Страница 125 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

632. а) Папа в 3 раза старше сына. На сколько лет сын моложе папы?

б) Дочь в 4 раза младше мамы. На сколько лет мама старше своей дочери?

в) Папа на 28 лет старше сына. Во сколько раз он старше сына?

г) Мама на 24 года старше дочери. Во сколько раз она старше дочери?

а) Пусть возраст сына равен $x$ лет. По условию, папа в 3 раза старше, следовательно, возраст папы — $3x$ лет. Чтобы найти, на сколько лет сын моложе папы, нужно вычесть возраст сына из возраста папы. Разница в возрасте составляет:
$3x - x = 2x$ лет.
Это означает, что сын моложе папы на величину, равную удвоенному возрасту самого сына.
Ответ: Сын моложе папы на два своих возраста (на $2x$ лет, где $x$ — возраст сына).

б) Пусть возраст дочери равен $y$ лет. Условие "дочь в 4 раза младше мамы" означает, что мама в 4 раза старше дочери. Значит, возраст мамы — $4y$ лет. Чтобы найти, на сколько лет мама старше дочери, найдём разницу их возрастов:
$4y - y = 3y$ лет.
Таким образом, мама старше своей дочери на величину, равную утроенному возрасту дочери.
Ответ: Мама старше своей дочери на три её возраста (на $3y$ лет, где $y$ — возраст дочери).

в) Пусть возраст сына равен $x$ лет. Так как папа на 28 лет старше, его возраст составляет $x + 28$ лет. Чтобы определить, во сколько раз папа старше сына, необходимо разделить возраст папы на возраст сына. Отношение их возрастов равно:
$\frac{x + 28}{x} = 1 + \frac{28}{x}$
Это отношение зависит от возраста сына ($x$) и не является постоянной величиной. Например, если сыну 7 лет, папа старше в $\frac{7+28}{7} = 5$ раз. Если сыну 14 лет, папа старше в $\frac{14+28}{14} = 3$ раза. Поэтому дать однозначный численный ответ без дополнительной информации невозможно.
Ответ: Папа старше сына в $\frac{x + 28}{x}$ раз, где $x$ — возраст сына в годах.

г) Пусть возраст дочери равен $y$ лет. Поскольку мама на 24 года старше, её возраст составляет $y + 24$ лет. Чтобы найти, во сколько раз мама старше дочери, разделим возраст мамы на возраст дочери:
$\frac{y + 24}{y} = 1 + \frac{24}{y}$
Это отношение, как и в предыдущей задаче, зависит от возраста дочери ($y$). Например, если дочери 8 лет, мама старше в $\frac{8+24}{8} = 4$ раза. Если дочери 12 лет, мама старше в $\frac{12+24}{12} = 3$ раза. Таким образом, дать однозначный ответ в виде одного числа нельзя.
Ответ: Мама старше дочери в $\frac{y + 24}{y}$ раз, где $y$ — возраст дочери в годах.

633. a) Ученик задумал число, увеличил его в 3 раза и уменьшил результат на 5. Какое число он получил?

б) Ученик задумал число, уменьшил его на 3 и увеличил результат в 5 раз. Какое число он получил?

а)

Поскольку в условии задачи не указано, какое именно число задумал ученик, мы не можем дать ответ в виде конкретного числа. Решим задачу в общем виде, обозначив задуманное число переменной, например, $x$.

1. Сначала ученик увеличил задуманное число $x$ в 3 раза. Это действие математически записывается как умножение:
$x \cdot 3 = 3x$

2. Затем он уменьшил полученный результат ($3x$) на 5. Это действие записывается как вычитание:
$3x - 5$

Таким образом, итоговое число, которое получил ученик, выражается формулой $3x - 5$, где $x$ — это первоначально задуманное число.

Ответ: $3x - 5$.

б)

Как и в предыдущем пункте, решим задачу в общем виде, так как начальное число неизвестно. Пусть задуманное число — это $x$.

1. Ученик уменьшил задуманное число $x$ на 3. Математически это выглядит так:
$x - 3$

2. После этого он увеличил полученный результат (то есть всю разность $x - 3$) в 5 раз. Для этого нужно всю разность умножить на 5, используя скобки:
$(x - 3) \cdot 5$

Это выражение можно оставить в таком виде или раскрыть скобки: $5 \cdot x - 5 \cdot 3 = 5x - 15$. Оба варианта верны.

Ответ: $5(x - 3)$.

634. Обозначьте неизвестное число буквой и составьте уравнение по условию задачи:

a) Задумали число, прибавили к нему 8 и получили 33. $x + 8 = 33$

б) Задумали число, умножили его на 4 и получили 52. $4x = 52$

в) Задумали число, умножили его на 7, к произведению прибавили 12 и получили 26. $7x + 12 = 26$

г) Задумали число, вычли из него 4, умножили разность на 5 и получили 35. $5(x - 4) = 35$

а) Обозначим задуманное число буквой $x$. Согласно условию, к этому числу прибавили 8, что можно записать как $x + 8$. В результате получили 33. Следовательно, уравнение выглядит так: $x + 8 = 33$.
Ответ: $x + 8 = 33$.

б) Пусть задуманное число будет $y$. По условию, это число умножили на 4, что записывается как $y \cdot 4$ или $4y$. В результате получили 52. Таким образом, составляем уравнение: $4y = 52$.
Ответ: $4y = 52$.

в) Обозначим задуманное число буквой $z$. Сначала число умножили на 7, получив произведение $7z$. Затем к этому произведению прибавили 12, что дает выражение $7z + 12$. В итоге получили 26. Уравнение по условию задачи: $7z + 12 = 26$.
Ответ: $7z + 12 = 26$.

г) Пусть задуманное число будет $a$. Из этого числа вычли 4, получив разность $a - 4$. Затем эту разность умножили на 5. Чтобы показать, что на 5 умножается вся разность, а не только число 4, используем скобки: $(a - 4) \cdot 5$. В результате получили 35. Составляем уравнение: $5(a - 4) = 35$.
Ответ: $5(a - 4) = 35$.

635. Одно число на 6 больше другого, а их сумма равна 18. Составьте уравнение по условию задачи, обозначив буквой:

а) меньшее число;

$x + (x + 6) = 18$

б) большее число.

$y + (y - 6) = 18$

а) Обозначим меньшее число буквой, например, $x$. Согласно условию, другое число на 6 больше, следовательно, оно равно $x + 6$. Сумма этих чисел равна 18. Таким образом, получаем уравнение, сложив оба числа:

$x + (x + 6) = 18$

Ответ: $x + (x + 6) = 18$

б) Обозначим большее число буквой, например, $y$. Согласно условию, другое число на 6 меньше, следовательно, оно равно $y - 6$. Сумма этих чисел равна 18. Таким образом, получаем уравнение, сложив оба числа:

$y + (y - 6) = 18$

Ответ: $y + (y - 6) = 18$

636. Одно число на 4 меньше другого, а их сумма равна 22. Составьте уравнение по условию задачи, обозначив буквой:

а) меньшее число;

$x + (x + 4) = 22$

б) большее число.

$(x - 4) + x = 22$

а) меньшее число
Обозначим меньшее число буквой $x$.
По условию задачи, одно число на 4 меньше другого. Это значит, что большее число на 4 больше меньшего. Следовательно, большее число можно выразить как $x + 4$.
Сумма этих двух чисел равна 22. Составим уравнение, сложив выражения для меньшего и большего чисел:
$x + (x + 4) = 22$
Это и есть искомое уравнение.

Ответ: $x + (x + 4) = 22$.

б) большее число
Обозначим большее число буквой $x$.
По условию задачи, другое число на 4 меньше. Следовательно, меньшее число можно выразить как $x - 4$.
Сумма этих двух чисел равна 22. Составим уравнение, сложив выражения для большего и меньшего чисел:
$x + (x - 4) = 22$
Это и есть искомое уравнение.

Ответ: $x + (x - 4) = 22$.

Составьте уравнение по условию задачи, обозначив буквой неизвестное число, и решите его (637–652):

637. а) Одно число в 5 раз больше другого, а их сумма равна 42.

б) Одно число в 3 раза меньше другого, а их сумма равна 28.

в) Одно число в 4 раза больше другого, а их разность равна 39.

г) Одно число в 7 раз меньше другого, а их разность равна 54.

а)

Пусть меньшее число равно $x$. Тогда большее число, которое в 5 раз больше, равно $5x$. По условию, их сумма равна 42. Составим уравнение:

$x + 5x = 42$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$6x = 42$

Найдем $x$, разделив обе части на 6:

$x = 42 : 6$

$x = 7$

Таким образом, меньшее число равно 7. Тогда большее число равно $5 \cdot 7 = 35$.

Проверим: $7 + 35 = 42$. Условие выполняется.

Ответ: 7 и 35.

б)

Пусть меньшее число равно $x$. Так как оно в 3 раза меньше другого, то другое (большее) число равно $3x$. Их сумма равна 28. Составим уравнение:

$x + 3x = 28$

Сложим слагаемые в левой части:

$4x = 28$

Найдем $x$:

$x = 28 : 4$

$x = 7$

Следовательно, меньшее число равно 7. Большее число равно $3 \cdot 7 = 21$.

Проверим: $7 + 21 = 28$. Условие выполняется.

Ответ: 7 и 21.

в)

Пусть меньшее число равно $x$. Тогда большее число, которое в 4 раза больше, равно $4x$. Их разность равна 39. Составим уравнение:

$4x - x = 39$

Упростим левую часть уравнения:

$3x = 39$

Найдем $x$:

$x = 39 : 3$

$x = 13$

Значит, меньшее число равно 13. Большее число равно $4 \cdot 13 = 52$.

Проверим: $52 - 13 = 39$. Условие выполняется.

Ответ: 13 и 52.

г)

Пусть меньшее число равно $x$. Так как оно в 7 раз меньше другого, то большее число равно $7x$. Их разность равна 54. Составим уравнение:

$7x - x = 54$

Упростим левую часть:

$6x = 54$

Найдем $x$:

$x = 54 : 6$

$x = 9$

Итак, меньшее число равно 9. Большее число равно $7 \cdot 9 = 63$.

Проверим: $63 - 9 = 54$. Условие выполняется.

Ответ: 9 и 63.

638. а) Брат нашёл в 3 раза больше белых грибов, чем сестра. Всего они нашли 24 белых гриба. Сколько белых грибов нашёл брат и сколько сестра?

б) На двух полках 63 книги, причём на одной в 2 раза меньше книг, чем на другой. Сколько книг на каждой полке?

а)

Пусть сестра нашла $x$ белых грибов. По условию, брат нашёл в 3 раза больше, следовательно, он нашёл $3x$ грибов. Всего они нашли 24 гриба. Составим уравнение, чтобы найти количество грибов, которое нашла сестра:

$x + 3x = 24$

$4x = 24$

$x = 24 / 4$

$x = 6$

Итак, сестра нашла 6 белых грибов.

Теперь найдём, сколько грибов нашёл брат, умножив количество грибов сестры на 3:

$6 * 3 = 18$

Брат нашёл 18 белых грибов.

Проверим: $6 + 18 = 24$.

Ответ: сестра нашла 6 белых грибов, а брат — 18 белых грибов.

б)

Пусть на полке, где меньше книг, стоит $y$ книг. Тогда на другой полке, где книг в 2 раза больше, стоит $2y$ книг. Всего на двух полках 63 книги. Составим уравнение:

$y + 2y = 63$

$3y = 63$

$y = 63 / 3$

$y = 21$

Таким образом, на одной полке 21 книга.

Теперь найдём количество книг на второй полке:

$2 * 21 = 42$

На второй полке 42 книги.

Проверим: $21 + 42 = 63$.

Ответ: на одной полке 21 книга, на другой — 42 книги.