Страница 112 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (574-577):

574. а) $2\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{-75}$;
б) $1\frac{1}{3} \cdot \frac{-9}{16}$;
в) $3\frac{1}{3} \cdot \frac{-7}{-100}$;
г) $\frac{-5}{9} \cdot 4\frac{1}{2}$;
д) $\frac{-3}{5} \cdot 1\frac{1}{4}$;
е) $3\frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{24}{39}\right)$;
ж) $-\frac{3}{4} \cdot 2\frac{1}{5}$;
з) $2\frac{1}{7} \cdot \left(-\frac{14}{15}\right)$;
и) $3\frac{1}{7} \cdot \left(-\frac{5}{11}\right)$.

а) $2\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{-75}$
Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$.
Дробь $\frac{2}{-75}$ равна $-\frac{2}{75}$.
Теперь выполним умножение, перемножая числители и знаменатели: $\frac{5}{2} \cdot (-\frac{2}{75}) = -\frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 75}$.
Сократим общие множители 2 в числителе и знаменателе: $-\frac{5 \cdot \sout{2}}{\sout{2} \cdot 75} = -\frac{5}{75}$.
Теперь сократим дробь на 5: $-\frac{5 \div 5}{75 \div 5} = -\frac{1}{15}$.
Ответ: $-\frac{1}{15}$.

б) $1\frac{1}{3} \cdot \frac{-9}{16}$
Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.
Выполним умножение: $\frac{4}{3} \cdot (-\frac{9}{16}) = -\frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 16}$.
Сократим числитель и знаменатель. Сокращаем 4 и 16 на 4, а 9 и 3 на 3: $-\frac{\sout{4}^1 \cdot \sout{9}^3}{\sout{3}^1 \cdot \sout{16}^4} = -\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4} = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-\frac{3}{4}$.

в) $3\frac{1}{3} \cdot \frac{-7}{-100}$
Дробь $\frac{-7}{-100}$ равна $\frac{7}{100}$, так как деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное.
Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
Выполним умножение: $\frac{10}{3} \cdot \frac{7}{100} = \frac{10 \cdot 7}{3 \cdot 100}$.
Сократим 10 и 100 на 10: $\frac{\sout{10}^1 \cdot 7}{3 \cdot \sout{100}^{10}} = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 10} = \frac{7}{30}$.
Ответ: $\frac{7}{30}$.

г) $\frac{-5}{9} \cdot 4\frac{1}{2}$
Преобразуем смешанное число $4\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$.
Выполним умножение: $-\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{2} = -\frac{5 \cdot 9}{9 \cdot 2}$.
Сократим общий множитель 9: $-\frac{5 \cdot \sout{9}}{\sout{9} \cdot 2} = -\frac{5}{2}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$.
Ответ: $-2\frac{1}{2}$.

д) $-\frac{3}{5} \cdot 1\frac{1}{4}$
Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$.
Выполним умножение: $-\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = -\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 4}$.
Сократим общий множитель 5: $-\frac{3 \cdot \sout{5}}{\sout{5} \cdot 4} = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-\frac{3}{4}$.

е) $3\frac{1}{4} \cdot (-\frac{24}{39})$
Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$.
Выполним умножение: $\frac{13}{4} \cdot (-\frac{24}{39}) = -\frac{13 \cdot 24}{4 \cdot 39}$.
Сократим 13 и 39 на 13, а 24 и 4 на 4: $-\frac{\sout{13}^1 \cdot \sout{24}^6}{\sout{4}^1 \cdot \sout{39}^3} = -\frac{1 \cdot 6}{1 \cdot 3} = -\frac{6}{3}$.
Упростим полученную дробь: $-\frac{6}{3} = -2$.
Ответ: $-2$.

ж) $-\frac{3}{4} \cdot 2\frac{1}{5}$
Преобразуем смешанное число $2\frac{1}{5}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{11}{5}$.
Выполним умножение: $-\frac{3}{4} \cdot \frac{11}{5} = -\frac{3 \cdot 11}{4 \cdot 5} = -\frac{33}{20}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{33}{20} = -1\frac{13}{20}$.
Ответ: $-1\frac{13}{20}$.

з) $2\frac{1}{7} \cdot (-\frac{14}{15})$
Преобразуем смешанное число $2\frac{1}{7}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$.
Выполним умножение: $\frac{15}{7} \cdot (-\frac{14}{15}) = -\frac{15 \cdot 14}{7 \cdot 15}$.
Сократим 15 и 15, а 14 и 7 на 7: $-\frac{\sout{15}^1 \cdot \sout{14}^2}{\sout{7}^1 \cdot \sout{15}^1} = -\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} = -2$.
Ответ: $-2$.

и) $3\frac{1}{7} \cdot (-\frac{5}{11})$
Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{7}$ в неправильную дробь: $3\frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{22}{7}$.
Выполним умножение: $\frac{22}{7} \cdot (-\frac{5}{11}) = -\frac{22 \cdot 5}{7 \cdot 11}$.
Сократим 22 и 11 на 11: $-\frac{\sout{22}^2 \cdot 5}{7 \cdot \sout{11}^1} = -\frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 1} = -\frac{10}{7}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7}$.
Ответ: $-1\frac{3}{7}$.

575. а) $-\frac{1}{3} \cdot (-1);$

б) $-1 \cdot \frac{3}{5};$

в) $-1 \cdot \left(-1\frac{1}{2}\right);$

г) $-3\frac{1}{5} \cdot (-1);$

д) $-2 \cdot \frac{3}{4};$

е) $-1\frac{1}{2} \cdot (-4);$

ж) $-5 \cdot \frac{-3}{10};$

з) $-9 \cdot \left(-1\frac{1}{6}\right).$

а) При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Умножение на 1 не меняет число.
$-\frac{1}{3} \cdot (-1) = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) При умножении отрицательного числа на положительное получается отрицательное число.
$-1 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{3}{5}$.
Ответ: $-\frac{3}{5}$.

в) Сначала преобразуем смешанное число $-1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $-1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2}$.
При умножении двух отрицательных чисел ($-1$ и $-\frac{3}{2}$) получается положительное число.
$-1 \cdot \left(-1\frac{1}{2}\right) = -1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $1\frac{1}{2}$.

г) Преобразуем смешанное число $-3\frac{1}{5}$ в неправильную дробь: $-3\frac{1}{5} = -\frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = -\frac{16}{5}$.
При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число.
$-3\frac{1}{5} \cdot (-1) = -\frac{16}{5} \cdot (-1) = \frac{16}{5} = 3\frac{1}{5}$.
Ответ: $3\frac{1}{5}$.

д) При умножении отрицательного числа на положительное получается отрицательное число.
$-2 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{2 \cdot 3}{4} = -\frac{6}{4}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$-\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$.
Ответ: $-1\frac{1}{2}$.

е) Преобразуем смешанное число $-1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $-\frac{3}{2}$.
При умножении двух отрицательных чисел ($-1\frac{1}{2}$ и $-4$) получается положительное число.
$-1\frac{1}{2} \cdot (-4) = -\frac{3}{2} \cdot (-4) = \frac{3 \cdot 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
Ответ: $6$.

ж) При умножении двух отрицательных чисел ($-5$ и $-\frac{3}{10}$) получается положительное число.
$-5 \cdot \frac{-3}{10} = 5 \cdot \frac{3}{10} = \frac{5 \cdot 3}{10} = \frac{15}{10}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{15}{10} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $1\frac{1}{2}$.

з) Преобразуем смешанное число $-1\frac{1}{6}$ в неправильную дробь: $-1\frac{1}{6} = -\frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = -\frac{7}{6}$.
При умножении двух отрицательных чисел ($-9$ и $-1\frac{1}{6}$) получается положительное число.
$-9 \cdot \left(-1\frac{1}{6}\right) = -9 \cdot \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9 \cdot 7}{6} = \frac{63}{6}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{63}{6} = \frac{21}{2} = 10\frac{1}{2}$.
Ответ: $10\frac{1}{2}$.

576. а) $(-1\frac{1}{3}) \cdot \frac{9}{10}$;

б) $(-\frac{2}{7}) \cdot 3\frac{1}{2}$;

в) $(-5\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{32}{33})$;

г) $4\frac{1}{6} \cdot (-\frac{24}{25})$.

а)

Сначала представим смешанное число $-1\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель, оставляя знак минус: $-1\frac{1}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{4}{3}$. Теперь выполним умножение. Произведение отрицательного и положительного числа является отрицательным числом. $(-1\frac{1}{3}) \cdot \frac{9}{10} = (-\frac{4}{3}) \cdot \frac{9}{10} = -\frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 10}$. Перед тем как перемножить, сократим дробь. Числитель 4 и знаменатель 10 можно сократить на 2. Числитель 9 и знаменатель 3 можно сократить на 3. $-\frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 10} = -\frac{(4:2) \cdot (9:3)}{(3:3) \cdot (10:2)} = -\frac{2 \cdot 3}{1 \cdot 5} = -\frac{6}{5}$. Преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число: $-\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5}$.

Ответ: $-1\frac{1}{5}$

б)

Представим смешанное число $3\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$. Теперь выполним умножение. Произведение отрицательного и положительного числа отрицательно: $(-\frac{2}{7}) \cdot 3\frac{1}{2} = (-\frac{2}{7}) \cdot \frac{7}{2} = -\frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 2}$. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (2 и 7): $-\frac{\cancel{2} \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot \cancel{2}} = -1$.

Ответ: $-1$

в)

Представим смешанное число $-5\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби: $-5\frac{1}{2} = -(\frac{5 \cdot 2 + 1}{2}) = -\frac{11}{2}$. Выполним умножение. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом: $(-5\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{32}{33}) = (-\frac{11}{2}) \cdot (-\frac{32}{33}) = \frac{11 \cdot 32}{2 \cdot 33}$. Сократим дробь: числитель 11 и знаменатель 33 на 11; числитель 32 и знаменатель 2 на 2: $\frac{11 \cdot 32}{2 \cdot 33} = \frac{(11:11) \cdot (32:2)}{(2:2) \cdot (33:11)} = \frac{1 \cdot 16}{1 \cdot 3} = \frac{16}{3}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$.

Ответ: $5\frac{1}{3}$

г)

Представим смешанное число $4\frac{1}{6}$ в виде неправильной дроби: $4\frac{1}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{25}{6}$. Выполним умножение. Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно: $4\frac{1}{6} \cdot (-\frac{24}{25}) = \frac{25}{6} \cdot (-\frac{24}{25}) = -\frac{25 \cdot 24}{6 \cdot 25}$. Сократим одинаковые множители (25) в числителе и знаменателе. Также сократим 24 и 6 (24 делится на 6): $-\frac{\cancel{25} \cdot 24}{6 \cdot \cancel{25}} = -\frac{24}{6} = -4$.

Ответ: $-4$

577. а) $-5 \cdot \frac{2}{3};$

б) $7 \cdot \left(-1\frac{1}{2}\right);$

в) $(-3) \cdot \left(-1\frac{1}{4}\right);$

г) $\left(-2\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-1\frac{1}{7}\right);$

д) $\left(-1\frac{1}{3}\right) \cdot 2\frac{2}{5};$

е) $4\frac{1}{2} \cdot \left(-5\frac{1}{3}\right).$

а) Чтобы умножить отрицательное целое число на положительную дробь, нужно их перемножить, и результат будет отрицательным. Представим $-5$ как дробь $-\frac{5}{1}$.

$(-5) \cdot \frac{2}{3} = -\frac{5}{1} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 3} = -\frac{10}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3}$

Ответ: $-3\frac{1}{3}$

б) Чтобы умножить положительное целое число на отрицательное смешанное число, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь. Результат произведения будет отрицательным, так как множители имеют разные знаки.

$-1\frac{1}{2} = -(\frac{1 \cdot 2 + 1}{2}) = -\frac{3}{2}$

$7 \cdot (-1\frac{1}{2}) = 7 \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{7 \cdot 3}{2} = -\frac{21}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2}$

Ответ: $-10\frac{1}{2}$

в) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$-1\frac{1}{4} = -(\frac{1 \cdot 4 + 1}{4}) = -\frac{5}{4}$

$(-3) \cdot (-1\frac{1}{4}) = (-3) \cdot (-\frac{5}{4}) = 3 \cdot \frac{5}{4} = \frac{15}{4}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$

Ответ: $3\frac{3}{4}$

г) Произведение двух отрицательных смешанных чисел является положительным числом. Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби.

$-2\frac{3}{4} = -(\frac{2 \cdot 4 + 3}{4}) = -\frac{11}{4}$

$-1\frac{1}{7} = -(\frac{1 \cdot 7 + 1}{7}) = -\frac{8}{7}$

$(-2\frac{3}{4}) \cdot (-1\frac{1}{7}) = (-\frac{11}{4}) \cdot (-\frac{8}{7}) = \frac{11 \cdot 8}{4 \cdot 7}$

Сократим дробь перед умножением (8 и 4 на 4):

$\frac{11 \cdot 8}{4 \cdot 7} = \frac{11 \cdot 2}{1 \cdot 7} = \frac{22}{7}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{22}{7} = 3\frac{1}{7}$

Ответ: $3\frac{1}{7}$

д) Произведение отрицательного числа и положительного числа является отрицательным числом. Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби.

$-1\frac{1}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{4}{3}$

$2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$

$(-1\frac{1}{3}) \cdot 2\frac{2}{5} = (-\frac{4}{3}) \cdot \frac{12}{5} = -\frac{4 \cdot 12}{3 \cdot 5}$

Сократим дробь перед умножением (12 и 3 на 3):

$-\frac{4 \cdot 12}{3 \cdot 5} = -\frac{4 \cdot 4}{1 \cdot 5} = -\frac{16}{5}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{16}{5} = -3\frac{1}{5}$

Ответ: $-3\frac{1}{5}$

е) Произведение положительного числа и отрицательного числа является отрицательным числом. Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби.

$4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$

$-5\frac{1}{3} = -(\frac{5 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{16}{3}$

$4\frac{1}{2} \cdot (-5\frac{1}{3}) = \frac{9}{2} \cdot (-\frac{16}{3}) = -\frac{9 \cdot 16}{2 \cdot 3}$

Сократим дробь перед умножением (9 и 3 на 3; 16 и 2 на 2):

$-\frac{9 \cdot 16}{2 \cdot 3} = -\frac{(9:3) \cdot (16:2)}{(2:2) \cdot (3:3)} = -\frac{3 \cdot 8}{1 \cdot 1} = -24$

Ответ: $-24$

578. Вычислите, предварительно указав порядок действий:

а) $$(-\frac{2}{5}) \cdot 2\frac{1}{2} \cdot \left(-1\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\right);$$

б) $$(-\frac{2}{7}) \cdot \left(5\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\right) \cdot \frac{7}{9};$$

в) $$\frac{2}{9} \cdot \left(\frac{9}{2} \cdot \left(-1\frac{1}{5}\right)\right) \cdot (-2);$$

г) $$\left(3\frac{1}{3} \cdot 2\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{4}{5}\right).$$

а)

Порядок действий:

1. Выполнить умножение в скобках: $(-1\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2})$.
2. Выполнить умножение $(-\frac{2}{5}) \cdot 2\frac{1}{2}$.
3. Перемножить результаты первых двух действий.

Вычисления:

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$ и $-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$.

Так как все действия в выражении — это умножение, мы можем использовать сочетательный закон и перемножить все множители:

$(-\frac{2}{5}) \cdot 2\frac{1}{2} \cdot (-1\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}) = (-\frac{2}{5}) \cdot \frac{5}{2} \cdot (-\frac{4}{3}) \cdot \frac{1}{2}$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным, поэтому мы можем записать выражение без знаков минуса. Сгруппируем множители для удобства:

$(\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}) \cdot (\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Вычисляем первое произведение: $\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 2} = 1$.

Вычисляем второе произведение: $\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Окончательный результат: $1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

б)

Порядок действий:

1. Выполнить умножение в скобках: $(5\frac{1}{3} \cdot (-\frac{3}{4}))$.
2. Выполнять оставшиеся умножения слева направо.

Вычисления:

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$.

Выражение принимает вид: $(-\frac{2}{7}) \cdot (\frac{16}{3} \cdot (-\frac{3}{4})) \cdot \frac{7}{9}$.

1) Выполняем действие в скобках:

$\frac{16}{3} \cdot (-\frac{3}{4}) = -\frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 4} = -\frac{16}{4} = -4$.

2) Подставляем результат в выражение:

$(-\frac{2}{7}) \cdot (-4) \cdot \frac{7}{9}$.

3) Так как остались только операции умножения, можно перегруппировать множители для удобства:

$(-\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{9}) \cdot (-4) = (-\frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 9}) \cdot (-4) = (-\frac{2}{9}) \cdot (-4)$.

Произведение двух отрицательных чисел положительно:

$\frac{2}{9} \cdot 4 = \frac{8}{9}$.

Ответ: $\frac{8}{9}$

в)

Порядок действий:

1. Выполнить умножение в скобках: $(\frac{9}{2} \cdot (-1\frac{1}{5}))$.
2. Выполнять оставшиеся умножения слева направо.

Вычисления:

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{1}{5} = -\frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = -\frac{6}{5}$.

Выражение принимает вид: $\frac{2}{9} \cdot (\frac{9}{2} \cdot (-\frac{6}{5})) \cdot (-2)$.

Так как все операции являются умножением, мы можем использовать сочетательный закон и изменить порядок вычислений:

$(\frac{2}{9} \cdot \frac{9}{2}) \cdot (-\frac{6}{5}) \cdot (-2)$.

1) Вычислим произведение в новых скобках, которое равно произведению двух взаимно обратных чисел:

$\frac{2}{9} \cdot \frac{9}{2} = 1$.

2) Выражение упрощается до:

$1 \cdot (-\frac{6}{5}) \cdot (-2) = (-\frac{6}{5}) \cdot (-2)$.

3) Произведение двух отрицательных чисел положительно:

$\frac{6}{5} \cdot 2 = \frac{12}{5}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$.

Ответ: $2\frac{2}{5}$

г)

Порядок действий:

1. Выполнить умножение в первой паре скобок: $(3\frac{1}{3} \cdot 2\frac{1}{4})$.
2. Выполнить умножение во второй паре скобок: $((-\frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{5})$.
3. Перемножить результаты, полученные в шагах 1 и 2.

Вычисления:

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ и $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.

1) Вычисляем произведение в первых скобках:

$\frac{10}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{10 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{(5 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3)}{3 \cdot (2 \cdot 2)} = \frac{5 \cdot 3}{2} = \frac{15}{2}$.

2) Вычисляем произведение во вторых скобках:

$(-\frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{5} = -\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 5} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$.

3) Перемножаем полученные результаты:

$\frac{15}{2} \cdot (-\frac{2}{5}) = -\frac{15 \cdot 2}{2 \cdot 5} = -\frac{15}{5} = -3$.

Ответ: $-3$

579. Вычислите:

а) $2\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{7}{9}\right) \cdot \frac{9}{7}$;

б) $\left(-\frac{8}{9}\right) \cdot 2\frac{4}{17} \cdot \left(-\frac{9}{8}\right)$;

в) $2\frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-1\frac{1}{2}\right)$;

г) $\left(-\frac{4}{5}\right) \cdot 2\frac{1}{2} \cdot \left(-1\frac{1}{3}\right)$;

д) $5\frac{7}{9} \cdot \left(-\frac{8}{9}\right) \cdot \left(-2\frac{1}{4}\right)$;

е) $4\frac{1}{5} \cdot \left(3\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{5}{7}\right)\right)$;

а) $2\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{7}{9}\right) \cdot \frac{9}{7}$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Теперь перепишем выражение и выполним умножение. Так как в выражении один отрицательный множитель, результат будет отрицательным.

$\frac{7}{3} \cdot \left(-\frac{7}{9}\right) \cdot \frac{9}{7} = -\left(\frac{7}{3} \cdot \frac{7}{9} \cdot \frac{9}{7}\right)$

Сгруппируем и сократим дроби:

$-\left(\frac{7 \cdot 7 \cdot 9}{3 \cdot 9 \cdot 7}\right) = -\left(\frac{\cancel{7} \cdot 7 \cdot \cancel{9}}{3 \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{7}}\right) = -\frac{7}{3}$

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$-\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$

Ответ: $-2\frac{1}{3}$.

б) $\left(-\frac{8}{9}\right) \cdot 2\frac{4}{17} \cdot \left(-\frac{9}{8}\right)$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{4}{17} = \frac{2 \cdot 17 + 4}{17} = \frac{34+4}{17} = \frac{38}{17}$

Перепишем выражение. Так как в выражении два отрицательных множителя, результат будет положительным.

$\left(-\frac{8}{9}\right) \cdot \frac{38}{17} \cdot \left(-\frac{9}{8}\right) = \frac{8}{9} \cdot \frac{38}{17} \cdot \frac{9}{8}$

Сгруппируем и сократим дроби:

$\frac{8 \cdot 38 \cdot 9}{9 \cdot 17 \cdot 8} = \frac{\cancel{8} \cdot 38 \cdot \cancel{9}}{\cancel{9} \cdot 17 \cdot \cancel{8}} = \frac{38}{17}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{38}{17} = 2\frac{4}{17}$

Ответ: $2\frac{4}{17}$.

в) $2\frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-1\frac{1}{2}\right)$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Перепишем выражение. В произведении два отрицательных множителя, значит, результат будет положительным.

$\frac{9}{4} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Выполним умножение и сократим:

$\frac{9 \cdot 2 \cdot 3}{4 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{9 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3}}{4 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2}} = \frac{9}{4}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$

Ответ: $2\frac{1}{4}$.

г) $\left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(2\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-1\frac{1}{3}\right)$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Перепишем выражение. Два отрицательных множителя дают положительный результат.

$\left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{5}{2} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{3}$

Выполним умножение и сократим:

$\frac{4 \cdot 5 \cdot 4}{5 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{\cancel{4}^2 \cdot \cancel{5} \cdot 4}{\cancel{5} \cdot \cancel{2}_1 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 4}{3} = \frac{8}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$

Ответ: $2\frac{2}{3}$.

д) $5\frac{7}{9} \cdot \left(-\frac{8}{9}\right) \cdot \left(-2\frac{1}{4}\right)$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$5\frac{7}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{45+7}{9} = \frac{52}{9}$

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

Перепишем выражение. Два отрицательных множителя дают положительный результат.

$\frac{52}{9} \cdot \left(-\frac{8}{9}\right) \cdot \left(-\frac{9}{4}\right) = \frac{52}{9} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{4}$

Выполним умножение и сократим:

$\frac{52 \cdot 8 \cdot 9}{9 \cdot 9 \cdot 4} = \frac{\cancel{52}^{13} \cdot 8 \cdot \cancel{9}}{\cancel{9} \cdot 9 \cdot \cancel{4}_1} = \frac{13 \cdot 8}{9} = \frac{104}{9}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{104}{9} = 11\frac{5}{9}$

Ответ: $11\frac{5}{9}$.

е) $4\frac{1}{5} \cdot \left(3\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{5}{7}\right)\right)$

Сначала выполним действие в скобках. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

Теперь умножим:

$\frac{7}{2} \cdot \left(-\frac{5}{7}\right) = -\left(\frac{7 \cdot 5}{2 \cdot 7}\right) = -\left(\frac{\cancel{7} \cdot 5}{2 \cdot \cancel{7}}\right) = -\frac{5}{2}$

Подставим результат в исходное выражение. Преобразуем $4\frac{1}{5}$ в неправильную дробь:

$4\frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{21}{5}$

Теперь выполним оставшееся умножение:

$\frac{21}{5} \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = -\left(\frac{21 \cdot 5}{5 \cdot 2}\right) = -\left(\frac{21 \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot 2}\right) = -\frac{21}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2}$

Ответ: $-10\frac{1}{2}$.

580. Докажите, что:

a) $ \left(-\frac{1}{7}\right) \cdot \frac{8}{9} \cdot 1\frac{3}{4} > \frac{2}{-3} \cdot 2\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} $

б) $ \left(\frac{7}{12} - \frac{7}{18}\right) \cdot \left(-\frac{6}{7}\right) < \left(-\frac{25}{36}\right) : \frac{5}{-12} \cdot \frac{-1}{11} $

а)

Чтобы доказать неравенство $(-\frac{1}{7}) \cdot \frac{8}{9} \cdot 1\frac{3}{4} > \frac{2}{-3} \cdot 2\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}$, мы вычислим значения левой и правой частей и сравним их.

1. Вычислим значение левой части выражения. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$

Теперь выполним умножение:

$(-\frac{1}{7}) \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{4} = -\frac{1 \cdot 8 \cdot 7}{7 \cdot 9 \cdot 4}$

Сократим общие множители (7 в числителе и знаменателе, 8 и 4):

$-\frac{1 \cdot (2 \cdot 4) \cdot 7}{7 \cdot 9 \cdot 4} = -\frac{1 \cdot 2}{9} = -\frac{2}{9}$

2. Вычислим значение правой части выражения. Преобразуем смешанное число и отрицательную дробь:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

$\frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$

Теперь выполним умножение:

$(-\frac{2}{3}) \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{6} = -\frac{2 \cdot 9 \cdot 1}{3 \cdot 4 \cdot 6}$

Сократим общие множители:

$-\frac{2 \cdot (3 \cdot 3) \cdot 1}{3 \cdot (2 \cdot 2) \cdot 6} = -\frac{3}{2 \cdot 6} = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$

3. Сравним полученные результаты.

Нам нужно сравнить $-\frac{2}{9}$ и $-\frac{1}{4}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен 36.

$-\frac{2}{9} = -\frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = -\frac{8}{36}$

$-\frac{1}{4} = -\frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} = -\frac{9}{36}$

Сравниваем числители: $-8 > -9$. Следовательно, $-\frac{8}{36} > -\frac{9}{36}$, что означает $-\frac{2}{9} > -\frac{1}{4}$.

Таким образом, исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенство $(-\frac{1}{7}) \cdot \frac{8}{9} \cdot 1\frac{3}{4} > \frac{2}{-3} \cdot 2\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}$ верно, так как $-\frac{2}{9} > -\frac{1}{4}$.

б)

Чтобы доказать неравенство $(\frac{7}{12} - \frac{7}{18}) \cdot (-\frac{6}{7}) < (-\frac{25}{36}) : \frac{5}{-12} \cdot \frac{-1}{11}$, мы вычислим значения левой и правой частей и сравним их.

1. Вычислим значение левой части выражения. Сначала выполним вычитание в скобках. Найдем общий знаменатель для 12 и 18. НОК(12, 18) = 36.

$\frac{7}{12} - \frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 3}{36} - \frac{7 \cdot 2}{36} = \frac{21 - 14}{36} = \frac{7}{36}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{7}{36} \cdot (-\frac{6}{7}) = -\frac{7 \cdot 6}{36 \cdot 7} = -\frac{6}{36} = -\frac{1}{6}$

2. Вычислим значение правой части выражения. Выполним действия по порядку: сначала деление, затем умножение.

$(-\frac{25}{36}) : \frac{5}{-12} = (-\frac{25}{36}) : (-\frac{5}{12})$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$(-\frac{25}{36}) \cdot (-\frac{12}{5}) = \frac{25 \cdot 12}{36 \cdot 5}$

Сократим общие множители:

$\frac{(5 \cdot 5) \cdot 12}{(3 \cdot 12) \cdot 5} = \frac{5}{3}$

Теперь умножим результат на $\frac{-1}{11}$:

$\frac{5}{3} \cdot (-\frac{1}{11}) = -\frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 11} = -\frac{5}{33}$

3. Сравним полученные результаты.

Нам нужно сравнить $-\frac{1}{6}$ и $-\frac{5}{33}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. НОК(6, 33) = 66.

$-\frac{1}{6} = -\frac{1 \cdot 11}{6 \cdot 11} = -\frac{11}{66}$

$-\frac{5}{33} = -\frac{5 \cdot 2}{33 \cdot 2} = -\frac{10}{66}$

Сравниваем числители: $-11 < -10$. Следовательно, $-\frac{11}{66} < -\frac{10}{66}$, что означает $-\frac{1}{6} < -\frac{5}{33}$.

Таким образом, исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенство $(\frac{7}{12} - \frac{7}{18}) \cdot (-\frac{6}{7}) < (-\frac{25}{36}) : \frac{5}{-12} \cdot \frac{-1}{11}$ верно, так как $-\frac{1}{6} < -\frac{5}{33}$.