Страница 132 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

679. В старину для решения задач пользовались такими правилами: чтобы по сумме и разности двух чисел найти большее число, надо к полусумме двух чисел прибавить их полуразность; чтобы найти меньшее число, надо из полусуммы двух чисел вычесть их полуразность. Докажите равенства:

а) $ \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} = a; $

б) $ \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2} = b. $

а) Докажем равенство $ \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} = a $. Для этого преобразуем левую часть выражения. Так как дроби имеют общий знаменатель, сложим их числители:

$ \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} = \frac{(a+b) + (a-b)}{2} $

Теперь раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a+b+a-b}{2} = \frac{2a}{2} $

Сократив дробь на 2, получаем:

$ \frac{2a}{2} = a $

Левая часть равенства равна правой ($a=a$), что и требовалось доказать.

Ответ: равенство доказано.

б) Докажем равенство $ \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2} = b $. Преобразуем левую часть выражения. Так как дроби имеют общий знаменатель, выполним вычитание числителей:

$ \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2} = \frac{(a+b) - (a-b)}{2} $

Раскроем скобки в числителе. Важно учесть, что знак минус перед второй скобкой меняет знаки слагаемых внутри неё на противоположные:

$ \frac{a+b-a+b}{2} = \frac{2b}{2} $

Сократив дробь на 2, получаем:

$ \frac{2b}{2} = b $

Левая часть равенства равна правой ($b=b$), что и требовалось доказать.

Ответ: равенство доказано.

680. а) Сумма двух чисел равна 37, а разность 13. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел равна 48, а разность 12. Найдите эти числа.

а) Обозначим искомые числа как $x$ и $y$. Пусть $x$ будет большим числом, а $y$ — меньшим. Согласно условию задачи, мы можем составить систему из двух линейных уравнений:
1. Сумма чисел равна 37: $x + y = 37$
2. Разность чисел равна 13: $x - y = 13$
Чтобы решить эту систему, можно сложить два уравнения. Это позволит нам исключить переменную $y$:
$(x + y) + (x - y) = 37 + 13$
$2x = 50$
Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 2:
$x = \frac{50}{2}$
$x = 25$
Теперь, когда мы знаем значение большего числа, мы можем подставить его в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем первое уравнение:
$25 + y = 37$
$y = 37 - 25$
$y = 12$
Проверим наше решение. Сумма: $25 + 12 = 37$. Разность: $25 - 12 = 13$. Оба условия выполнены.
Ответ: 25 и 12.

б) По аналогии с предыдущим пунктом, обозначим два числа как $x$ и $y$ ($x > y$). Составим систему уравнений на основе данных задачи:
1. Сумма чисел равна 48: $x + y = 48$
2. Разность чисел равна 12: $x - y = 12$
Сложим эти два уравнения для того, чтобы найти $x$:
$(x + y) + (x - y) = 48 + 12$
$2x = 60$
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{60}{2}$
$x = 30$
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$30 + y = 48$
$y = 48 - 30$
$y = 18$
Проверим полученные числа. Сумма: $30 + 18 = 48$. Разность: $30 - 18 = 12$. Условия задачи соблюдены.
Ответ: 30 и 18.

681. Найдите числа, сумма и разность которых равны соответственно:

а) 49 и 17;

б) 72 и 48;

в) 57 и 39;

г) 38 и 2.

Для нахождения двух чисел, зная их сумму и разность, можно составить систему из двух линейных уравнений. Пусть искомые числа - это $x$ и $y$, их сумма - $S$, а разность - $D$.

Система уравнений будет выглядеть так:

$x + y = S$
$x - y = D$

Решим эту систему для каждого из подпунктов.

а) Сумма равна 49, а разность 17.

Составим систему уравнений:

$x + y = 49$
$x - y = 17$

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $x$:

$(x + y) + (x - y) = 49 + 17$

$2x = 66$

$x = 66 / 2 = 33$

Теперь подставим значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$33 + y = 49$

$y = 49 - 33 = 16$

Искомые числа: 33 и 16.

Ответ: 33 и 16.

б) Сумма равна 72, а разность 48.

Составим систему уравнений:

$x + y = 72$
$x - y = 48$

Сложим два уравнения системы:

$(x + y) + (x - y) = 72 + 48$

$2x = 120$

$x = 120 / 2 = 60$

Подставим значение $x$ в первое уравнение:

$60 + y = 72$

$y = 72 - 60 = 12$

Искомые числа: 60 и 12.

Ответ: 60 и 12.

в) Сумма равна 57, а разность 39.

Составим систему уравнений:

$x + y = 57$
$x - y = 39$

Сложим два уравнения системы:

$(x + y) + (x - y) = 57 + 39$

$2x = 96$

$x = 96 / 2 = 48$

Подставим значение $x$ в первое уравнение:

$48 + y = 57$

$y = 57 - 48 = 9$

Искомые числа: 48 и 9.

Ответ: 48 и 9.

г) Сумма равна 38, а разность 2.

Составим систему уравнений:

$x + y = 38$
$x - y = 2$

Сложим два уравнения системы:

$(x + y) + (x - y) = 38 + 2$

$2x = 40$

$x = 40 / 2 = 20$

Подставим значение $x$ в первое уравнение:

$20 + y = 38$

$y = 38 - 20 = 18$

Искомые числа: 20 и 18.

Ответ: 20 и 18.

682. а) Сумма двух чисел равна 304, одно из них больше другого на 50. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел 760. Одно меньше другого на 98. Найдите эти числа.

а)

Для решения этой задачи можно составить систему уравнений. Пусть первое число — $x$, а второе — $y$.

Из условия задачи мы знаем, что:

1. Сумма двух чисел равна 304: $x + y = 304$
2. Одно из них больше другого на 50: $x = y + 50$

Теперь подставим второе уравнение в первое:

$(y + 50) + y = 304$

Решим полученное уравнение:

$2y + 50 = 304$

$2y = 304 - 50$

$2y = 254$

$y = 254 / 2$

$y = 127$

Мы нашли одно из чисел. Теперь найдем второе число, подставив значение $y$ во второе уравнение:

$x = 127 + 50$

$x = 177$

Проверка: $177 + 127 = 304$. Условие выполняется.

Ответ: 127 и 177.

б)

Эта задача решается аналогично. Пусть первое число — $a$, а второе — $b$.

Из условия задачи мы знаем, что:

1. Сумма двух чисел равна 760: $a + b = 760$
2. Одно меньше другого на 98. Пусть $a$ будет меньшим числом, тогда: $a = b - 98$

Подставим второе уравнение в первое:

$(b - 98) + b = 760$

Решим полученное уравнение:

$2b - 98 = 760$

$2b = 760 + 98$

$2b = 858$

$b = 858 / 2$

$b = 429$

Мы нашли большее число. Теперь найдем меньшее число:

$a = 429 - 98$

$a = 331$

Проверка: $331 + 429 = 760$. Условие выполняется.

Ответ: 331 и 429.

683. Если собственную скорость лодки обозначить $x$ км/ч, а скорость течения $y$ км/ч, то что можно найти, вычислив $x+y$; $x-y$?

x + y

Данное выражение используется для нахождения скорости лодки, когда она движется по течению реки. В этом случае скорость течения ($y$ км/ч) помогает лодке, и ее скорость складывается с собственной скоростью лодки ($x$ км/ч). Таким образом, итоговая скорость движения лодки относительно берега будет равна сумме ее собственной скорости и скорости течения.
Формула скорости по течению: $V_{по \ теч.} = V_{собств.} + V_{теч.} = x + y$.

Ответ: Скорость лодки по течению.

x - y

Данное выражение используется для нахождения скорости лодки, когда она движется против течения реки. В этом случае течение препятствует движению лодки, и скорость течения вычитается из собственной скорости лодки. Чтобы лодка могла двигаться вперед, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения ($x > y$). Итоговая скорость движения лодки относительно берега будет равна разности ее собственной скорости и скорости течения.
Формула скорости против течения: $V_{против \ теч.} = V_{собств.} - V_{теч.} = x - y$.

Ответ: Скорость лодки против течения.

684. Если скорость лодки по течению $x$ км/ч, а скорость течения $y$ км/ч, то что такое $x - y$; $x - 2y$?

Для того чтобы определить, что означают данные выражения, введем обозначения и вспомним основные формулы для движения по воде.

Пусть:

• $v_{по теч.}$ – скорость по течению (по условию равна $x$ км/ч).
• $v_{теч.}$ – скорость течения (по условию равна $y$ км/ч).
• $v_{соб.}$ – собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде).
• $v_{против теч.}$ – скорость против течения.

Известно, что скорость по течению равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения:

$v_{по теч.} = v_{соб.} + v_{теч.}$

А скорость против течения равна разности собственной скорости лодки и скорости течения:

$v_{против теч.} = v_{соб.} - v_{теч.}$

Используя данные из условия, мы можем записать первое равенство так:

$x = v_{соб.} + y$

Теперь проанализируем каждое выражение.

x - y

Из формулы $x = v_{соб.} + y$ выразим собственную скорость лодки $v_{соб.}$:

$v_{соб.} = x - y$

Таким образом, выражение $x - y$ – это собственная скорость лодки.

Ответ: собственная скорость лодки.

x - 2y

Преобразуем данное выражение, используя результат, полученный выше. Мы можем представить $x - 2y$ как:

$x - 2y = (x - y) - y$

Поскольку мы уже знаем, что $x - y$ – это собственная скорость лодки ($v_{соб.}$), мы можем подставить это значение в выражение:

$v_{соб.} - y$

Эта разность, как мы определили вначале, является формулой для скорости лодки против течения ($v_{против теч.}$).

Ответ: скорость лодки против течения.

685. Если скорость лодки против течения $x$ км/ч, а скорость течения $y$ км/ч, то что такое $x + y$; $x + 2y$?

Для решения задачи введем обозначения для скоростей: $V_{собст}$ — собственная скорость лодки (в стоячей воде), $V_{теч}$ — скорость течения, $V_{против}$ — скорость лодки против течения, $V_{по}$ — скорость лодки по течению.

По условию нам даны: Скорость лодки против течения: $V_{против} = x$ км/ч. Скорость течения: $V_{теч} = y$ км/ч.

Скорость лодки против течения вычисляется по формуле: $V_{против} = V_{собст} - V_{теч}$. Подставим в нее известные значения: $x = V_{собст} - y$.

Из этого уравнения мы можем выразить собственную скорость лодки: $V_{собст} = x + y$.

x + y

Как было показано выше, выражение $x + y$ равно собственной скорости лодки ($V_{собст}$). Это скорость, с которой лодка двигалась бы в неподвижной воде, например, в озере.

Ответ: $x + y$ — это собственная скорость лодки.

x + 2y

Теперь определим, что означает второе выражение. Скорость лодки по течению ($V_{по}$) равна сумме её собственной скорости и скорости течения: $V_{по} = V_{собст} + V_{теч}$.

Мы уже нашли, что собственная скорость лодки $V_{собст} = x + y$. Скорость течения нам дана и равна $y$. Подставим эти значения в формулу для скорости по течению:

$V_{по} = (x + y) + y$

Упростив выражение, получим: $V_{по} = x + 2y$

Таким образом, выражение $x + 2y$ представляет собой скорость лодки по течению.

Ответ: $x + 2y$ — это скорость лодки по течению.