Страница 120 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

615. Определите координаты точек, делящих отрезок $AB$ на четыре равные части, если:

a) $A \left(2\frac{2}{8}\right), B(4);$

б) $A \left(-\frac{5}{7}\right), B \left(\frac{1}{7}\right).$

Чтобы разделить отрезок на четыре равные части, нужно найти координаты трех точек. Обозначим концы отрезка как A и B, а искомые точки, расположенные последовательно на отрезке, как C, D и E.
Таким образом, точка D является серединой всего отрезка AB.
Точка C является серединой отрезка AD.
Точка E является серединой отрезка DB.
Координата середины отрезка с концами в точках с координатами $x_1$ и $x_2$ находится по формуле: $x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

а) Даны точки $A(2\frac{2}{8})$ и $B(4)$.
Сначала упростим координату точки A: $2\frac{2}{8} = 2\frac{1}{4}$.
1. Найдем координату точки D (середина AB):
$x_D = \frac{2\frac{1}{4} + 4}{2} = \frac{6\frac{1}{4}}{2} = \frac{\frac{25}{4}}{2} = \frac{25}{8} = 3\frac{1}{8}$.
2. Найдем координату точки C (середина AD):
$x_C = \frac{2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8}}{2} = \frac{\frac{9}{4} + \frac{25}{8}}{2} = \frac{\frac{18}{8} + \frac{25}{8}}{2} = \frac{\frac{43}{8}}{2} = \frac{43}{16} = 2\frac{11}{16}$.
3. Найдем координату точки E (середина DB):
$x_E = \frac{3\frac{1}{8} + 4}{2} = \frac{7\frac{1}{8}}{2} = \frac{\frac{57}{8}}{2} = \frac{57}{16} = 3\frac{9}{16}$.
Ответ: $2\frac{11}{16}; 3\frac{1}{8}; 3\frac{9}{16}$.

б) Даны точки $A(-\frac{5}{7})$ и $B(\frac{1}{7})$.
1. Найдем координату точки D (середина AB):
$x_D = \frac{-\frac{5}{7} + \frac{1}{7}}{2} = \frac{-\frac{4}{7}}{2} = -\frac{4}{14} = -\frac{2}{7}$.
2. Найдем координату точки C (середина AD):
$x_C = \frac{-\frac{5}{7} + (-\frac{2}{7})}{2} = \frac{-\frac{7}{7}}{2} = \frac{-1}{2}$.
3. Найдем координату точки E (середина DB):
$x_E = \frac{-\frac{2}{7} + \frac{1}{7}}{2} = \frac{-\frac{1}{7}}{2} = -\frac{1}{14}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}; -\frac{2}{7}; -\frac{1}{14}$.

616. a) Среднее арифметическое чисел $4\frac{1}{3}$ и $a$ равно $2\frac{1}{2}$. Найдите число $a$.

б) Среднее арифметическое чисел $a$ и $-\frac{1}{3}$ равно $\frac{5}{6}$. Найдите число $a$.

а) Среднее арифметическое двух чисел равно их сумме, деленной на 2. По условию, среднее арифметическое чисел $4\frac{1}{3}$ и $a$ равно $2\frac{1}{2}$. Составим уравнение:

$\frac{4\frac{1}{3} + a}{2} = 2\frac{1}{2}$

Чтобы найти сумму чисел, нужно умножить их среднее арифметическое на их количество (в данном случае на 2):

$4\frac{1}{3} + a = 2\frac{1}{2} \cdot 2$

Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

Подставим значения в уравнение:

$\frac{13}{3} + a = \frac{5}{2} \cdot 2$

$\frac{13}{3} + a = 5$

Теперь найдем $a$:

$a = 5 - \frac{13}{3}$

Представим 5 в виде дроби со знаменателем 3:

$a = \frac{15}{3} - \frac{13}{3}$

$a = \frac{15 - 13}{3}$

$a = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

б) По аналогии с пунктом а), составим уравнение для чисел $a$ и $-\frac{1}{3}$, среднее арифметическое которых равно $\frac{5}{6}$:

$\frac{a + (-\frac{1}{3})}{2} = \frac{5}{6}$

Найдем сумму чисел:

$a - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \cdot 2$

$a - \frac{1}{3} = \frac{10}{6}$

Сократим дробь $\frac{10}{6}$:

$a - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь найдем $a$:

$a = \frac{5}{3} + \frac{1}{3}$

$a = \frac{5 + 1}{3}$

$a = \frac{6}{3}$

$a = 2$

Ответ: $2$

617. Отрезок, соединяющий точки 0 и 1 на координатной оси, разделили пополам — получили два отрезка. Правый отрезок разделили пополам — получили ещё два отрезка. Правый из них разделили пополам и т. д. Запишите координаты пяти первых полученных таким образом точек. Определите без вычислений координаты следующих пяти таких точек.

Задача состоит в том, чтобы последовательно находить координаты точек, которые делят пополам отрезки. Процесс начинается с отрезка $[0, 1]$.

Запишите координаты пяти первых полученных таким образом точек

1. Делим отрезок $[0, 1]$ пополам. Координата первой точки — это середина отрезка, которая находится как среднее арифметическое его концов:
$p_1 = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}$.
Получаем два новых отрезка: $[0, \frac{1}{2}]$ и $[\frac{1}{2}, 1]$.

2. По условию, берём правый отрезок $[\frac{1}{2}, 1]$ и делим его пополам. Координата второй точки:
$p_2 = \frac{\frac{1}{2} + 1}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}$.

3. Новый правый отрезок — $[\frac{3}{4}, 1]$. Делим его пополам, чтобы найти третью точку:
$p_3 = \frac{\frac{3}{4} + 1}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8}$.

4. Следующий правый отрезок — $[\frac{7}{8}, 1]$. Делим его пополам для нахождения четвёртой точки:
$p_4 = \frac{\frac{7}{8} + 1}{2} = \frac{\frac{15}{8}}{2} = \frac{15}{16}$.

5. Последний правый отрезок для этого пункта — $[\frac{15}{16}, 1]$. Находим пятую точку:
$p_5 = \frac{\frac{15}{16} + 1}{2} = \frac{\frac{31}{16}}{2} = \frac{31}{32}$.

Таким образом, мы нашли координаты первых пяти точек.
Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, \frac{31}{32}$.

Определите без вычислений координаты следующих пяти таких точек

Чтобы определить следующие точки без прямых вычислений (нахождения середины отрезка), проанализируем полученную последовательность координат: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, \frac{31}{32}$.
Можно заметить чёткую закономерность:

• Знаменатель каждой следующей дроби является следующей степенью числа 2: $2, 4, 8, 16, 32, ...$ или $2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, ...$
• Числитель каждой дроби на единицу меньше её знаменателя.

Таким образом, координату n-й точки можно описать формулой: $p_n = \frac{2^n - 1}{2^n}$.
Используя эту закономерность, определим координаты следующих пяти точек:

6. Для шестой точки ($n=6$) знаменатель будет $2^6 = 64$. Координата: $\frac{63}{64}$.

7. Для седьмой точки ($n=7$) знаменатель будет $2^7 = 128$. Координата: $\frac{127}{128}$.

8. Для восьмой точки ($n=8$) знаменатель будет $2^8 = 256$. Координата: $\frac{255}{256}$.

9. Для девятой точки ($n=9$) знаменатель будет $2^9 = 512$. Координата: $\frac{511}{512}$.

10. Для десятой точки ($n=10$) знаменатель будет $2^{10} = 1024$. Координата: $\frac{1023}{1024}$.

Ответ: $\frac{63}{64}, \frac{127}{128}, \frac{255}{256}, \frac{511}{512}, \frac{1023}{1024}$.