Страница 126 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

639. a) В книжке 60 страниц. Прочитали в 2 раза больше страниц, чем осталось прочитать. Сколько страниц осталось прочитать?

б) На автомобильной стоянке стоит 72 автомобиля, причём легковых автомобилей в 7 раз больше, чем грузовых. Сколько грузовых автомобилей на автостоянке?

а)

Пусть $x$ — это количество страниц, которое осталось прочитать. Согласно условию, прочитали в 2 раза больше страниц, то есть $2x$. Общее количество страниц в книге равно сумме прочитанных и оставшихся страниц.

Составим и решим уравнение:

$x + 2x = 60$

$3x = 60$

$x = 60 \div 3$

$x = 20$

Таким образом, осталось прочитать 20 страниц.

Ответ: 20 страниц.

б)

Пусть $y$ — это количество грузовых автомобилей. По условию, легковых автомобилей в 7 раз больше, значит их количество равно $7y$. Всего на стоянке 72 автомобиля, что является суммой грузовых и легковых автомобилей.

Составим и решим уравнение:

$y + 7y = 72$

$8y = 72$

$y = 72 \div 8$

$y = 9$

Следовательно, на автостоянке стоит 9 грузовых автомобилей.

Ответ: 9 грузовых автомобилей.

640. a) У хозяйки было 20 кур и цыплят. Кур было в 4 раза меньше, чем цыплят. Сколько цыплят было у хозяйки?

б) У хозяйки было 16 уток и утят. Уток было в 3 раза меньше, чем утят. Сколько утят было у хозяйки?

а)

Обозначим количество кур как одну часть. По условию, кур было в 4 раза меньше, чем цыплят, значит, цыплят было в 4 раза больше, то есть 4 части.

1. Найдем общее количество частей:
$1 + 4 = 5$ (частей) — составляют все куры и цыплята вместе.

2. Эти 5 частей равны 20, как дано в условии. Найдем, сколько птиц приходится на одну часть:
$20 / 5 = 4$ (птицы) — приходится на одну часть, что равно количеству кур.

3. Цыплят было 4 части. Найдем количество цыплят:
$4 * 4 = 16$ (цыплят).

Проверка: $4$ (куры) $+ 16$ (цыплята) $= 20$ (всего). $16 / 4 = 4$ (цыплят в 4 раза больше, чем кур). Условия задачи выполнены.

Ответ: у хозяйки было 16 цыплят.

б)

Решим задачу аналогичным способом. Обозначим количество уток как одну часть. По условию, уток было в 3 раза меньше, чем утят, следовательно, утят было 3 части.

1. Найдем общее количество частей:
$1 + 3 = 4$ (части) — составляют все утки и утята вместе.

2. Эти 4 части равны 16. Найдем, сколько птиц приходится на одну часть:
$16 / 4 = 4$ (птицы) — приходится на одну часть, что равно количеству уток.

3. Утят было 3 части. Найдем количество утят:
$4 * 3 = 12$ (утят).

Проверка: $4$ (утки) $+ 12$ (утят) $= 16$ (всего). $12 / 4 = 3$ (утят в 3 раза больше, чем уток). Условия задачи выполнены.

Ответ: у хозяйки было 12 утят.

641. a) Кусок полотна в 124 м надо разрезать на две части так, чтобы длина одной части была на 12 м больше, чем другой. По скольку метров полотна будет в каждой части?

б) Кусок лески длиной 16 м надо разрезать на две части так, чтобы длина одной части была на 1 м больше, чем другой. По скольку метров лески будет в каждой части?

а)

Обозначим длину меньшей части полотна за $x$ метров. По условию, другая часть на 12 м больше, значит, ее длина составляет $(x + 12)$ метров. Сумма длин двух частей равна общей длине куска полотна, то есть 124 м.

Составим и решим уравнение:

$x + (x + 12) = 124$

$2x + 12 = 124$

Чтобы найти $2x$, вычтем 12 из обеих частей уравнения:

$2x = 124 - 12$

$2x = 112$

Теперь найдем $x$, разделив 112 на 2:

$x = 112 / 2$

$x = 56$

Таким образом, длина меньшей части полотна равна 56 м.

Длина большей части будет:

$56 + 12 = 68$ м.

Проверим: $56 + 68 = 124$ м. Решение верное.

Ответ: 56 м и 68 м.

б)

Обозначим длину меньшей части лески за $y$ метров. По условию, другая часть на 1 м больше, значит, ее длина составляет $(y + 1)$ метров. Сумма длин двух частей равна общей длине куска лески, то есть 16 м.

Составим и решим уравнение:

$y + (y + 1) = 16$

$2y + 1 = 16$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения, чтобы найти $2y$:

$2y = 16 - 1$

$2y = 15$

Теперь найдем $y$, разделив 15 на 2:

$y = 15 / 2$

$y = 7,5$

Следовательно, длина меньшей части лески равна 7,5 м.

Длина большей части будет:

$7,5 + 1 = 8,5$ м.

Проверим: $7,5 + 8,5 = 16$ м. Решение верное.

Ответ: 7,5 м и 8,5 м.

642. а) В школу привезли 690 столов и стульев. Стульев было на 230 больше, чем столов. Сколько столов и стульев в отдельности привезли в школу?

б) В соревнованиях по лыжам участвовали 53 человека. Девочек было на 17 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и девочек в отдельности участвовало в соревнованиях?

а)

Пусть количество столов, привезенных в школу, равно $x$.
По условию задачи, стульев было на 230 больше, чем столов, следовательно, количество стульев равно $x + 230$.
Всего столов и стульев было 690. Составим уравнение:
$x + (x + 230) = 690$
$2x + 230 = 690$
Теперь найдем $2x$, вычтя 230 из обеих частей уравнения:
$2x = 690 - 230$
$2x = 460$
Найдем $x$, разделив 460 на 2:
$x = 460 \div 2$
$x = 230$
Итак, в школу привезли 230 столов.
Теперь найдем количество стульев:
$230 + 230 = 460$ (стульев).
Проверка: $230 + 460 = 690$.
Ответ: в школу привезли 230 столов и 460 стульев.

б)

Пусть количество мальчиков, участвовавших в соревнованиях, равно $y$.
По условию задачи, девочек было на 17 меньше, чем мальчиков, значит, количество девочек равно $y - 17$.
Всего в соревнованиях участвовали 53 человека. Составим уравнение:
$y + (y - 17) = 53$
$2y - 17 = 53$
Теперь найдем $2y$, прибавив 17 к обеим частям уравнения:
$2y = 53 + 17$
$2y = 70$
Найдем $y$, разделив 70 на 2:
$y = 70 \div 2$
$y = 35$
Итак, в соревнованиях участвовало 35 мальчиков.
Теперь найдем количество девочек:
$35 - 17 = 18$ (девочек).
Проверка: $35 + 18 = 53$.
Ответ: в соревнованиях участвовали 35 мальчиков и 18 девочек.

643. Двое должны поделить между собой 15 р. так, чтобы одному досталось на 4 р. больше, чем другому. Сколько достанется каждому?

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Арифметический

1. Если бы оба получили поровну, то у каждого было бы по некоторой сумме. Но одному досталось на 4 рубля больше. Уберем эту "лишнюю" сумму из общего количества денег:

$15 - 4 = 11$ р.

2. Теперь оставшиеся 11 рублей можно разделить поровну между двумя людьми. Это будет сумма, которая досталась тому, кто получил меньше.

$11 \div 2 = 5,5$ р.

3. Мы нашли долю одного человека (5,5 р.). Доля второго на 4 рубля больше:

$5,5 + 4 = 9,5$ р.

Проверим: $5,5 + 9,5 = 15$ р. Условия задачи выполнены.

Ответ: одному достанется 5,5 рублей, а другому — 9,5 рублей.

Способ 2: Алгебраический (с помощью уравнения)

1. Пусть $x$ — это сумма, которая досталась одному человеку (тому, кто получил меньше).

2. Тогда второму человеку досталось $x + 4$ рублей.

3. Вместе у них 15 рублей. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 4) = 15$

$2x + 4 = 15$

$2x = 15 - 4$

$2x = 11$

$x = 11 \div 2$

$x = 5,5$

4. Таким образом, первому человеку досталось 5,5 рублей. Второму досталось:

$5,5 + 4 = 9,5$ р.

Ответ: одному достанется 5,5 рублей, а другому — 9,5 рублей.

644. a) За конфеты заплатили в 3 раза больше, или на 6 р. больше, чем за печенье. Сколько заплатили за печенье?

б) За тетради заплатили в 4 раза больше, или на 7 р. 20 к. больше, чем за линейки. Сколько заплатили за линейки?

а)

Обозначим стоимость печенья как $x$ рублей.Из условия задачи следует, что за конфеты заплатили в 3 раза больше, то есть $3x$ рублей.Также известно, что стоимость конфет на 6 рублей больше, чем стоимость печенья. Это означает, что разница между стоимостью конфет и стоимостью печенья равна 6 рублям.Составим и решим уравнение:

$3x - x = 6$

Упростим левую часть уравнения:

$2x = 6$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = 6 / 2$

$x = 3$

Следовательно, за печенье заплатили 3 рубля.

Ответ: 3 рубля.

б)

Обозначим стоимость линеек как $y$.Согласно условию, за тетради заплатили в 4 раза больше, то есть их стоимость составляет $4y$.Разница в стоимости между тетрадями и линейками составляет 7 р. 20 к.Для удобства вычислений переведем эту сумму в копейки. В 1 рубле 100 копеек.

$7$ р. $20$ к. = $7 * 100 + 20 = 720$ копеек.

Составим уравнение, где $y$ — стоимость линеек в копейках:

$4y - y = 720$

Упростим левую часть:

$3y = 720$

Найдем $y$, разделив обе части уравнения на 3:

$y = 720 / 3$

$y = 240$

Таким образом, стоимость линеек составляет 240 копеек. Переведем это значение обратно в рубли и копейки:

$240$ копеек = $2$ рубля $40$ копеек.

Ответ: 2 рубля 40 копеек.

645. a) Папа в 8 раз старше дочери, а дочь на 28 лет младше папы. Сколько лет папе?

б) Мама в 6 раз старше сына, а сын на 25 лет младше мамы. Сколько лет маме?

а) Условие, что папа в 8 раз старше дочери, означает, что если возраст дочери принять за 1 часть, то возраст папы будет равен 8 таким частям. Разница в их возрасте составляет 28 лет.

1) Узнаем, на сколько частей возраст папы больше возраста дочери: $8 - 1 = 7$ (частей).

2) Эти 7 частей и составляют разницу в возрасте, то есть 28 лет. Найдем, сколько лет приходится на одну часть (это будет возраст дочери): $28 \div 7 = 4$ (года).

3) Теперь, зная, что возраст дочери 4 года, а папа в 8 раз старше, найдем возраст папы: $4 \times 8 = 32$ (года).

Ответ: 32 года.

б) Аналогично, примем возраст сына за 1 часть. Так как мама в 6 раз старше, ее возраст составит 6 таких же частей. Разница в возрасте между ними — 25 лет.

1) Узнаем, на сколько частей возраст мамы больше возраста сына: $6 - 1 = 5$ (частей).

2) Эти 5 частей равны разнице в возрасте, то есть 25 годам. Найдем, сколько лет составляет одна часть (возраст сына): $25 \div 5 = 5$ (лет).

3) Зная, что сыну 5 лет, а мама в 6 раз старше, найдем возраст мамы: $5 \times 6 = 30$ (лет).

Ответ: 30 лет.

646. На солнышке грелись несколько кошек. У них вместе лап на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на солнышке?

Для решения этой задачи можно составить уравнение. Пусть $x$ — это искомое количество кошек.

У каждой кошки 4 лапы, следовательно, у $x$ кошек общее количество лап равно $4 \cdot x$.

Также у каждой кошки 2 уха, значит, у $x$ кошек общее количество ушей равно $2 \cdot x$.

По условию задачи, общее количество лап на 10 больше, чем общее количество ушей. Это означает, что если из общего числа лап вычесть общее число ушей, получится 10. Составим уравнение:

$4x - 2x = 10$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

1. Упростим левую часть уравнения:

$2x = 10$

2. Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{10}{2}$

$x = 5$

Таким образом, мы выяснили, что на солнышке грелось 5 кошек.

Проверка:

Если кошек было 5, то у них было $5 \cdot 4 = 20$ лап и $5 \cdot 2 = 10$ ушей. Разница между количеством лап и ушей составляет $20 - 10 = 10$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 5 кошек.

647. Десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой собаке досталось 6 галет, а каждой кошке — 5 галет. Сколько было собак и сколько кошек?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество собак, а $y$ — количество кошек.

Из условия известно, что всего животных было 10. Составим первое уравнение:

$x + y = 10$

Также известно, что каждой собаке досталось 6 галет, а каждой кошке — 5. Всего было скормлено 56 галет. Это позволяет нам составить второе уравнение:

$6x + 5y = 56$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y = 10 \\ 6x + 5y = 56 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 10 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$6x + 5(10 - x) = 56$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$6x + 50 - 5x = 56$

Приведем подобные слагаемые:

$x + 50 = 56$

Найдем $x$:

$x = 56 - 50$

$x = 6$

Таким образом, количество собак равно 6. Теперь найдем количество кошек, подставив значение $x$ в выражение $y = 10 - x$:

$y = 10 - 6$

$y = 4$

Получается, что было 4 кошки.

Проверка:

Проверим, сходятся ли наши результаты с условиями задачи.
1. Общее количество животных: $6$ (собак) $+ 4$ (кошки) $= 10$ животных. Это верно.
2. Общее количество галет: $6$ собак $\times 6$ галет/собаку $+ 4$ кошки $\times 5$ галет/кошку $= 36 + 20 = 56$ галет. Это тоже верно.

Ответ: Было 6 собак и 4 кошки.