Страница 110 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

564. Представьте отрицательную неправильную дробь в виде отрицательной смешанной дроби:

а) $-\frac{4}{3}$;

б) $-\frac{13}{5}$;

в) $-\frac{41}{15}$;

г) $-\frac{45}{16}$.

Чтобы представить отрицательную неправильную дробь в виде отрицательной смешанной дроби, нужно сначала представить ее модуль (то же самое число, но без знака минус) в виде смешанной дроби, а затем поставить перед полученным числом знак минус.

а)

Рассмотрим дробь $-\frac{4}{3}$.

1. Уберем знак минус и получим неправильную дробь $\frac{4}{3}$.

2. Выделим целую часть из этой дроби. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком:

$4 \div 3 = 1$ (остаток $1$).

Таким образом, целая часть равна $1$, числитель дробной части равен остатку $1$, а знаменатель остается прежним — $3$.

Получаем смешанную дробь: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.

3. Добавим знак минус перед полученной смешанной дробью:

$-\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$.

Ответ: $-1\frac{1}{3}$.

б)

Рассмотрим дробь $-\frac{13}{5}$.

1. Преобразуем модуль дроби $\frac{13}{5}$ в смешанное число. Разделим числитель на знаменатель с остатком:

$13 \div 5 = 2$ (остаток $3$).

Целая часть равна $2$, новый числитель — $3$, знаменатель — $5$.

Получаем смешанную дробь: $\frac{13}{5} = 2\frac{3}{5}$.

2. Поставим знак минус перед результатом:

$-\frac{13}{5} = -2\frac{3}{5}$.

Ответ: $-2\frac{3}{5}$.

в)

Рассмотрим дробь $-\frac{41}{15}$.

1. Выделим целую часть из дроби $\frac{41}{15}$. Разделим числитель на знаменатель с остатком:

$41 \div 15 = 2$ (остаток $11$), так как $2 \times 15 = 30$ и $41 - 30 = 11$.

Целая часть равна $2$, новый числитель — $11$, знаменатель — $15$.

Получаем смешанную дробь: $\frac{41}{15} = 2\frac{11}{15}$.

2. Поставим знак минус перед результатом:

$-\frac{41}{15} = -2\frac{11}{15}$.

Ответ: $-2\frac{11}{15}$.

г)

Рассмотрим дробь $-\frac{45}{16}$.

1. Выделим целую часть из дроби $\frac{45}{16}$. Разделим числитель на знаменатель с остатком:

$45 \div 16 = 2$ (остаток $13$), так как $2 \times 16 = 32$ и $45 - 32 = 13$.

Целая часть равна $2$, новый числитель — $13$, знаменатель — $16$.

Получаем смешанную дробь: $\frac{45}{16} = 2\frac{13}{16}$.

2. Поставим знак минус перед результатом:

$-\frac{45}{16} = -2\frac{13}{16}$.

Ответ: $-2\frac{13}{16}$.

565. Запишите частное в виде обыкновенной или смешанной дроби:

а) $\frac{-17}{-18}$

б) $\frac{13}{-25}$

в) $\frac{-19}{-5}$

г) $\frac{29}{-15}$

а) Частное двух чисел можно представить в виде дроби, где делимое является числителем, а делитель — знаменателем. При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным.
$ -17 : (-18) = \frac{-17}{-18} = \frac{17}{18} $
Это правильная обыкновенная дробь, так как числитель меньше знаменателя.
Ответ: $ \frac{17}{18} $

б) Представим частное в виде дроби. При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.
$ 13 : (-25) = \frac{13}{-25} = -\frac{13}{25} $
Это правильная обыкновенная дробь.
Ответ: $ -\frac{13}{25} $

в) Представим частное в виде дроби. При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным.
$ -19 : (-5) = \frac{-19}{-5} = \frac{19}{5} $
Полученная дробь является неправильной, так как числитель больше знаменателя. Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель с остатком: $19 \div 5 = 3$ и остаток $4$. Целая часть равна $3$, остаток становится новым числителем, а знаменатель остается прежним.
$ \frac{19}{5} = 3\frac{4}{5} $
Ответ: $ 3\frac{4}{5} $

г) Представим частное в виде дроби. При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.
$ 29 : (-15) = \frac{29}{-15} = -\frac{29}{15} $
Это неправильная дробь. Выделим целую часть: $29 \div 15 = 1$ и остаток $14$.
$ -\frac{29}{15} = -1\frac{14}{15} $
Ответ: $ -1\frac{14}{15} $

566. Сравните числа:

а) $ -\frac{1}{2} $ и $-1\frac{1}{2}$;

б) $ -\frac{3}{2} $ и $-1\frac{1}{4}$;

в) $-1\frac{1}{5}$ и $-1\frac{1}{6}$;

г) $ -\frac{12}{11} $ и $-1\frac{1}{13}$.

Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Большим будет то число, модуль которого меньше.

а) Сравним числа $-\frac{1}{2}$ и $-1\frac{1}{2}$.

Найдем модули этих чисел:

$|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$

$|-1\frac{1}{2}| = 1\frac{1}{2}$

Сравним модули: $\frac{1}{2} < 1\frac{1}{2}$.

Так как модуль числа $-\frac{1}{2}$ меньше модуля числа $-1\frac{1}{2}$, то число $-\frac{1}{2}$ больше, чем $-1\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2} > -1\frac{1}{2}$.

б) Сравним числа $-\frac{3}{2}$ и $-1\frac{1}{4}$.

Сначала преобразуем неправильную дробь $-\frac{3}{2}$ в смешанное число:

$-\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$

Теперь сравним числа $-1\frac{1}{2}$ и $-1\frac{1}{4}$.

Найдем модули этих чисел:

$|-1\frac{1}{2}| = 1\frac{1}{2}$

$|-1\frac{1}{4}| = 1\frac{1}{4}$

Сравним модули $1\frac{1}{2}$ и $1\frac{1}{4}$. У них одинаковые целые части, поэтому сравним дробные части: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{4}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 4: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.

Так как $\frac{2}{4} > \frac{1}{4}$, то $1\frac{1}{2} > 1\frac{1}{4}$.

Поскольку модуль числа $-1\frac{1}{2}$ больше модуля числа $-1\frac{1}{4}$, то число $-1\frac{1}{2}$ меньше, чем $-1\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{2} < -1\frac{1}{4}$.

в) Сравним числа $-1\frac{1}{5}$ и $-1\frac{1}{6}$.

Найдем модули этих чисел:

$|-1\frac{1}{5}| = 1\frac{1}{5}$

$|-1\frac{1}{6}| = 1\frac{1}{6}$

Сравним модули $1\frac{1}{5}$ и $1\frac{1}{6}$. У них одинаковые целые части, поэтому сравним дробные части: $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $5 < 6$, то $\frac{1}{5} > \frac{1}{6}$.

Следовательно, $1\frac{1}{5} > 1\frac{1}{6}$.

Так как модуль числа $-1\frac{1}{5}$ больше модуля числа $-1\frac{1}{6}$, то число $-1\frac{1}{5}$ меньше, чем $-1\frac{1}{6}$.

Ответ: $-1\frac{1}{5} < -1\frac{1}{6}$.

г) Сравним числа $-\frac{12}{11}$ и $-1\frac{1}{13}$.

Сначала преобразуем неправильную дробь $-\frac{12}{11}$ в смешанное число:

$-\frac{12}{11} = -1\frac{1}{11}$

Теперь сравним числа $-1\frac{1}{11}$ и $-1\frac{1}{13}$.

Найдем модули этих чисел:

$|-1\frac{1}{11}| = 1\frac{1}{11}$

$|-1\frac{1}{13}| = 1\frac{1}{13}$

Сравним модули $1\frac{1}{11}$ и $1\frac{1}{13}$. У них одинаковые целые части, поэтому сравним дробные части: $\frac{1}{11}$ и $\frac{1}{13}$.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $11 < 13$, то $\frac{1}{11} > \frac{1}{13}$.

Следовательно, $1\frac{1}{11} > 1\frac{1}{13}$.

Поскольку модуль числа $-1\frac{1}{11}$ больше модуля числа $-1\frac{1}{13}$, то число $-1\frac{1}{11}$ меньше, чем $-1\frac{1}{13}$.

Ответ: $-\frac{12}{11} < -1\frac{1}{13}$.