Номер 617, страница 120 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.8. Изображение рациональных чисел на координатной оси. Глава 3. Рациональные числа - номер 617, страница 120.

Условие.

617. Отрезок, соединяющий точки 0 и 1 на координатной оси, разделили пополам — получили два отрезка. Правый отрезок разделили пополам — получили ещё два отрезка. Правый из них разделили пополам и т. д. Запишите координаты пяти первых полученных таким образом точек. Определите без вычислений координаты следующих пяти таких точек.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Задача состоит в том, чтобы последовательно находить координаты точек, которые делят пополам отрезки. Процесс начинается с отрезка $[0, 1]$.

Запишите координаты пяти первых полученных таким образом точек

1. Делим отрезок $[0, 1]$ пополам. Координата первой точки — это середина отрезка, которая находится как среднее арифметическое его концов:
$p_1 = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}$.
Получаем два новых отрезка: $[0, \frac{1}{2}]$ и $[\frac{1}{2}, 1]$.

2. По условию, берём правый отрезок $[\frac{1}{2}, 1]$ и делим его пополам. Координата второй точки:
$p_2 = \frac{\frac{1}{2} + 1}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}$.

3. Новый правый отрезок — $[\frac{3}{4}, 1]$. Делим его пополам, чтобы найти третью точку:
$p_3 = \frac{\frac{3}{4} + 1}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8}$.

4. Следующий правый отрезок — $[\frac{7}{8}, 1]$. Делим его пополам для нахождения четвёртой точки:
$p_4 = \frac{\frac{7}{8} + 1}{2} = \frac{\frac{15}{8}}{2} = \frac{15}{16}$.

5. Последний правый отрезок для этого пункта — $[\frac{15}{16}, 1]$. Находим пятую точку:
$p_5 = \frac{\frac{15}{16} + 1}{2} = \frac{\frac{31}{16}}{2} = \frac{31}{32}$.

Таким образом, мы нашли координаты первых пяти точек.
Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, \frac{31}{32}$.

Определите без вычислений координаты следующих пяти таких точек

Чтобы определить следующие точки без прямых вычислений (нахождения середины отрезка), проанализируем полученную последовательность координат: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, \frac{31}{32}$.
Можно заметить чёткую закономерность:

• Знаменатель каждой следующей дроби является следующей степенью числа 2: $2, 4, 8, 16, 32, ...$ или $2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, ...$
• Числитель каждой дроби на единицу меньше её знаменателя.

Таким образом, координату n-й точки можно описать формулой: $p_n = \frac{2^n - 1}{2^n}$.
Используя эту закономерность, определим координаты следующих пяти точек:

6. Для шестой точки ($n=6$) знаменатель будет $2^6 = 64$. Координата: $\frac{63}{64}$.

7. Для седьмой точки ($n=7$) знаменатель будет $2^7 = 128$. Координата: $\frac{127}{128}$.

8. Для восьмой точки ($n=8$) знаменатель будет $2^8 = 256$. Координата: $\frac{255}{256}$.

9. Для девятой точки ($n=9$) знаменатель будет $2^9 = 512$. Координата: $\frac{511}{512}$.

10. Для десятой точки ($n=10$) знаменатель будет $2^{10} = 1024$. Координата: $\frac{1023}{1024}$.

Ответ: $\frac{63}{64}, \frac{127}{128}, \frac{255}{256}, \frac{511}{512}, \frac{1023}{1024}$.