Номер 613, страница 119 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.8. Изображение рациональных чисел на координатной оси. Глава 3. Рациональные числа - номер 613, страница 119.

Условие.

*613. На координатной оси отмечены точки с координатами: $0, a, b$. С помощью циркуля постройте точки с координатами: $-a, -b, a+b, a-b, b-a, -a-b$ (рис. 65).

Рис. 65

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

В основе всех построений лежит использование циркуля для измерения длины отрезка и откладывания этого отрезка от другой точки. Длина отрезка от начала координат (точки $0$) до точки с координатой $x$ равна $|x|$.

$-a$

Точка с координатой $-a$ является симметричной точке с координатой $a$ относительно начала координат (точки $0$). Расстояние от $0$ до $a$ равно расстоянию от $0$ до $-a$.

1. Устанавливаем раствор циркуля равным расстоянию от точки $0$ до точки $a$. Для этого ставим иглу циркуля в точку $0$, а грифель — в точку $a$.
2. Не меняя раствора циркуля, ставим иглу в точку $0$.
3. Проводим дугу, которая пересекает координатную ось слева от точки $0$.
4. Точка пересечения дуги с осью и будет искомой точкой с координатой $-a$.

Ответ: Точка с координатой $-a$ построена.

$-b$

Построение аналогично построению точки $-a$. Точка с координатой $-b$ симметрична точке с координатой $b$ относительно начала координат.

1. Устанавливаем раствор циркуля равным расстоянию от точки $0$ до точки $b$.
2. Не меняя раствора циркуля, ставим иглу в точку $0$.
3. Проводим дугу, которая пересекает координатную ось слева от точки $0$.
4. Точка пересечения дуги с осью и будет искомой точкой с координатой $-b$.

Ответ: Точка с координатой $-b$ построена.

$a+b$

Чтобы построить точку с координатой $a+b$, нужно к координате $a$ прибавить координату $b$. Геометрически это означает, что от точки $a$ нужно отложить вправо (в положительном направлении) отрезок длиной $b$.

1. Устанавливаем раствор циркуля равным расстоянию от точки $0$ до точки $b$ (это длина отрезка $b$).
2. Не меняя раствора циркуля, ставим иглу в точку $a$.
3. Проводим дугу, которая пересекает координатную ось справа от точки $a$.
4. Точка пересечения дуги с осью и будет искомой точкой с координатой $a+b$.

Ответ: Точка с координатой $a+b$ построена.

$a-b$

Чтобы построить точку с координатой $a-b$, нужно от координаты $a$ отнять координату $b$. Геометрически это означает, что от точки $a$ нужно отложить влево (в отрицательном направлении) отрезок длиной $b$. Так как по рисунку $a < b$, итоговая точка будет лежать левее начала координат.

1. Устанавливаем раствор циркуля равным расстоянию от точки $0$ до точки $b$ (длина отрезка $b$).
2. Не меняя раствора циркуля, ставим иглу в точку $a$.
3. Проводим дугу, которая пересекает координатную ось слева от точки $a$.
4. Точка пересечения дуги с осью и будет искомой точкой с координатой $a-b$.

Ответ: Точка с координатой $a-b$ построена.

$b-a$

Чтобы построить точку с координатой $b-a$, нужно от координаты $b$ отнять координату $a$. Геометрически это означает, что от точки $b$ нужно отложить влево (в отрицательном направлении) отрезок длиной $a$. Так как по рисунку $b > a$, итоговая точка будет лежать правее начала координат.

1. Устанавливаем раствор циркуля равным расстоянию от точки $0$ до точки $a$ (длина отрезка $a$).
2. Не меняя раствора циркуля, ставим иглу в точку $b$.
3. Проводим дугу, которая пересекает координатную ось слева от точки $b$.
4. Точка пересечения дуги с осью и будет искомой точкой с координатой $b-a$.

Ответ: Точка с координатой $b-a$ построена.

$-a-b$

Координату $-a-b$ можно представить как $-(a+b)$. Это означает, что точка с координатой $-a-b$ симметрична точке с координатой $a+b$ относительно начала координат. Другой способ — от точки $-a$ отложить влево отрезок длиной $b$. Воспользуемся вторым способом.

1. Сначала строим точку с координатой $-a$, как было описано выше.
2. Устанавливаем раствор циркуля равным расстоянию от точки $0$ до точки $b$ (длина отрезка $b$).
3. Не меняя раствора циркуля, ставим иглу в построенную точку $-a$.
4. Проводим дугу, которая пересекает координатную ось слева от точки $-a$.
5. Точка пересечения дуги с осью и будет искомой точкой с координатой $-a-b$.

Ответ: Точка с координатой $-a-b$ построена.