Номер 580, страница 112 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.7. Смешанные дроби произвольного знака. Глава 3. Рациональные числа - номер 580, страница 112.

Условие.

580. Докажите, что:

a) $ \left(-\frac{1}{7}\right) \cdot \frac{8}{9} \cdot 1\frac{3}{4} > \frac{2}{-3} \cdot 2\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} $

б) $ \left(\frac{7}{12} - \frac{7}{18}\right) \cdot \left(-\frac{6}{7}\right) < \left(-\frac{25}{36}\right) : \frac{5}{-12} \cdot \frac{-1}{11} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а)

Чтобы доказать неравенство $(-\frac{1}{7}) \cdot \frac{8}{9} \cdot 1\frac{3}{4} > \frac{2}{-3} \cdot 2\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}$, мы вычислим значения левой и правой частей и сравним их.

1. Вычислим значение левой части выражения. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$

Теперь выполним умножение:

$(-\frac{1}{7}) \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{4} = -\frac{1 \cdot 8 \cdot 7}{7 \cdot 9 \cdot 4}$

Сократим общие множители (7 в числителе и знаменателе, 8 и 4):

$-\frac{1 \cdot (2 \cdot 4) \cdot 7}{7 \cdot 9 \cdot 4} = -\frac{1 \cdot 2}{9} = -\frac{2}{9}$

2. Вычислим значение правой части выражения. Преобразуем смешанное число и отрицательную дробь:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

$\frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$

Теперь выполним умножение:

$(-\frac{2}{3}) \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{6} = -\frac{2 \cdot 9 \cdot 1}{3 \cdot 4 \cdot 6}$

Сократим общие множители:

$-\frac{2 \cdot (3 \cdot 3) \cdot 1}{3 \cdot (2 \cdot 2) \cdot 6} = -\frac{3}{2 \cdot 6} = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$

3. Сравним полученные результаты.

Нам нужно сравнить $-\frac{2}{9}$ и $-\frac{1}{4}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен 36.

$-\frac{2}{9} = -\frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = -\frac{8}{36}$

$-\frac{1}{4} = -\frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} = -\frac{9}{36}$

Сравниваем числители: $-8 > -9$. Следовательно, $-\frac{8}{36} > -\frac{9}{36}$, что означает $-\frac{2}{9} > -\frac{1}{4}$.

Таким образом, исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенство $(-\frac{1}{7}) \cdot \frac{8}{9} \cdot 1\frac{3}{4} > \frac{2}{-3} \cdot 2\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}$ верно, так как $-\frac{2}{9} > -\frac{1}{4}$.

б)

Чтобы доказать неравенство $(\frac{7}{12} - \frac{7}{18}) \cdot (-\frac{6}{7}) < (-\frac{25}{36}) : \frac{5}{-12} \cdot \frac{-1}{11}$, мы вычислим значения левой и правой частей и сравним их.

1. Вычислим значение левой части выражения. Сначала выполним вычитание в скобках. Найдем общий знаменатель для 12 и 18. НОК(12, 18) = 36.

$\frac{7}{12} - \frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 3}{36} - \frac{7 \cdot 2}{36} = \frac{21 - 14}{36} = \frac{7}{36}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{7}{36} \cdot (-\frac{6}{7}) = -\frac{7 \cdot 6}{36 \cdot 7} = -\frac{6}{36} = -\frac{1}{6}$

2. Вычислим значение правой части выражения. Выполним действия по порядку: сначала деление, затем умножение.

$(-\frac{25}{36}) : \frac{5}{-12} = (-\frac{25}{36}) : (-\frac{5}{12})$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$(-\frac{25}{36}) \cdot (-\frac{12}{5}) = \frac{25 \cdot 12}{36 \cdot 5}$

Сократим общие множители:

$\frac{(5 \cdot 5) \cdot 12}{(3 \cdot 12) \cdot 5} = \frac{5}{3}$

Теперь умножим результат на $\frac{-1}{11}$:

$\frac{5}{3} \cdot (-\frac{1}{11}) = -\frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 11} = -\frac{5}{33}$

3. Сравним полученные результаты.

Нам нужно сравнить $-\frac{1}{6}$ и $-\frac{5}{33}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. НОК(6, 33) = 66.

$-\frac{1}{6} = -\frac{1 \cdot 11}{6 \cdot 11} = -\frac{11}{66}$

$-\frac{5}{33} = -\frac{5 \cdot 2}{33 \cdot 2} = -\frac{10}{66}$

Сравниваем числители: $-11 < -10$. Следовательно, $-\frac{11}{66} < -\frac{10}{66}$, что означает $-\frac{1}{6} < -\frac{5}{33}$.

Таким образом, исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенство $(\frac{7}{12} - \frac{7}{18}) \cdot (-\frac{6}{7}) < (-\frac{25}{36}) : \frac{5}{-12} \cdot \frac{-1}{11}$ верно, так как $-\frac{1}{6} < -\frac{5}{33}$.