Номер 578, страница 112 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.7. Смешанные дроби произвольного знака. Глава 3. Рациональные числа - номер 578, страница 112.

Условие.

578. Вычислите, предварительно указав порядок действий:

а) $$(-\frac{2}{5}) \cdot 2\frac{1}{2} \cdot \left(-1\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\right);$$

б) $$(-\frac{2}{7}) \cdot \left(5\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\right) \cdot \frac{7}{9};$$

в) $$\frac{2}{9} \cdot \left(\frac{9}{2} \cdot \left(-1\frac{1}{5}\right)\right) \cdot (-2);$$

г) $$\left(3\frac{1}{3} \cdot 2\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{4}{5}\right).$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а)

Порядок действий:

1. Выполнить умножение в скобках: $(-1\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2})$.
2. Выполнить умножение $(-\frac{2}{5}) \cdot 2\frac{1}{2}$.
3. Перемножить результаты первых двух действий.

Вычисления:

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$ и $-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$.

Так как все действия в выражении — это умножение, мы можем использовать сочетательный закон и перемножить все множители:

$(-\frac{2}{5}) \cdot 2\frac{1}{2} \cdot (-1\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}) = (-\frac{2}{5}) \cdot \frac{5}{2} \cdot (-\frac{4}{3}) \cdot \frac{1}{2}$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным, поэтому мы можем записать выражение без знаков минуса. Сгруппируем множители для удобства:

$(\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}) \cdot (\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Вычисляем первое произведение: $\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 2} = 1$.

Вычисляем второе произведение: $\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Окончательный результат: $1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

б)

Порядок действий:

1. Выполнить умножение в скобках: $(5\frac{1}{3} \cdot (-\frac{3}{4}))$.
2. Выполнять оставшиеся умножения слева направо.

Вычисления:

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$.

Выражение принимает вид: $(-\frac{2}{7}) \cdot (\frac{16}{3} \cdot (-\frac{3}{4})) \cdot \frac{7}{9}$.

1) Выполняем действие в скобках:

$\frac{16}{3} \cdot (-\frac{3}{4}) = -\frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 4} = -\frac{16}{4} = -4$.

2) Подставляем результат в выражение:

$(-\frac{2}{7}) \cdot (-4) \cdot \frac{7}{9}$.

3) Так как остались только операции умножения, можно перегруппировать множители для удобства:

$(-\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{9}) \cdot (-4) = (-\frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 9}) \cdot (-4) = (-\frac{2}{9}) \cdot (-4)$.

Произведение двух отрицательных чисел положительно:

$\frac{2}{9} \cdot 4 = \frac{8}{9}$.

Ответ: $\frac{8}{9}$

в)

Порядок действий:

1. Выполнить умножение в скобках: $(\frac{9}{2} \cdot (-1\frac{1}{5}))$.
2. Выполнять оставшиеся умножения слева направо.

Вычисления:

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{1}{5} = -\frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = -\frac{6}{5}$.

Выражение принимает вид: $\frac{2}{9} \cdot (\frac{9}{2} \cdot (-\frac{6}{5})) \cdot (-2)$.

Так как все операции являются умножением, мы можем использовать сочетательный закон и изменить порядок вычислений:

$(\frac{2}{9} \cdot \frac{9}{2}) \cdot (-\frac{6}{5}) \cdot (-2)$.

1) Вычислим произведение в новых скобках, которое равно произведению двух взаимно обратных чисел:

$\frac{2}{9} \cdot \frac{9}{2} = 1$.

2) Выражение упрощается до:

$1 \cdot (-\frac{6}{5}) \cdot (-2) = (-\frac{6}{5}) \cdot (-2)$.

3) Произведение двух отрицательных чисел положительно:

$\frac{6}{5} \cdot 2 = \frac{12}{5}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$.

Ответ: $2\frac{2}{5}$

г)

Порядок действий:

1. Выполнить умножение в первой паре скобок: $(3\frac{1}{3} \cdot 2\frac{1}{4})$.
2. Выполнить умножение во второй паре скобок: $((-\frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{5})$.
3. Перемножить результаты, полученные в шагах 1 и 2.

Вычисления:

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ и $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.

1) Вычисляем произведение в первых скобках:

$\frac{10}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{10 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{(5 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3)}{3 \cdot (2 \cdot 2)} = \frac{5 \cdot 3}{2} = \frac{15}{2}$.

2) Вычисляем произведение во вторых скобках:

$(-\frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{5} = -\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 5} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$.

3) Перемножаем полученные результаты:

$\frac{15}{2} \cdot (-\frac{2}{5}) = -\frac{15 \cdot 2}{2 \cdot 5} = -\frac{15}{5} = -3$.

Ответ: $-3$