Страница 118 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

599. Найдите координату середины отрезка, соединяющего точки:

а) $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{3} $;

б) $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{4}{7} $;

в) $ 2\frac{1}{4} $ и $ \frac{5}{8} $;

г) $ 3\frac{1}{2} $ и $ 3\frac{1}{4} $.

Координата середины отрезка, концами которого являются точки с координатами $x_1$ и $x_2$, находится по формуле: $M = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

а) Найдем координату середины отрезка, соединяющего точки $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.

1. Сначала найдем сумму координат заданных точек:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

2. Теперь разделим полученную сумму на 2, чтобы найти координату середины:

$\frac{5}{6} \div 2 = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{12}$

Ответ: $\frac{5}{12}$.

б) Найдем координату середины отрезка, соединяющего точки $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$.

1. Найдем сумму координат:

$\frac{3}{5} + \frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{21}{35} + \frac{20}{35} = \frac{41}{35}$

2. Разделим сумму на 2:

$\frac{41}{35} \div 2 = \frac{41}{35} \cdot \frac{1}{2} = \frac{41}{70}$

Ответ: $\frac{41}{70}$.

в) Найдем координату середины отрезка, соединяющего точки $2\frac{1}{4}$ и $\frac{5}{8}$.

1. Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

2. Найдем сумму координат:

$\frac{9}{4} + \frac{5}{8} = \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5}{8} = \frac{18}{8} + \frac{5}{8} = \frac{23}{8}$

3. Разделим сумму на 2:

$\frac{23}{8} \div 2 = \frac{23}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{23}{16}$

Можно представить ответ в виде смешанного числа: $\frac{23}{16} = 1\frac{7}{16}$.

Ответ: $1\frac{7}{16}$.

г) Найдем координату середины отрезка, соединяющего точки $3\frac{1}{2}$ и $3\frac{1}{4}$.

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

$3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$

2. Найдем сумму координат:

$\frac{7}{2} + \frac{13}{4} = \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{13}{4} = \frac{14}{4} + \frac{13}{4} = \frac{27}{4}$

3. Разделим сумму на 2:

$\frac{27}{4} \div 2 = \frac{27}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{27}{8}$

Представим ответ в виде смешанного числа: $\frac{27}{8} = 3\frac{3}{8}$.

Ответ: $3\frac{3}{8}$.

600. Даны точки $A(2)$ и $B(2\frac{1}{2})$. Найдите координату точки $C$ — середины отрезка $AB$, координату точки $D$ — середины отрезка $CB$, координату точки $E$ — середины отрезка $CD$. Изобразите эти точки на координатной оси.

Для нахождения координаты середины отрезка необходимо найти среднее арифметическое координат его концов. Формула для нахождения координаты $x_M$ середины отрезка с концами в точках $x_1$ и $x_2$ выглядит так: $x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

Найдите координату точки C — середины отрезка AB

Даны точки $A(2)$ и $B(2\frac{1}{2})$. Координата точки C вычисляется как среднее арифметическое координат точек A и B.

$x_C = \frac{2 + 2\frac{1}{2}}{2} = \frac{4\frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{9}{2}}{2} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$

Таким образом, точка C имеет координату $2\frac{1}{4}$.

Ответ: $C(2\frac{1}{4})$.

Найдите координату точки D — середины отрезка CB

Теперь найдем координату точки D, которая является серединой отрезка CB. Используем координаты точек $C(2\frac{1}{4})$ и $B(2\frac{1}{2})$.

$x_D = \frac{2\frac{1}{4} + 2\frac{1}{2}}{2} = \frac{2\frac{1}{4} + 2\frac{2}{4}}{2} = \frac{4\frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{19}{4}}{2} = \frac{19}{8} = 2\frac{3}{8}$

Таким образом, точка D имеет координату $2\frac{3}{8}$.

Ответ: $D(2\frac{3}{8})$.

Найдите координату точки E — середины отрезка CD

Наконец, найдем координату точки E, середины отрезка CD. Используем координаты точек $C(2\frac{1}{4})$ и $D(2\frac{3}{8})$.

$x_E = \frac{2\frac{1}{4} + 2\frac{3}{8}}{2} = \frac{2\frac{2}{8} + 2\frac{3}{8}}{2} = \frac{4\frac{5}{8}}{2} = \frac{\frac{37}{8}}{2} = \frac{37}{16} = 2\frac{5}{16}$

Таким образом, точка E имеет координату $2\frac{5}{16}$.

Ответ: $E(2\frac{5}{16})$.

Изобразите эти точки на координатной оси

Для изображения точек на координатной оси расположим их в порядке возрастания их координат:

$A(2)$, $C(2\frac{1}{4} = 2.25)$, $E(2\frac{5}{16} = 2.3125)$, $D(2\frac{3}{8} = 2.375)$, $B(2\frac{1}{2} = 2.5)$.

Порядок точек на оси: A, C, E, D, B.

Ответ: Координаты точек: $A(2)$, $B(2\frac{1}{2})$, $C(2\frac{1}{4})$, $D(2\frac{3}{8})$, $E(2\frac{5}{16})$. Изображение на оси представлено выше.

601. Найдите координату точки B по координатам точки A и точки C — середины отрезка AB, если:

a) A (2), C (5);

б) $A \left(\frac{1}{2}\right), C (3);$

в) $A \left(\frac{1}{4}\right), C \left(\frac{2}{3}\right).$

Координата середины C отрезка AB вычисляется по формуле: $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$, где $x_A$ и $x_B$ — координаты точек A и B соответственно.

Чтобы найти координату точки B, выразим $x_B$ из этой формулы:

$2 \cdot x_C = x_A + x_B$

$x_B = 2 \cdot x_C - x_A$

Теперь решим задачу для каждого из заданных случаев, используя полученную формулу.

Даны координаты точек $A(2)$ и $C(5)$.

Подставляем известные координаты $x_A = 2$ и $x_C = 5$ в формулу:

$x_B = 2 \cdot 5 - 2 = 10 - 2 = 8$.

Ответ: B(8).

Даны координаты точек $A(\frac{1}{2})$ и $C(3)$.

Подставляем известные координаты $x_A = \frac{1}{2}$ и $x_C = 3$ в формулу:

$x_B = 2 \cdot 3 - \frac{1}{2} = 6 - \frac{1}{2} = \frac{12}{2} - \frac{1}{2} = \frac{11}{2}$.

Ответ: B($\frac{11}{2}$).

Даны координаты точек $A(\frac{1}{4})$ и $C(\frac{2}{3})$.

Подставляем известные координаты $x_A = \frac{1}{4}$ и $x_C = \frac{2}{3}$ в формулу:

$x_B = 2 \cdot \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{3} - \frac{1}{4}$.

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю 12:

$x_B = \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{16}{12} - \frac{3}{12} = \frac{13}{12}$.

Ответ: B($\frac{13}{12}$).

602. Найдите координаты точек, делящих отрезок $AB$ на три равные части, если:

a) $A(5)$, $B(9\frac{1}{2})$;

б) $A(\frac{1}{3})$, $B(\frac{2}{9})$;

в) $A(\frac{1}{2})$, $B(3\frac{1}{6})$.

Для нахождения координат точек, делящих отрезок $AB$ на три равные части, воспользуемся формулами деления отрезка в заданном отношении. Пусть искомые точки $C$ и $D$ расположены на отрезке $AB$ так, что $AC = CD = DB$.

Точка $C$, ближайшая к точке $A$, делит отрезок $AB$ в отношении $1:2$, и её координата $x_C$ вычисляется по формуле: $x_C = \frac{2x_A + x_B}{3}$.

Точка $D$, ближайшая к точке $B$, делит отрезок $AB$ в отношении $2:1$, и её координата $x_D$ вычисляется по формуле: $x_D = \frac{x_A + 2x_B}{3}$.

а) Даны точки $A(5)$ и $B(9\frac{1}{2})$.

Координаты концов отрезка: $x_A = 5$ и $x_B = 9\frac{1}{2} = 9.5$.

Найдем координату первой точки $C$:

$x_C = \frac{2 \cdot 5 + 9\frac{1}{2}}{3} = \frac{10 + 9.5}{3} = \frac{19.5}{3} = 6.5 = 6\frac{1}{2}$

Найдем координату второй точки $D$:

$x_D = \frac{5 + 2 \cdot 9\frac{1}{2}}{3} = \frac{5 + 2 \cdot \frac{19}{2}}{3} = \frac{5 + 19}{3} = \frac{24}{3} = 8$

Искомые точки имеют координаты $6\frac{1}{2}$ и $8$.

Ответ: $6\frac{1}{2}$ и $8$.

б) Даны точки $A(\frac{1}{3})$ и $B(\frac{2}{9})$.

Координаты концов отрезка: $x_A = \frac{1}{3}$ и $x_B = \frac{2}{9}$.

Найдем координату первой искомой точки (ближе к $A$):

$x_C = \frac{2 \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{9}}{3} = \frac{\frac{2}{3} + \frac{2}{9}}{3} = \frac{\frac{6}{9} + \frac{2}{9}}{3} = \frac{\frac{8}{9}}{3} = \frac{8}{27}$

Найдем координату второй искомой точки (ближе к $B$):

$x_D = \frac{\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{2}{9}}{3} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{4}{9}}{3} = \frac{\frac{3}{9} + \frac{4}{9}}{3} = \frac{\frac{7}{9}}{3} = \frac{7}{27}$

Так как $x_A = \frac{1}{3} = \frac{9}{27} > x_B = \frac{2}{9} = \frac{6}{27}$, точки на прямой расположены в порядке $B, D, C, A$. Координаты искомых точек - $\frac{7}{27}$ и $\frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{7}{27}$ и $\frac{8}{27}$.

в) Даны точки $A(\frac{1}{2})$ и $B(3\frac{1}{6})$.

Координаты концов отрезка: $x_A = \frac{1}{2}$ и $x_B = 3\frac{1}{6} = \frac{19}{6}$.

Найдем координату первой точки $C$:

$x_C = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} + 3\frac{1}{6}}{3} = \frac{1 + \frac{19}{6}}{3} = \frac{\frac{6}{6} + \frac{19}{6}}{3} = \frac{\frac{25}{6}}{3} = \frac{25}{18} = 1\frac{7}{18}$

Найдем координату второй точки $D$:

$x_D = \frac{\frac{1}{2} + 2 \cdot 3\frac{1}{6}}{3} = \frac{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{19}{6}}{3} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{19}{3}}{3} = \frac{\frac{3}{6} + \frac{38}{6}}{3} = \frac{\frac{41}{6}}{3} = \frac{41}{18} = 2\frac{5}{18}$

Искомые точки имеют координаты $1\frac{7}{18}$ и $2\frac{5}{18}$.

Ответ: $1\frac{7}{18}$ и $2\frac{5}{18}$.

603. Определите расстояние между точками:

а) $A \left(-3\frac{1}{2}\right)$ и $B (2)$;

б) $A (-4)$ и $B \left(-2\frac{1}{2}\right)$;

в) $A \left(-3\frac{1}{4}\right)$ и $B \left(-4\frac{1}{8}\right)$;

г) $A \left(-4\frac{7}{8}\right)$ и $B \left(-6\frac{1}{2}\right)$.

Чтобы найти расстояние между двумя точками на координатной прямой, нужно из координаты точки, которая находится правее, вычесть координату точки, которая находится левее. Также можно найти модуль разности их координат. Формула для нахождения расстояния $d$ между точками $A(x_1)$ и $B(x_2)$ выглядит так: $d = |x_2 - x_1|$.

а) A($-3\frac{1}{2}$) и B(2)

Координата точки A равна $-3\frac{1}{2}$, а координата точки B равна 2. Чтобы найти расстояние между ними, вычислим модуль разности их координат:

$d = |2 - (-3\frac{1}{2})| = |2 + 3\frac{1}{2}| = |5\frac{1}{2}| = 5\frac{1}{2}$.

Поскольку точки находятся по разные стороны от нуля, расстояние также можно найти, сложив их абсолютные величины (расстояния от нуля):

$|-3\frac{1}{2}| + |2| = 3\frac{1}{2} + 2 = 5\frac{1}{2}$.

Ответ: $5\frac{1}{2}$.

б) A($-4$) и B($-2\frac{1}{2}$)

Координата точки A равна -4, а координата точки B равна $-2\frac{1}{2}$. Так как $-2\frac{1}{2} > -4$, точка B находится правее точки A. Вычислим расстояние:

$d = |-2\frac{1}{2} - (-4)| = |-2\frac{1}{2} + 4| = |4 - 2\frac{1}{2}| = |1\frac{1}{2}| = 1\frac{1}{2}$.

Поскольку обе точки находятся по одну сторону от нуля, расстояние можно найти как разность их абсолютных величин:

$|-4| - |-2\frac{1}{2}| = 4 - 2\frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: $1\frac{1}{2}$.

в) A($-3\frac{1}{4}$) и B($-4\frac{1}{8}$)

Координата точки A равна $-3\frac{1}{4}$, а координата точки B равна $-4\frac{1}{8}$. Так как $-3\frac{1}{4} > -4\frac{1}{8}$, точка A находится правее точки B. Вычислим расстояние, приведя дроби к общему знаменателю 8:

$d = |-3\frac{1}{4} - (-4\frac{1}{8})| = |-3\frac{2}{8} + 4\frac{1}{8}| = |4\frac{1}{8} - 3\frac{2}{8}| = |3\frac{9}{8} - 3\frac{2}{8}| = |\frac{7}{8}| = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$.

г) A($-4\frac{7}{8}$) и B($-6\frac{1}{2}$)

Координата точки A равна $-4\frac{7}{8}$, а координата точки B равна $-6\frac{1}{2}$. Так как $-4\frac{7}{8} > -6\frac{1}{2}$, точка A находится правее точки B. Вычислим расстояние, приведя дроби к общему знаменателю 8:

$d = |-4\frac{7}{8} - (-6\frac{1}{2})| = |-4\frac{7}{8} + 6\frac{4}{8}| = |6\frac{4}{8} - 4\frac{7}{8}| = |5\frac{12}{8} - 4\frac{7}{8}| = |1\frac{5}{8}| = 1\frac{5}{8}$.

Ответ: $1\frac{5}{8}$.

Найдите среднее арифметическое чисел (604–606):

604. а) 4 и 6;

б) $\frac{1}{2}$ и 3;

в) $\frac{1}{2}$ и $1\frac{1}{8}$;

г) $2\frac{1}{4}$ и $\frac{2}{3}$.

Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел, нужно их сумму разделить на 2. Общая формула: $(a+b)/2$.

а) 4 и 6;

1. Находим сумму чисел:

$4 + 6 = 10$

2. Делим сумму на количество чисел (на 2):

$10 : 2 = 5$

Ответ: 5

б) $ \frac{1}{2} $ и 3;

1. Находим сумму чисел. Для этого представим число 3 в виде дроби со знаменателем 2:

$\frac{1}{2} + 3 = \frac{1}{2} + \frac{6}{2} = \frac{1+6}{2} = \frac{7}{2}$

2. Делим полученную сумму на 2:

$\frac{7}{2} : 2 = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{4}$

3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$

Ответ: $1\frac{3}{4}$

в) $ \frac{1}{2} $ и $ 1\frac{1}{8} $;

1. Находим сумму чисел. Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{8}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8}$

2. Приводим дроби к общему знаменателю 8:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8}$

3. Складываем дроби:

$\frac{4}{8} + \frac{9}{8} = \frac{4+9}{8} = \frac{13}{8}$

4. Делим полученную сумму на 2:

$\frac{13}{8} : 2 = \frac{13}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{13}{16}$

Ответ: $\frac{13}{16}$

г) $ 2\frac{1}{4} $ и $ \frac{2}{3} $.

1. Находим сумму чисел. Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

2. Приводим дроби $\frac{9}{4}$ и $\frac{2}{3}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 — это 12.

$\frac{9}{4} = \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{27}{12}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$

3. Складываем дроби:

$\frac{27}{12} + \frac{8}{12} = \frac{27+8}{12} = \frac{35}{12}$

4. Делим полученную сумму на 2:

$\frac{35}{12} : 2 = \frac{35}{12} \cdot \frac{1}{2} = \frac{35}{24}$

5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{35}{24} = 1\frac{11}{24}$

Ответ: $1\frac{11}{24}$

605. а) $\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{5}$;

б) $\frac{1}{4}$ и $-\frac{3}{5}$;

в) -16 и -8;

г) -16 и 8.

а) Чтобы сравнить числа $\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{5}$, нужно определить их знаки. Число $\frac{1}{3}$ является положительным, так как не имеет знака минус. Число $-\frac{1}{5}$ является отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Следовательно, $\frac{1}{3} > -\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{3} > -\frac{1}{5}$.

б) Сравним числа $\frac{1}{4}$ и $-\frac{3}{5}$. Число $\frac{1}{4}$ — положительное, а число $-\frac{3}{5}$ — отрицательное. По правилу сравнения чисел с разными знаками, положительное число всегда больше отрицательного. Таким образом, $\frac{1}{4} > -\frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{4} > -\frac{3}{5}$.

в) Для сравнения двух отрицательных чисел, $-16$ и $-8$, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Большим будет то число, модуль которого меньше.

Модуль числа $-16$ равен $|-16| = 16$.

Модуль числа $-8$ равен $|-8| = 8$.

Так как $8 < 16$, то число, которому соответствует меньший модуль, будет больше. Следовательно, $-8 > -16$.

Ответ: $-16 < -8$.

г) Сравним числа $-16$ и $8$. Число $-16$ является отрицательным, а число $8$ — положительным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного. Поэтому, $8 > -16$.

Ответ: $-16 < 8$.

606. а) $1, 3, 4;$

б) $-5, 8, 13;$

в) $10, 12, 14, 16;$

г) $-19, -9, 1, 11;$

д) $-2, 0, 2, 5, 10;$

е) $-2, -1, 0, 1, 2.$

а)
Чтобы определить, является ли последовательность 1, 3, 4 арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность между соседними членами постоянной.
Найдем разность между вторым и первым членами: $a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2$.
Найдем разность между третьим и вторым членами: $a_3 - a_2 = 4 - 3 = 1$.
Поскольку разности не равны ($2 \neq 1$), данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: Последовательность не является арифметической прогрессией.

б)
Проверим последовательность -5, 8, 13. Найдем разность между соседними членами.
Разность между вторым и первым членами: $a_2 - a_1 = 8 - (-5) = 8 + 5 = 13$.
Разность между третьим и вторым членами: $a_3 - a_2 = 13 - 8 = 5$.
Так как разности не равны ($13 \neq 5$), данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: Последовательность не является арифметической прогрессией.

в)
Проверим последовательность 10, 12, 14, 16. Найдем разность между соседними членами.
Разность между вторым и первым членами: $a_2 - a_1 = 12 - 10 = 2$.
Разность между третьим и вторым членами: $a_3 - a_2 = 14 - 12 = 2$.
Разность между четвертым и третьим членами: $a_4 - a_3 = 16 - 14 = 2$.
Разность между всеми соседними членами постоянна и равна 2. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=2$.
Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = 2$.

г)
Проверим последовательность -19, -9, 1, 11. Найдем разность между соседними членами.
Разность между вторым и первым членами: $a_2 - a_1 = -9 - (-19) = -9 + 19 = 10$.
Разность между третьим и вторым членами: $a_3 - a_2 = 1 - (-9) = 1 + 9 = 10$.
Разность между четвертым и третьим членами: $a_4 - a_3 = 11 - 1 = 10$.
Разность между всеми соседними членами постоянна и равна 10. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=10$.
Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = 10$.

д)
Проверим последовательность -2, 0, 2, 5, 10. Найдем разность между соседними членами.
Разность между вторым и первым членами: $a_2 - a_1 = 0 - (-2) = 2$.
Разность между третьим и вторым членами: $a_3 - a_2 = 2 - 0 = 2$.
Разность между четвертым и третьим членами: $a_4 - a_3 = 5 - 2 = 3$.
Поскольку уже на этом шаге мы получили другую разность ($2 \neq 3$), можно заключить, что последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: Последовательность не является арифметической прогрессией.

е)
Проверим последовательность -2, -1, 0, 1, 2. Найдем разность между соседними членами.
Разность между вторым и первым членами: $a_2 - a_1 = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1$.
Разность между третьим и вторым членами: $a_3 - a_2 = 0 - (-1) = 0 + 1 = 1$.
Разность между четвертым и третьим членами: $a_4 - a_3 = 1 - 0 = 1$.
Разность между пятым и четвертым членами: $a_5 - a_4 = 2 - 1 = 1$.
Разность между всеми соседними членами постоянна и равна 1. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=1$.
Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = 1$.

607. Определите координату середины отрезка $AB$, если:

а) $A(-4)$, $B(-1)$;

б) $A(-8)$, $B(3)$;

в) $A\left(-\frac{7}{10}\right)$, $B\left(-\frac{1}{10}\right)$;

г) $A\left(-\frac{1}{3}\right)$, $B\left(\frac{1}{6}\right)$.

Координата середины отрезка находится как среднее арифметическое координат его концов. Если даны точки $A(x_1)$ и $B(x_2)$, то координата $M$ середины отрезка $AB$ вычисляется по формуле: $M = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

а) $A (-4)$, $B (-1)$
Подставляем координаты точек в формулу:
$M = \frac{-4 + (-1)}{2} = \frac{-5}{2} = -2,5$.
Ответ: -2,5.

б) $A (-8)$, $B (3)$
Подставляем координаты точек в формулу:
$M = \frac{-8 + 3}{2} = \frac{-5}{2} = -2,5$.
Ответ: -2,5.

в) $A (-\frac{7}{10})$, $B (-\frac{1}{10})$
Подставляем координаты точек в формулу:
$M = \frac{-\frac{7}{10} + (-\frac{1}{10})}{2} = \frac{-\frac{7+1}{10}}{2} = \frac{-\frac{8}{10}}{2} = -\frac{8}{10 \cdot 2} = -\frac{8}{20} = -\frac{2}{5} = -0,4$.
Ответ: -0,4.

г) $A (-\frac{1}{3})$, $B (\frac{1}{6})$
Подставляем координаты точек в формулу. Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю 6.
$-\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = -\frac{2}{6}$.
Теперь выполним вычисление:
$M = \frac{-\frac{2}{6} + \frac{1}{6}}{2} = \frac{\frac{-2+1}{6}}{2} = \frac{-\frac{1}{6}}{2} = -\frac{1}{6 \cdot 2} = -\frac{1}{12}$.
Ответ: $-\frac{1}{12}$.

608. Точка C – середина отрезка AB. Определите координату точки B, если:

а) $A (-2)$, $C (1);$

б) $A (-5)$, $C (-1);$

в) $A \left(-\frac{3}{10}\right)$, $C \left(\frac{9}{10}\right);$

г) $A (0)$, $C \left(\frac{12}{13}\right).$

Для решения задачи используется формула координаты середины отрезка. Если точка $C$ с координатой $x_C$ является серединой отрезка $AB$, концы которого имеют координаты $A(x_A)$ и $B(x_B)$, то её координата вычисляется по формуле:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

В задаче нам известны координаты точек $A$ и $C$, а требуется найти координату точки $B$. Для этого выразим $x_B$ из приведённой выше формулы. Сначала умножим обе части уравнения на 2:

$2x_C = x_A + x_B$

Затем перенесём $x_A$ в левую часть уравнения:

$x_B = 2x_C - x_A$

Теперь, используя эту формулу, решим каждый подпункт.

а) Даны координаты $A(-2)$ и $C(1)$.

Подставим значения $x_A = -2$ и $x_C = 1$ в нашу формулу:

$x_B = 2 \cdot 1 - (-2) = 2 + 2 = 4$.

Таким образом, координата точки $B$ равна 4.
Ответ: $B(4)$.

б) Даны координаты $A(-5)$ и $C(-1)$.

Подставим значения $x_A = -5$ и $x_C = -1$ в формулу:

$x_B = 2 \cdot (-1) - (-5) = -2 + 5 = 3$.

Таким образом, координата точки $B$ равна 3.
Ответ: $B(3)$.

в) Даны координаты $A(-\frac{3}{10})$ и $C(\frac{9}{10})$.

Подставим значения $x_A = -\frac{3}{10}$ и $x_C = \frac{9}{10}$ в формулу:

$x_B = 2 \cdot \frac{9}{10} - (-\frac{3}{10}) = \frac{18}{10} + \frac{3}{10} = \frac{21}{10}$.

Таким образом, координата точки $B$ равна $\frac{21}{10}$.
Ответ: $B(\frac{21}{10})$.

г) Даны координаты $A(0)$ и $C(\frac{12}{13})$.

Подставим значения $x_A = 0$ и $x_C = \frac{12}{13}$ в формулу:

$x_B = 2 \cdot \frac{12}{13} - 0 = \frac{24}{13}$.

Таким образом, координата точки $B$ равна $\frac{24}{13}$.
Ответ: $B(\frac{24}{13})$.