкой их пересечения.
• А так как точка $K$ по определению лежит на прямой $b$, то и точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$ лежит на прямой $b$.

Ответ: Точка пересечения отрезка $AB$ и прямой $b$ является неподвижной при симметрии относительно $b$. Так как эта точка принадлежит $AB$, ее образ (она сама) принадлежит образу $AB$, то есть отрезку $MN$. Значит, эта точка является общей для отрезков $AB$ и $MN$, то есть их точкой пересечения, и лежит она на прямой $b$.

701. Дан треугольник $ABC$ и прямая $b$, не пересекающая стороны этого треугольника. Постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $b$.

Чтобы построить треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $b$, необходимо для каждой вершины исходного треугольника ($A, B, C$) построить симметричную ей точку ($A', B', C'$) относительно этой прямой, а затем соединить полученные точки отрезками.

Построение треугольника, симметричного треугольнику $ABC$ относительно прямой $b$

Алгоритм построения выполняется с помощью циркуля и линейки в несколько шагов:

1. Построение точки $A'$, симметричной точке $A$.

   Для этого необходимо провести через точку $A$ прямую, перпендикулярную прямой $b$, и отложить на ней по другую сторону от прямой $b$ отрезок, равный расстоянию от точки $A$ до прямой $b$. Детальное построение:

   • Установить острие циркуля в точку $A$ и провести дугу, которая пересечет прямую $b$ в двух точках (назовем их $M_1$ и $M_2$).
   • Из точек $M_1$ и $M_2$ провести две дуги одинакового радиуса с другой стороны от прямой $b$ так, чтобы они пересеклись. Точка их пересечения и будет искомой точкой $A'$.

   Построенная точка $A'$ такова, что отрезок $AA'$ перпендикулярен прямой $b$ и делится ею пополам.

2. Построение точки $B'$, симметричной точке $B$.

   Аналогично действиям, описанным в пункте 1, строится точка $B'$, симметричная точке $B$ относительно прямой $b$.

3. Построение точки $C'$, симметричной точке $C$.

   Аналогично действиям, описанным в пункте 1, строится точка $C'$, симметричная точке $C$ относительно прямой $b$.

4. Построение треугольника $A'B'C'$.

   Соединить точки $A'$, $B'$ и $C'$ отрезками при помощи линейки.

Полученный треугольник $A'B'C'$ является искомым, так как он является образом треугольника $ABC$ при осевой симметрии относительно прямой $b$.

Ответ: Искомый треугольник $A'B'C'$ строится путем нахождения симметричных вершин $A'$, $B'$, $C'$ для каждой вершины треугольника $ABC$ относительно прямой $b$ и их последующего соединения отрезками.

702. Дан треугольник $\triangle ABC$ и прямая $b$, пересекающая стороны этого треугольника. Постройте треугольник, симметричный треугольнику $\triangle ABC$ относительно прямой $b$.

Для того чтобы построить треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $b$, необходимо для каждой вершины треугольника $A$, $B$ и $C$ построить симметричную ей точку $A'$, $B'$ и $C'$ соответственно. Соединив эти новые точки, мы получим искомый треугольник $A'B'C'$.

1. Построение точки $A'$, симметричной вершине $A$

Для построения точки $A'$, симметричной точке $A$ относительно прямой $b$, выполним следующие шаги с помощью циркуля и линейки:

а) Устанавливаем острие циркуля в точку $A$ и проводим дугу окружности такого радиуса, чтобы она пересекла прямую $b$ в двух различных точках. Назовем эти точки $P_1$ и $P_2$.

б) Не меняя раствора циркуля (или установив новый, но одинаковый для обоих построений), проводим две дуги из центров в точках $P_1$ и $P_2$ так, чтобы они пересеклись с той стороны от прямой $b$, где не лежит точка $A$. Точка пересечения этих дуг и будет искомой точкой $A'$.

Построенная точка $A'$ является симметричной точке $A$ относительно прямой $b$, так как прямая $b$ служит серединным перпендикуляром для отрезка $AA'$.

2. Построение точек $B'$ и $C'$

Повторяем алгоритм, описанный в пункте 1, для вершин $B$ и $C$. В результате мы получаем точки $B'$ и $C'$, симметричные точкам $B$ и $C$ относительно прямой $b$.

3. Построение треугольника $A'B'C'$

С помощью линейки соединяем отрезками полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$.

В результате построенный треугольник $A'B'C'$ будет симметричен треугольнику $ABC$ относительно прямой $b$.

Ответ: Искомый треугольник $A'B'C'$ строится путем последовательного нахождения точек $A', B', C'$, симметричных вершинам $A, B, C$ исходного треугольника относительно прямой $b$, и последующего соединения этих точек отрезками.

703. Дана прямая $b$ и окружность, пересекающая эту прямую. Постройте окружность, симметричную данной окружности относительно прямой $b$.

a) .$B$

Чтобы построить окружность, симметричную данной окружности относительно прямой $b$, необходимо построить окружность с тем же радиусом, центр которой будет симметричен центру данной окружности относительно прямой $b$. Осевая симметрия является движением, поэтому она сохраняет расстояния, а значит и радиус окружности.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и прямая $b$.

Алгоритм построения:

1. Построение центра симметричной окружности.

Для построения окружности, симметричной данной, в первую очередь нужно построить ее центр $O'$, который будет симметричен центру $O$ данной окружности относительно прямой $b$.

а) С помощью циркуля проводим дугу с центром в точке $O$ и произвольным, но достаточным радиусом так, чтобы она пересекла прямую $b$ в двух точках. Обозначим эти точки пересечения $A$ и $C$.

б) Теперь из точек $A$ и $C$ как из центров проводим две дуги одинакового радиуса (можно использовать тот же радиус, что и в предыдущем шаге). Эти дуги пересекутся в двух точках. Одна из них — это исходная точка $O$. Вторая точка пересечения и есть искомый центр $O'$, симметричный точке $O$ относительно прямой $b$.

2. Определение радиуса симметричной окружности.

Поскольку осевая симметрия сохраняет расстояния, радиус $R'$ искомой окружности $\omega'$ равен радиусу $R$ данной окружности $\omega$.

3. Построение симметричной окружности.

С помощью циркуля измеряем радиус $R$ исходной окружности (расстояние от центра $O$ до любой точки на окружности). Затем строим новую окружность с центром в найденной точке $O'$ и измеренным радиусом $R$.

Полученная окружность с центром $O'$ и радиусом $R$ является искомой, так как она симметрична данной окружности $\omega$ относительно прямой $b$.

Ответ: Окружность, симметричная данной окружности относительно прямой $b$, — это окружность с тем же радиусом, центр которой симметричен центру данной окружности относительно прямой $b$. Построение сводится к нахождению симметричного центра $O'$ и построению окружности с центром в $O'$ и радиусом, равным радиусу исходной окружности.

704. На плане (рис. 81) показана железная дорога и два города $A$ и $B$. Укажите место на железной дороге, где надо построить станцию $C$, чтобы суммарная длина дороги от $A$ до $C$ и от $C$ до $B$ была наименьшей. б) $A$ $B$ $A$

а)

В этом случае города A и B находятся по разные стороны от железной дороги. Пусть железная дорога представляет собой прямую l, а станция C — точка на этой прямой. Нам необходимо найти такое положение точки C, чтобы суммарная длина дороги от A до C и от C до B, то есть сумма расстояний $AC + CB$, была наименьшей.

Согласно основному свойству расстояния (неравенству треугольника), кратчайший путь между двумя точками — это отрезок прямой, соединяющий их. Сумма длин $AC + CB$ будет минимальна и равна длине отрезка $AB$ только в том случае, если точка C лежит на этом отрезке.

Следовательно, чтобы найти оптимальное местоположение станции C, нужно соединить города A и B отрезком прямой. Точка пересечения этого отрезка с линией железной дороги и будет искомым местом для станции C, так как именно в этом случае путь A-C-B будет представлять собой прямую линию.

Построение:
1. Соединить точки A и B отрезком прямой.
2. Точка C, в которой отрезок AB пересекает линию железной дороги, является искомым местом для строительства станции.

Ответ: Станцию C следует построить в точке пересечения отрезка AB с линией железной дороги.

б)

В этом случае города A и B находятся по одну сторону от железной дороги (прямой l). Мы снова ищем на прямой l такую точку C, чтобы сумма расстояний $AC + CB$ была минимальной.

Для решения этой задачи применим метод осевой симметрии. Построим точку A', симметричную точке A относительно прямой l (железной дороги). Для этого из точки A опустим перпендикуляр на прямую l и на его продолжении за прямой отложим отрезок, равный расстоянию от A до прямой.

По свойству осевой симметрии, для любой точки C, лежащей на оси симметрии (на железной дороге), расстояние до симметричных точек A и A' будет одинаковым, то есть $AC = A'C$.

Тогда задача минимизации суммы $AC + CB$ сводится к задаче минимизации равной ей суммы $A'C + CB$. Точки A' и B находятся по разные стороны от железной дороги, поэтому эта задача аналогична случаю а). Сумма $A'C + CB$ будет наименьшей, когда точки A', C и B лежат на одной прямой.

Построение:
1. Построить точку A', симметричную точке A относительно прямой, изображающей железную дорогу.
2. Соединить точку A' с точкой B отрезком прямой.
3. Точка C, в которой отрезок A'B пересекает линию железной дороги, и будет искомым местом для станции.

Ответ: Станцию C следует построить в точке пересечения линии железной дороги с отрезком, соединяющим город B и точку A', симметричную городу A относительно железной дороги.

705. В жаркий день медвежонок направился из своего дома ($A$) в гости к ослику ($B$), но сначала решил подойти к реке попить воды. Укажите кратчайший путь от $A$ до $B$ с заходом к реке (рис. 82).

703.

Чтобы построить окружность, симметричную данной окружности относительно прямой $b$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Обозначим центр данной окружности буквой $O$, а ее радиус — $r$.
2. Построим точку $O'$, симметричную центру $O$ относительно прямой $b$. Для этого:
   • Проведем через точку $O$ прямую, перпендикулярную прямой $b$. Пусть $H$ — точка их пересечения.
   • На этой перпендикулярной прямой отложим от точки $H$ отрезок $HO'$, равный отрезку $OH$, так, чтобы точки $O$ и $O'$ лежали по разные стороны от прямой $b$. Точка $O'$ и будет симметрична точке $O$.
3. Построим новую окружность с центром в точке $O'$ и тем же радиусом $r$.

Полученная окружность с центром в $O'$ и радиусом $r$ является искомой, так как при осевой симметрии окружность переходит в окружность с тем же радиусом, а ее центр переходит в симметричный ему центр.

Ответ: Искомая окружность — это окружность с центром $O'$ (симметричным исходному центру $O$ относительно прямой $b$) и тем же радиусом, что и у данной окружности.

704.

Эта задача имеет два варианта, показанных на рисунке 81 под буквами а) и б). Решим оба.

а) Города А и В находятся по разные стороны от железной дороги.

Чтобы суммарная длина $AC + CB$ была наименьшей, точки $A$, $C$ и $B$ должны лежать на одной прямой. Это следует из неравенства треугольника: для любой точки $C'$, не лежащей на отрезке $AB$, сумма длин $AC' + C'B$ будет больше длины отрезка $AB$. Кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая.

Построение:

1. Соединяем точки А и В отрезком прямой.
2. Точка пересечения этого отрезка с линией железной дороги и будет искомым местом для станции С.

Ответ: Станцию С нужно строить в точке пересечения отрезка АВ с линией железной дороги.

б) Города А и В находятся по одну сторону от железной дороги.

Чтобы найти точку С на железной дороге (прямой), для которой сумма расстояний $AC + CB$ будет минимальной, воспользуемся методом осевой симметрии.

Построение:

1. Построим точку А', симметричную точке А относительно прямой, изображающей железную дорогу.
2. Соединим точку А' с точкой В отрезком прямой.
3. Точка С, в которой отрезок А'В пересекает железную дорогу, является искомой точкой.

Объяснение: Для любой точки С на прямой-железной дороге расстояние $AC$ равно расстоянию $A'C$ по свойству осевой симметрии. Следовательно, нам нужно минимизировать сумму $A'C + CB$. Эта сумма будет наименьшей, когда точки А', С и В лежат на одной прямой, так как кратчайшее расстояние между точками А' и В — это длина отрезка А'В. Построенная нами точка С как раз удовлетворяет этому условию.

Ответ: Станцию С нужно строить в точке пересечения линии железной дороги с отрезком, соединяющим точку В и точку А', симметричную точке А относительно железной дороги.

705.

Эта задача по своей сути аналогична задаче 704 (б). Дом медвежонка (А) и дом ослика (В) находятся по одну сторону от реки (прямой). Нужно найти на реке такую точку С, чтобы путь $A \rightarrow C \rightarrow B$ был кратчайшим. Длина этого пути равна сумме длин отрезков $AC + CB$.

Для решения используется метод осевой симметрии:

1. Отразим точку А (дом медвежонка) симметрично относительно прямой, изображающей реку. Получим точку А'.
2. Соединим точку А' с точкой В (дом ослика) прямой линией.
3. Точка С, где эта линия пересекает реку, и есть то место, куда медвежонку нужно подойти, чтобы попить воды.

Кратчайшим путем будет ломаная линия A-C-B. Его длина равна длине отрезка А'В, так как по свойству симметрии $AC = A'C$, и, следовательно, $AC + CB = A'C + CB$. А кратчайшее расстояние между точками А' и В — это прямая.

Ответ: Кратчайший путь — это ломаная линия, проходящая через точку С на реке, которая является точкой пересечения реки и отрезка, соединяющего точку В с точкой А' (симметричной точке А относительно реки).

706. Другой раз медвежонок направился из дома $(A)$ в гости к ослику $(B)$, но сначала решил подойти к реке попить воды, а потом поесть малины. Укажите кратчайший путь от $A$ до $B$ с заходом к реке и к кустам малины (рис. 83).

$B$

$A$

Рис. 82

$A$

$B$ кусты малины

Рис. 83

Для нахождения кратчайшего пути от дома (точка А) до гостей (точка В) с заходом к реке, а затем к кустам малины, используется метод осевой симметрии. Задача состоит в том, чтобы минимизировать суммарную длину пути, состоящего из трех отрезков.

Пусть точка $P$ — место на реке, куда подойдет медвежонок, а точка $Q$ — место у кустов малины. Тогда общая длина пути $L$ равна сумме длин отрезков: $L = AP + PQ + QB$. Нам нужно найти такое положение точек $P$ и $Q$ на соответствующих прямых (реке и линии кустов), чтобы длина $L$ была наименьшей.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Первое отражение. Построим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой, обозначающей реку. По свойству осевой симметрии, расстояние от любой точки на оси симметрии (реке) до точки $A$ равно расстоянию до ее симметричного образа $A'$. То есть, для любой точки $P$ на реке верно равенство $AP = A'P$. Тогда длина нашего пути может быть записана как $L = A'P + PQ + QB$.

2. Второе отражение. Теперь построим точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно прямой, обозначающей кусты малины. Аналогично первому шагу, для любой точки $Q$ на этой прямой будет выполняться равенство $QB = QB'$. Подставив это в наше выражение для длины пути, получим: $L = A'P + PQ + QB'$.

3. Нахождение кратчайшего пути. Задача свелась к поиску точек $P$ и $Q$ на заданных прямых, которые минимизируют длину ломаной линии $A'PQB'$. Как известно, кратчайшее расстояние между двумя точками ($A'$ и $B'$) — это длина отрезка прямой, их соединяющего. Следовательно, чтобы путь был минимальным, точки $A'$, $P$, $Q$ и $B'$ должны лежать на одной прямой.

Таким образом, алгоритм построения кратчайшего пути выглядит так:
1. Строим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой реки.
2. Строим точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно прямой, вдоль которой растут кусты малины.
3. Соединяем точки $A'$ и $B'$ отрезком прямой.
4. Точка, в которой отрезок $A'B'$ пересекает реку, и будет искомой точкой $P$.
5. Точка, в которой отрезок $A'B'$ пересекает линию кустов малины, и будет искомой точкой $Q$.
6. Кратчайший путь медвежонка — это ломаная линия $APQB$.

Ответ: Кратчайший путь — это ломаная линия $APQB$, где $P$ — точка пересечения реки с отрезком $A'B'$, $Q$ — точка пересечения линии кустов малины с отрезком $A'B'$, при этом $A'$ — точка, симметричная $A$ относительно реки, а $B'$ — точка, симметричная $B$ относительно линии кустов малины.