Страница 131 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

671. a) В бригаде 8 маляров, каждый за 2 ч может покрасить одно окно. За сколько часов бригада покрасит 24 окна?

б) Бригаде из 8 маляров нужно покрасить 40 окон. Каждый маляр за 2 ч может покрасить одно окно. Сколько окон останется покрасить через 8 ч работы бригады?

а)

1. Сначала определим, сколько окон покрасит вся бригада из 8 маляров за 2 часа. Так как каждый маляр за это время красит одно окно, то все вместе они покрасят:
$8 \text{ маляров} \times 1 \text{ окно} = 8 \text{ окон}$

2. Теперь найдем производительность бригады в час. Если за 2 часа они красят 8 окон, то за 1 час они покрасят в два раза меньше:
$8 \text{ окон} \div 2 \text{ часа} = 4 \text{ окна/час}$

3. Зная производительность, можно рассчитать время, необходимое для покраски 24 окон. Для этого общее количество окон разделим на часовую производительность бригады:
$24 \text{ окна} \div 4 \text{ окна/час} = 6 \text{ часов}$

Ответ: 6 часов.

б)

1. Производительность бригады известна из предыдущей задачи: 4 окна в час. Найдем, сколько окон бригада покрасит за 8 часов работы:
$4 \text{ окна/час} \times 8 \text{ часов} = 32 \text{ окна}$

2. Изначально нужно было покрасить 40 окон. Чтобы узнать, сколько окон осталось покрасить после 8 часов работы, вычтем из общего количества уже покрашенные:
$40 \text{ окон} - 32 \text{ окна} = 8 \text{ окон}$

Ответ: 8 окон.

Решите задачу, составив буквенное выражение (672—673):

672. а) Книга стоит $x$ р. Сколько стоят 8 таких книг?

б) Купили 10 тетрадей по $x$ р. и 3 ручки по 3 р. Сколько заплатили за покупку?

в) Купили $x$ линеек по 40 к. и 4 тетради по 50 к. Сколько сдачи получили с 5 р.?

а) Чтобы найти стоимость нескольких одинаковых предметов, нужно цену одного предмета умножить на их количество. Цена одной книги равна $x$ р., а количество книг равно 8. Таким образом, стоимость восьми книг можно выразить как произведение цены на количество.

Буквенное выражение: $8 \times x$ р.

Ответ: $8x$ р.

б) Чтобы найти общую стоимость покупки, нужно сложить стоимость всех купленных товаров. Сначала найдем стоимость тетрадей и ручек по отдельности.

Стоимость 10 тетрадей по $x$ р. за каждую: $10 \times x = 10x$ р.

Стоимость 3 ручек по 3 р. за каждую: $3 \times 3 = 9$ р.

Общая стоимость покупки равна сумме стоимости тетрадей и ручек.

Буквенное выражение: $10x + 9$ р.

Ответ: $(10x + 9)$ р.

в) Чтобы найти сдачу, нужно из уплаченной суммы вычесть стоимость всей покупки. Важно, чтобы все величины были в одинаковых единицах измерения. Переведем рубли в копейки, зная, что 1 р. = 100 к.

Уплаченная сумма: $5$ р. $= 5 \times 100 = 500$ к.

Теперь найдем стоимость покупки в копейках.

Стоимость $x$ линеек по 40 к. за каждую: $x \times 40 = 40x$ к.

Стоимость 4 тетрадей по 50 к. за каждую: $4 \times 50 = 200$ к.

Общая стоимость покупки: $40x + 200$ к.

Теперь найдем сдачу, вычтя из уплаченной суммы стоимость покупки.

Буквенное выражение: $500 - (40x + 200) = 500 - 40x - 200 = 300 - 40x$ к.

Ответ: $(300 - 40x)$ к.

673. а) Турист ехал $x$ ч на поезде со скоростью 50 км/ч и шёл пешком 2 ч со скоростью 4 км/ч. Какое расстояние преодолел турист за всё время?

б) Длина маршрута 400 км. Турист ехал 4 ч поездом со скоростью $x$ км/ч и 3 ч автобусом со скоростью 70 км/ч. За сколько часов он пройдёт остаток пути пешком, если будет идти со скоростью 4 км/ч?

а) Чтобы найти общее расстояние, нужно сложить расстояния, пройденные на каждом участке пути. Расстояние находится по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время.

1. Вычислим расстояние, которое турист проехал на поезде:
Скорость поезда: $v_1 = 50$ км/ч.
Время в пути на поезде: $t_1 = x$ ч.
Расстояние, пройденное на поезде: $S_1 = 50 \cdot x = 50x$ км.

2. Вычислим расстояние, которое турист прошёл пешком:
Скорость пешком: $v_2 = 4$ км/ч.
Время в пути пешком: $t_2 = 2$ ч.
Расстояние, пройденное пешком: $S_2 = 4 \cdot 2 = 8$ км.

3. Найдем общее расстояние, сложив оба участка:
$S_{общ} = S_1 + S_2 = 50x + 8$ км.

Ответ: $(50x + 8)$ км.

б) Чтобы найти время, необходимое для прохождения оставшегося пути, нужно сначала найти это расстояние, а затем разделить его на скорость ходьбы. Время находится по формуле $t = S / v$.

1. Вычислим расстояние, которое турист проехал на поезде:
Скорость поезда: $v_1 = x$ км/ч.
Время в пути на поезде: $t_1 = 4$ ч.
Расстояние на поезде: $S_1 = x \cdot 4 = 4x$ км.

2. Вычислим расстояние, которое турист проехал на автобусе:
Скорость автобуса: $v_2 = 70$ км/ч.
Время в пути на автобусе: $t_2 = 3$ ч.
Расстояние на автобусе: $S_2 = 70 \cdot 3 = 210$ км.

3. Найдем общее расстояние, которое турист уже преодолел на поезде и автобусе:
$S_{пройдено} = S_1 + S_2 = 4x + 210$ км.

4. Найдем оставшееся расстояние. Общая длина маршрута $S_{общ} = 400$ км.
$S_{ост} = S_{общ} - S_{пройдено} = 400 - (4x + 210) = 400 - 4x - 210 = 190 - 4x$ км.

5. Теперь найдем, сколько часов турист будет идти пешком.
Скорость пешком: $v_3 = 4$ км/ч.
Время пешком: $t_{пеш} = \frac{S_{ост}}{v_3} = \frac{190 - 4x}{4} = \frac{190}{4} - \frac{4x}{4} = 47.5 - x$ ч.

Ответ: $(47.5 - x)$ ч.

674. Через одну трубу можно наполнить бассейн за $a$ мин, а через другую — за $b$ мин. Через сколько минут наполнится бассейн, если открыть обе трубы? Составьте буквенное выражение для получения ответа, найдите его значение при:

а) $a = 30$, $b = 20$;

б) $a = 70$, $b = 30$;

в) $a = 60$, $b = 90$.

Для решения задачи примем весь объем бассейна за 1. Тогда производительность (скорость наполнения) первой трубы составит $\frac{1}{a}$ часть бассейна в минуту, а производительность второй трубы — $\frac{1}{b}$ часть бассейна в минуту.

Когда обе трубы открыты, их производительности складываются. Общая производительность двух труб будет равна:

$P_{общ} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю $ab$:

$P_{общ} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$

Это общая часть бассейна, которая наполняется за одну минуту при работе двух труб вместе.

Чтобы найти общее время $t$, за которое наполнится весь бассейн (т.е. 1), нужно разделить объем на общую производительность:

$t = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{a+b}{ab}} = \frac{ab}{a+b}$

Это и есть буквенное выражение для получения ответа. Теперь подставим в него заданные значения.

а) при $a = 30$, $b = 20$

Время наполнения бассейна равно:

$t = \frac{30 \cdot 20}{30 + 20} = \frac{600}{50} = 12$ (мин)

Ответ: 12 минут.

б) при $a = 70$, $b = 30$

Время наполнения бассейна равно:

$t = \frac{70 \cdot 30}{70 + 30} = \frac{2100}{100} = 21$ (мин)

Ответ: 21 минута.

в) при $a = 60$, $b = 90$

Время наполнения бассейна равно:

$t = \frac{60 \cdot 90}{60 + 90} = \frac{5400}{150} = \frac{540}{15} = 36$ (мин)

Ответ: 36 минут.

Составив буквенное выражение, решите задачи (675–676):

675. Сестра нашла $x$ грибов, а брат в 2 раза больше. Сколько грибов нашёл брат? Сколько грибов они нашли вместе?

Сколько грибов нашёл брат?
Пусть $x$ — это количество грибов, которые нашла сестра. Согласно условию задачи, брат нашёл в 2 раза больше грибов. Чтобы найти количество грибов, которое нашёл брат, необходимо количество грибов сестры умножить на 2. Составим буквенное выражение: $2 \cdot x$ или $2x$.
Ответ: брат нашёл $2x$ грибов.

Сколько грибов они нашли вместе?
Чтобы найти, сколько грибов сестра и брат нашли вместе, нужно сложить количество грибов, найденных сестрой, и количество грибов, найденных братом. Сестра нашла $x$ грибов, а брат — $2x$ грибов. Сложим эти значения: $x + 2x$. Упростим полученное выражение, вынеся общий множитель $x$ за скобки: $x + 2x = (1+2)x = 3x$.
Ответ: вместе они нашли $3x$ грибов.

676. а) На решение примеров Вася затратил $x$ мин, а на решение задачи на 10 мин больше. Сколько минут Вася затратил на всё задание?

б) В классе $x$ девочек, а мальчиков на 4 меньше, чем девочек. Сколько всего учащихся в классе?

а) Обозначим время, которое Вася потратил на решение примеров, как $x$ минут. Согласно условию, на решение задачи он затратил на 10 минут больше, следовательно, время на решение задачи составляет $x + 10$ минут. Чтобы найти общее время, затраченное на всё задание, необходимо сложить время, потраченное на примеры, и время, потраченное на задачу. Составим и упростим выражение:
$x + (x + 10) = x + x + 10 = 2x + 10$
Таким образом, на всё задание Вася потратил $(2x + 10)$ минут.
Ответ: $2x + 10$ минут.

б) По условию, количество девочек в классе равно $x$. Количество мальчиков на 4 меньше, чем девочек, следовательно, мальчиков в классе $x - 4$. Чтобы найти общее количество учащихся в классе, нужно сложить количество девочек и количество мальчиков. Составим и упростим выражение:
$x + (x - 4) = x + x - 4 = 2x - 4$
Следовательно, всего в классе $(2x - 4)$ учащихся.
Ответ: $2x - 4$ учащихся.

677. Докажите, что если из суммы двух чисел вычесть их разность, то получится удвоенное меньшее число, т. е. для любых чисел $a$ и $b$ ($a > b$) верно равенство $(a + b) - (a - b) = 2b$.

Чтобы доказать данное утверждение, нужно показать, что равенство $(a + b) - (a - b) = 2b$ является тождеством для любых чисел $a$ и $b$, где $a > b$. По условию, $b$ — меньшее из двух чисел.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого раскроем скобки. Поскольку перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$(a + b) - (a - b) = a + b - a + b$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a - a) + (b + b)$

Выполним вычисления:

$0 + 2b = 2b$

В результате мы получили, что левая часть равенства тождественно равна правой: $2b = 2b$. Это означает, что исходное утверждение верно. Если из суммы двух чисел вычесть их разность, то получится удвоенное меньшее число.

Ответ: $(a + b) - (a - b) = a + b - a + b = (a - a) + (b + b) = 2b$.

678. Докажите, что для любых чисел $a$ и $b$ ($a > b$) верно равенство

$(a + b) + (a - b) = 2a.$

Сформулируйте доказанное свойство суммы и разности двух чисел в виде правила.

Для доказательства данного тождества выполним преобразование его левой части. Сначала раскроем скобки в выражении $(a + b) + (a - b)$. Поскольку перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри скобок не меняются:
$(a + b) + (a - b) = a + b + a - b$
Теперь, используя переместительное и сочетательное свойства сложения, сгруппируем слагаемые:
$a + b + a - b = (a + a) + (b - b)$
Выполним действия в каждой из скобок:
$(a + a) = 2a$
$(b - b) = 0$
В результате получаем:
$2a + 0 = 2a$
Таким образом, левая часть равенства после преобразований стала равна правой части ($2a = 2a$), что и доказывает верность исходного равенства. Ответ: Равенство доказано.

Ответ: Сумма суммы и разности двух чисел равна удвоенному первому числу (тому числу, из которого вычитали, то есть уменьшаемому).