Страница 104 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Выполните действия (523–525):

523. a) $75 \cdot (-64);$

б) $(-57) \cdot (-129);$

в) $(-144) \cdot 55;$

г) $912 : (-48);$

д) $(-1596) : 57;$

е) $(-2701) : (-37).$

а) $75 \cdot (-64)$

При умножении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным. Чтобы найти произведение, нужно перемножить модули этих чисел.

$|75| \cdot |-64| = 75 \cdot 64 = 4800$

Следовательно, $75 \cdot (-64) = -4800$.

Ответ: $-4800$

б) $(-57) \cdot (-129)$

При умножении двух отрицательных чисел, результат будет положительным. Чтобы найти произведение, нужно перемножить модули этих чисел.

$|-57| \cdot |-129| = 57 \cdot 129 = 7353$

Следовательно, $(-57) \cdot (-129) = 7353$.

Ответ: $7353$

в) $(-144) \cdot 55$

При умножении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным. Чтобы найти произведение, нужно перемножить модули этих чисел.

$|-144| \cdot |55| = 144 \cdot 55 = 7920$

Следовательно, $(-144) \cdot 55 = -7920$.

Ответ: $-7920$

г) $912 : (-48)$

При делении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным. Чтобы найти частное, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.

$|912| : |-48| = 912 : 48 = 19$

Следовательно, $912 : (-48) = -19$.

Ответ: $-19$

д) $(-1596) : 57$

При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным. Чтобы найти частное, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.

$|-1596| : |57| = 1596 : 57 = 28$

Следовательно, $(-1596) : 57 = -28$.

Ответ: $-28$

е) $(-2701) : (-37)$

При делении двух отрицательных чисел, результат будет положительным. Чтобы найти частное, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.

$|-2701| : |-37| = 2701 : 37 = 73$

Следовательно, $(-2701) : (-37) = 73$.

Ответ: $73$

524. а) $161\;784 \div (-321);$

В) $-4\;101\;630 \div (-507);$

б) $-2\;164\;320 \div 432;$

Г) $-1\;936\;980 \div (-918).$

а) $161 784 : (-321)$
Чтобы разделить два числа с разными знаками, необходимо разделить их модули и перед полученным результатом поставить знак «минус».
$|161 784| : |-321| = 161 784 : 321$
Выполним деление столбиком:
1. Делим $1617$ на $321$. Ближайшее произведение $321 \times 5 = 1605$. Записываем $5$ в частное. Остаток: $1617 - 1605 = 12$.
2. Сносим следующую цифру $8$, получаем $128$. Так как $128 < 321$, записываем $0$ в частное.
3. Сносим следующую цифру $4$, получаем $1284$. Делим $1284$ на $321$. Получаем $4$, так как $321 \times 4 = 1284$. Записываем $4$ в частное. Остаток: $1284 - 1284 = 0$.
Таким образом, $161 784 : 321 = 504$.
Поскольку мы делим положительное число на отрицательное, результат будет отрицательным.
$161 784 : (-321) = -504$.
Ответ: -504

б) $-2 164 320 : 432$
Чтобы разделить два числа с разными знаками, необходимо разделить их модули и перед полученным результатом поставить знак «минус».
$|-2 164 320| : |432| = 2 164 320 : 432$
Выполним деление столбиком:
1. Делим $2164$ на $432$. Ближайшее произведение $432 \times 5 = 2160$. Записываем $5$ в частное. Остаток: $2164 - 2160 = 4$.
2. Сносим следующую цифру $3$, получаем $43$. Так как $43 < 432$, записываем $0$ в частное.
3. Сносим следующую цифру $2$, получаем $432$. Делим $432$ на $432$. Получаем $1$, так как $432 \times 1 = 432$. Записываем $1$ в частное. Остаток: $432 - 432 = 0$.
4. Оставшийся в делимом $0$ переносим в частное.
Таким образом, $2 164 320 : 432 = 5010$.
Поскольку мы делим отрицательное число на положительное, результат будет отрицательным.
$-2 164 320 : 432 = -5010$.
Ответ: -5010

в) $-4 101 630 : (-507)$
Чтобы разделить два отрицательных числа, нужно разделить их модули. Результат будет положительным.
$|-4 101 630| : |-507| = 4 101 630 : 507$
Выполним деление столбиком:
1. Делим $4101$ на $507$. Ближайшее произведение $507 \times 8 = 4056$. Записываем $8$ в частное. Остаток: $4101 - 4056 = 45$.
2. Сносим следующую цифру $6$, получаем $456$. Так как $456 < 507$, записываем $0$ в частное.
3. Сносим следующую цифру $3$, получаем $4563$. Делим $4563$ на $507$. Получаем $9$, так как $507 \times 9 = 4563$. Записываем $9$ в частное. Остаток: $4563 - 4563 = 0$.
4. Оставшийся в делимом $0$ переносим в частное.
Таким образом, $4 101 630 : 507 = 8090$.
Поскольку мы делим отрицательное число на отрицательное, результат будет положительным.
$-4 101 630 : (-507) = 8090$.
Ответ: 8090

г) $-1 936 980 : (-918)$
Чтобы разделить два отрицательных числа, нужно разделить их модули. Результат будет положительным.
$|-1 936 980| : |-918| = 1 936 980 : 918$
Выполним деление столбиком:
1. Делим $1936$ на $918$. Ближайшее произведение $918 \times 2 = 1836$. Записываем $2$ в частное. Остаток: $1936 - 1836 = 100$.
2. Сносим следующую цифру $9$, получаем $1009$. Делим $1009$ на $918$. Получаем $1$, так как $918 \times 1 = 918$. Записываем $1$ в частное. Остаток: $1009 - 918 = 91$.
3. Сносим следующую цифру $8$, получаем $918$. Делим $918$ на $918$. Получаем $1$, так как $918 \times 1 = 918$. Записываем $1$ в частное. Остаток: $918 - 918 = 0$.
4. Оставшийся в делимом $0$ переносим в частное.
Таким образом, $1 936 980 : 918 = 2110$.
Поскольку мы делим отрицательное число на отрицательное, результат будет положительным.
$-1 936 980 : (-918) = 2110$.
Ответ: 2110

525. а) $\frac{34}{35} : \frac{51}{55};$

б) $\frac{37}{38} \cdot \frac{57}{148};$

в) $\frac{54}{125} \cdot 35;$

г) $\frac{115}{116} : 62;$

д) $\frac{351}{625} \cdot \frac{250}{182};$

е) $99 : \frac{143}{120}.$

а) $\frac{34}{35} : \frac{51}{55}$
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):
$\frac{34}{35} : \frac{51}{55} = \frac{34}{35} \cdot \frac{55}{51}$
Для упрощения вычисления сократим дроби перед умножением. Разложим числа на множители:
$34 = 2 \cdot 17$
$35 = 5 \cdot 7$
$55 = 5 \cdot 11$
$51 = 3 \cdot 17$
Подставим множители в выражение и сократим общие множители (17 и 5):
$\frac{2 \cdot \cancel{17}}{\cancel{5} \cdot 7} \cdot \frac{\cancel{5} \cdot 11}{3 \cdot \cancel{17}} = \frac{2 \cdot 11}{7 \cdot 3} = \frac{22}{21}$
Можно представить ответ в виде смешанного числа: $1\frac{1}{21}$.
Ответ: $\frac{22}{21}$.

б) $\frac{37}{38} \cdot \frac{57}{148}$
Разложим числители и знаменатели на множители, чтобы сократить дробь:
$37$ — простое число.
$38 = 2 \cdot 19$
$57 = 3 \cdot 19$
$148 = 4 \cdot 37$
Подставим множители в выражение и сократим общие множители (37 и 19):
$\frac{\cancel{37}}{2 \cdot \cancel{19}} \cdot \frac{3 \cdot \cancel{19}}{4 \cdot \cancel{37}} = \frac{3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}$
Ответ: $\frac{3}{8}$.

в) $\frac{54}{125} \cdot 35$
Представим целое число 35 в виде дроби $\frac{35}{1}$:
$\frac{54}{125} \cdot \frac{35}{1}$
Сократим дробь. Заметим, что 125 и 35 делятся на 5:
$125 : 5 = 25$
$35 : 5 = 7$
$\frac{54}{125} \cdot \frac{35}{1} = \frac{54 \cdot 7}{25}$
Перемножим числа в числителе:
$54 \cdot 7 = 378$
Получаем дробь $\frac{378}{25}$.
Можно представить ответ в виде смешанного числа: $15\frac{3}{25}$.
Ответ: $\frac{378}{25}$.

г) $\frac{115}{116} : 62$
Представим целое число 62 в виде дроби $\frac{62}{1}$ и заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{115}{116} : \frac{62}{1} = \frac{115}{116} \cdot \frac{1}{62}$
В данном случае общих множителей для сокращения нет, поэтому просто перемножим числители и знаменатели:
$116 \cdot 62 = 7192$
$\frac{115 \cdot 1}{116 \cdot 62} = \frac{115}{7192}$
Ответ: $\frac{115}{7192}$.

д) $\frac{351}{625} \cdot \frac{250}{182}$
Разложим числители и знаменатели на множители для сокращения:
$351 = 27 \cdot 13$
$625 = 25 \cdot 25 = 5^4$
$250 = 10 \cdot 25 = 2 \cdot 5 \cdot 5^2 = 2 \cdot 5^3$
$182 = 2 \cdot 91 = 2 \cdot 7 \cdot 13$
Подставим множители в выражение и сократим общие множители (13, 2 и $5^3$):
$\frac{27 \cdot \cancel{13}}{5^4} \cdot \frac{2 \cdot 5^3}{2 \cdot 7 \cdot 13} = \frac{27 \cdot \cancel{13}}{5 \cdot \cancel{5^3}} \cdot \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{5^3}}{\cancel{2} \cdot 7 \cdot \cancel{13}} = \frac{27}{5 \cdot 7} = \frac{27}{35}$
Ответ: $\frac{27}{35}$.

е) $99 : \frac{143}{120}$
Представим 99 в виде дроби $\frac{99}{1}$ и заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{99}{1} \cdot \frac{120}{143}$
Разложим числа 99 и 143 на множители, чтобы найти общий делитель. Оба числа делятся на 11:
$99 = 9 \cdot 11$
$143 = 13 \cdot 11$
Сократим дробь на 11:
$\frac{9 \cdot \cancel{11}}{1} \cdot \frac{120}{13 \cdot \cancel{11}} = \frac{9 \cdot 120}{13}$
Перемножим числа в числителе:
$9 \cdot 120 = 1080$
Получаем дробь $\frac{1080}{13}$.
Можно представить ответ в виде смешанного числа: $83\frac{1}{13}$.
Ответ: $\frac{1080}{13}$.

Сократите дробь (526–528):

526. а) $ \frac{36 \cdot (-112)}{126 \cdot (-63)} $

б) $ \frac{184 \cdot (-49)}{84 \cdot (-69)} $

в) $ \frac{(-315) \cdot 57}{114 \cdot (-108)} $

г) $ \frac{(-105) \cdot 84}{196 \cdot 125} $

д) $ \frac{(-111) \cdot (-9)}{78 \cdot 74} $

е) $ \frac{(-888) \cdot 55}{77 \cdot 999} $

а) $ \frac{36 \cdot (-112)}{126 \cdot (-63)} $

Сначала определим знак дроби. В числителе находится произведение чисел с разными знаками, результат будет отрицательным. В знаменателе также находится произведение чисел с разными знаками, результат будет отрицательным. При делении отрицательного числа на отрицательное, результат будет положительным.

$ \frac{36 \cdot (-112)}{126 \cdot (-63)} = \frac{36 \cdot 112}{126 \cdot 63} $

Теперь сократим дробь, находя общие множители у чисел в числителе и знаменателе. Сократим 36 и 126 на их наибольший общий делитель. НОД(36, 126) = 18. $ 36 = 2 \cdot 18 $, $ 126 = 7 \cdot 18 $.

$ \frac{2 \cdot 18 \cdot 112}{7 \cdot 18 \cdot 63} = \frac{2 \cdot 112}{7 \cdot 63} $

Сократим 112 и 7. $ 112 \div 7 = 16 $.

$ \frac{2 \cdot 16 \cdot 7}{7 \cdot 63} = \frac{2 \cdot 16}{63} $

Вычислим произведение в числителе: $ 2 \cdot 16 = 32 $.

$ \frac{32}{63} $

Числа 32 ($ 2^5 $) и 63 ($ 3^2 \cdot 7 $) не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому дробь несократимая.

Ответ: $ \frac{32}{63} $

б) $ \frac{184 \cdot (-49)}{84 \cdot (-69)} $

Знак дроби будет положительным, так как в числителе и знаменателе стоят отрицательные сомножители, которые при делении дают положительный результат.

$ \frac{184 \cdot (-49)}{84 \cdot (-69)} = \frac{184 \cdot 49}{84 \cdot 69} $

Сократим 184 и 69. Оба числа делятся на 23: $ 184 = 8 \cdot 23 $, $ 69 = 3 \cdot 23 $.

$ \frac{8 \cdot 23 \cdot 49}{84 \cdot 3 \cdot 23} = \frac{8 \cdot 49}{84 \cdot 3} $

Сократим 8 и 84. Оба числа делятся на 4: $ 8 = 2 \cdot 4 $, $ 84 = 21 \cdot 4 $.

$ \frac{2 \cdot 4 \cdot 49}{21 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 49}{21 \cdot 3} $

Сократим 49 и 21. Оба числа делятся на 7: $ 49 = 7 \cdot 7 $, $ 21 = 3 \cdot 7 $.

$ \frac{2 \cdot 7 \cdot 7}{3 \cdot 7 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 3} = \frac{14}{9} $

Ответ: $ \frac{14}{9} $

в) $ \frac{(-315) \cdot 57}{114 \cdot (-108)} $

Знак дроби будет положительным (частное двух отрицательных чисел).

$ \frac{(-315) \cdot 57}{114 \cdot (-108)} = \frac{315 \cdot 57}{114 \cdot 108} $

Сократим 57 и 114. $ 114 = 2 \cdot 57 $.

$ \frac{315 \cdot 57}{2 \cdot 57 \cdot 108} = \frac{315}{2 \cdot 108} = \frac{315}{216} $

Проверим делимость на 9. Сумма цифр числа 315 равна $ 3+1+5=9 $, значит, 315 делится на 9 ($ 315 = 35 \cdot 9 $). Сумма цифр числа 216 равна $ 2+1+6=9 $, значит, 216 делится на 9 ($ 216 = 24 \cdot 9 $).

$ \frac{35 \cdot 9}{24 \cdot 9} = \frac{35}{24} $

Ответ: $ \frac{35}{24} $

г) $ \frac{(-105) \cdot 84}{196 \cdot 125} $

В числителе отрицательное число, в знаменателе — положительное. Значит, вся дробь будет отрицательной.

$ \frac{(-105) \cdot 84}{196 \cdot 125} = - \frac{105 \cdot 84}{196 \cdot 125} $

Сократим 105 и 125. Оба числа оканчиваются на 5, значит, делятся на 5: $ 105 = 21 \cdot 5 $, $ 125 = 25 \cdot 5 $.

$ - \frac{21 \cdot 5 \cdot 84}{196 \cdot 25 \cdot 5} = - \frac{21 \cdot 84}{196 \cdot 25} $

Сократим 84 и 196. Оба числа делятся на 4: $ 84 = 21 \cdot 4 $, $ 196 = 49 \cdot 4 $.

$ - \frac{21 \cdot 21 \cdot 4}{49 \cdot 4 \cdot 25} = - \frac{21 \cdot 21}{49 \cdot 25} $

Теперь разложим 21 и 49 на множители: $ 21 = 3 \cdot 7 $, $ 49 = 7 \cdot 7 $.

$ - \frac{(3 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 7)}{(7 \cdot 7) \cdot 25} = - \frac{9 \cdot 49}{49 \cdot 25} = - \frac{9}{25} $

Ответ: $ - \frac{9}{25} $

д) $ \frac{(-111) \cdot (-9)}{78 \cdot 74} $

Произведение двух отрицательных чисел в числителе дает положительное число, поэтому вся дробь будет положительной.

$ \frac{(-111) \cdot (-9)}{78 \cdot 74} = \frac{111 \cdot 9}{78 \cdot 74} $

Разложим числа на множители, чтобы найти общие делители. $ 111 = 3 \cdot 37 $ и $ 74 = 2 \cdot 37 $.

$ \frac{3 \cdot 37 \cdot 9}{78 \cdot 2 \cdot 37} = \frac{3 \cdot 9}{78 \cdot 2} $

Сократим 3 и 78. $ 78 = 3 \cdot 26 $.

$ \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 26 \cdot 2} = \frac{9}{26 \cdot 2} = \frac{9}{52} $

Ответ: $ \frac{9}{52} $

е) $ \frac{(-888) \cdot 55}{77 \cdot 999} $

В числителе отрицательное число, в знаменателе — положительное. Значит, вся дробь будет отрицательной.

$ \frac{(-888) \cdot 55}{77 \cdot 999} = - \frac{888 \cdot 55}{77 \cdot 999} $

Заметим, что числа 888 и 999 имеют общий множитель 111: $ 888 = 8 \cdot 111 $, $ 999 = 9 \cdot 111 $.

$ - \frac{8 \cdot 111 \cdot 55}{77 \cdot 9 \cdot 111} = - \frac{8 \cdot 55}{77 \cdot 9} $

Числа 55 и 77 имеют общий множитель 11: $ 55 = 5 \cdot 11 $, $ 77 = 7 \cdot 11 $.

$ - \frac{8 \cdot 5 \cdot 11}{7 \cdot 11 \cdot 9} = - \frac{8 \cdot 5}{7 \cdot 9} $

Вычислим произведения в числителе и знаменателе.

$ - \frac{40}{63} $

Ответ: $ - \frac{40}{63} $

527. а) $\frac{(-1) \cdot 3}{6 \cdot (-4)}$;

б) $\frac{(-3) \cdot 4}{6 \cdot (-5)}$;

в) $\frac{(-4) \cdot 10}{(-30) \cdot 14}$;

г) $\frac{(-8) \cdot 18}{(-28) \cdot 6}$;

д) $\frac{(-12) \cdot (-5)}{(-21) \cdot 10}$;

е) $\frac{(-75) \cdot (-24)}{(-32) \cdot (-100)}$

а) Решим выражение $ \frac{(-1) \cdot 3}{6 \cdot (-4)} $.
Сначала определим знак дроби. В числителе один отрицательный множитель, и в знаменателе один отрицательный множитель. Общее количество отрицательных множителей равно двум (четное число), поэтому результат будет положительным.
$ \frac{(-1) \cdot 3}{6 \cdot (-4)} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 4} $.
Теперь сократим дробь. Можно сократить 3 в числителе и 6 в знаменателе на 3.
$ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $.
Получаем: $ \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8} $.
Ответ: $ \frac{1}{8} $.

б) Решим выражение $ \frac{(-3) \cdot 4}{6 \cdot (-5)} $.
Определим знак дроби. В числителе и знаменателе по одному отрицательному множителю. Всего их два (четное число), значит, результат будет положительным.
$ \frac{(-3) \cdot 4}{6 \cdot (-5)} = \frac{3 \cdot 4}{6 \cdot 5} $.
Сократим 3 и 6 на 3: $ \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 5} $.
Сократим 4 и 2 на 2: $ \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5} $.
Ответ: $ \frac{2}{5} $.

в) Решим выражение $ \frac{(-4) \cdot 10}{(-30) \cdot 14} $.
В числителе и знаменателе по одному отрицательному множителю. Общее число отрицательных множителей - два (четное), поэтому результат будет положительным.
$ \frac{(-4) \cdot 10}{(-30) \cdot 14} = \frac{4 \cdot 10}{30 \cdot 14} $.
Сократим 10 и 30 на 10: $ \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 14} = \frac{4}{3 \cdot 14} $.
Сократим 4 и 14 на 2: $ \frac{2}{3 \cdot 7} = \frac{2}{21} $.
Ответ: $ \frac{2}{21} $.

г) Решим выражение $ \frac{(-8) \cdot 18}{(-28) \cdot 6} $.
В числителе и знаменателе по одному отрицательному множителю. Итого два отрицательных множителя, результат будет положительным.
$ \frac{(-8) \cdot 18}{(-28) \cdot 6} = \frac{8 \cdot 18}{28 \cdot 6} $.
Сократим 18 и 6 на 6: $ \frac{8 \cdot 3}{28 \cdot 1} = \frac{8 \cdot 3}{28} $.
Сократим 8 и 28 на 4: $ \frac{2 \cdot 3}{7} = \frac{6}{7} $.
Ответ: $ \frac{6}{7} $.

д) Решим выражение $ \frac{(-12) \cdot (-5)}{(-21) \cdot 10} $.
В числителе два отрицательных множителя (произведение положительно), в знаменателе один отрицательный множитель (произведение отрицательно). Частное положительного и отрицательного чисел есть число отрицательное.
$ \frac{(-12) \cdot (-5)}{(-21) \cdot 10} = -\frac{12 \cdot 5}{21 \cdot 10} $.
Сократим 12 и 21 на 3: $ -\frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 10} $.
Сократим 5 и 10 на 5: $ -\frac{4 \cdot 1}{7 \cdot 2} = -\frac{4}{14} $.
Сократим 4 и 14 на 2: $ -\frac{2}{7} $.
Ответ: $ -\frac{2}{7} $.

е) Решим выражение $ \frac{(-75) \cdot (-24)}{(-32) \cdot (-100)} $.
В числителе два отрицательных множителя, их произведение положительно. В знаменателе два отрицательных множителя, их произведение также положительно. Частное двух положительных чисел положительно.
$ \frac{(-75) \cdot (-24)}{(-32) \cdot (-100)} = \frac{75 \cdot 24}{32 \cdot 100} $.
Сократим 75 и 100 на 25: $ \frac{3 \cdot 24}{32 \cdot 4} $.
Сократим 24 и 32 на 8: $ \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4} = \frac{9}{16} $.
Ответ: $ \frac{9}{16} $.

528. а) $ \frac{-3 \cdot 8 \cdot (-6)}{18 \cdot (-4)} $

б) $ \frac{-7 \cdot 16}{-14 \cdot (-2) \cdot (-10)} $

в) $ \frac{-2 \cdot (-3) \cdot (-6)}{-3 \cdot (-8) \cdot (-10)} $

г) $ \frac{-96 \cdot (-125)}{-75 \cdot (-128)} $

д) $ \frac{56 \cdot (-77)}{-121 \cdot (-49)} $

е) $ \frac{-128 \cdot (-92)}{-256 \cdot (-48)} $

а) $ \frac{-3 \cdot 8 \cdot (-6)}{18 \cdot (-4)} $
Сначала определим знак выражения. В числителе два отрицательных множителя, их произведение положительно ($(-)\cdot(-)=(+)$). В знаменателе один отрицательный множитель, поэтому знаменатель отрицателен. При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.
Теперь сократим дробь, не обращая внимания на знаки, так как итоговый знак мы уже определили:
$ \frac{3 \cdot 8 \cdot 6}{18 \cdot 4} $
Разложим числа на более простые множители для удобства сокращения. Заметим, что $18 = 3 \cdot 6$ и $8 = 2 \cdot 4$.
$ \frac{3 \cdot (2 \cdot 4) \cdot 6}{(3 \cdot 6) \cdot 4} = \frac{\cancel{3} \cdot 2 \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{6}}{\cancel{3} \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{4}} = 2 $
С учетом знака, результат равен -2.
Ответ: $-2$

б) $ \frac{-7 \cdot 16}{-14 \cdot (-2) \cdot (-10)} $
Определим знак. В числителе один минус, результат отрицательный. В знаменателе три минуса, результат отрицательный ($(-)\cdot(-)\cdot(-)=(-)$). При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным.
Сократим дробь:
$ \frac{7 \cdot 16}{14 \cdot 2 \cdot 10} $
Сокращаем 7 и 14 (на 7):
$ \frac{1 \cdot 16}{2 \cdot 2 \cdot 10} = \frac{16}{40} $
Сокращаем 16 и 40 (на 8):
$ \frac{16 \div 8}{40 \div 8} = \frac{2}{5} $
Ответ: $ \frac{2}{5} $

в) $ \frac{-2 \cdot (-3) \cdot (-6)}{-3 \cdot (-8) \cdot (-10)} $
Определим знак. В числителе три отрицательных множителя, результат отрицательный. В знаменателе также три отрицательных множителя, результат отрицательный. При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным.
Сократим дробь:
$ \frac{2 \cdot 3 \cdot 6}{3 \cdot 8 \cdot 10} $
Сокращаем общий множитель 3:
$ \frac{2 \cdot 6}{8 \cdot 10} = \frac{12}{80} $
Сокращаем дробь на 4:
$ \frac{12 \div 4}{80 \div 4} = \frac{3}{20} $
Ответ: $ \frac{3}{20} $

г) $ \frac{-96 \cdot (-125)}{-75 \cdot (-128)} $
Определим знак. В числителе два минуса (результат положительный). В знаменателе два минуса (результат положительный). При делении положительного числа на положительное результат будет положительным.
Разложим числа на множители для сокращения:
$ \frac{96 \cdot 125}{75 \cdot 128} = \frac{(3 \cdot 32) \cdot (5 \cdot 25)}{(3 \cdot 25) \cdot (4 \cdot 32)} $
Сокращаем общие множители 3, 32 и 25:
$ \frac{\cancel{3} \cdot \cancel{32} \cdot 5 \cdot \cancel{25}}{\cancel{3} \cdot \cancel{25} \cdot 4 \cdot \cancel{32}} = \frac{5}{4} $
Ответ: $ \frac{5}{4} $

д) $ \frac{56 \cdot (-77)}{-121 \cdot (-49)} $
Определим знак. В числителе один минус (результат отрицательный). В знаменателе два минуса (результат положительный). При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным.
Разложим числа на множители:
$ - \frac{56 \cdot 77}{121 \cdot 49} = - \frac{(8 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 11)}{(11 \cdot 11) \cdot (7 \cdot 7)} $
Сокращаем два множителя 7 и один множитель 11 в числителе и знаменателе:
$ - \frac{8 \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{11}}{11 \cdot \cancel{11} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{7}} = - \frac{8}{11} $
Ответ: $ -\frac{8}{11} $

е) $ \frac{-128 \cdot (-92)}{-256 \cdot (-48)} $
Определим знак. В числителе и знаменателе по два отрицательных множителя, значит и числитель, и знаменатель положительны. Итоговый результат будет положительным.
Сократим дробь:
$ \frac{128 \cdot 92}{256 \cdot 48} $
Заметим, что $256 = 2 \cdot 128$. Сократим на 128:
$ \frac{\cancel{128} \cdot 92}{(2 \cdot \cancel{128}) \cdot 48} = \frac{92}{2 \cdot 48} = \frac{92}{96} $
Теперь сократим дробь $\frac{92}{96}$ на их наибольший общий делитель, который равен 4 ($92 = 4 \cdot 23$; $96 = 4 \cdot 24$):
$ \frac{92 \div 4}{96 \div 4} = \frac{23}{24} $
Ответ: $ \frac{23}{24} $

529. Вычислите произведение по образцу:

$ \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \frac{2}{3} = \frac{-1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3} $

a) $ -\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{9}; $

б) $ -\frac{3}{8} \cdot \frac{-4}{5}; $

в) $ -\frac{9}{10} \cdot \frac{-1}{-2}; $

г) $ -\frac{7}{2} \cdot \frac{4}{-35}; $

д) $ -\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}; $

е) $ -\frac{7}{32} \cdot \frac{4}{-21}; $

ж) $ -\frac{2}{5} \cdot \left( -\frac{75}{2} \right); $

з) $ \frac{4}{3} \cdot \left( -\frac{9}{16} \right); $

и) $ -\frac{18}{5} \cdot \left( -\frac{4}{81} \right). $

а) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Перед умножением можно сократить числитель и знаменатель на общие множители.
$ \frac{-3}{7} \cdot \frac{5}{9} = \frac{-3 \cdot 5}{7 \cdot 9} = \frac{-3 \cdot 5}{7 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{-\cancel{3} \cdot 5}{7 \cdot \cancel{3} \cdot 3} = -\frac{5}{7 \cdot 3} = -\frac{5}{21} $
Ответ: $ -\frac{5}{21} $

б) При умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным.
$ \frac{-3}{8} \cdot \frac{-4}{5} = \frac{(-3) \cdot (-4)}{8 \cdot 5} = \frac{12}{40} = \frac{3 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{3}{10} $
Или, сокращая до умножения:
$ \frac{(-3) \cdot (-4)}{8 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{3 \cdot \cancel{4}}{2 \cdot \cancel{4} \cdot 5} = \frac{3}{10} $
Ответ: $ \frac{3}{10} $

в) Дробь $ \frac{-1}{-2} $ равна $ \frac{1}{2} $. Произведение отрицательного и положительного числа отрицательно.
$ \frac{-9}{10} \cdot \frac{-1}{-2} = \frac{-9}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{-9 \cdot 1}{10 \cdot 2} = \frac{-9}{20} = -\frac{9}{20} $
Ответ: $ -\frac{9}{20} $

г) При делении отрицательного числа на отрицательное (что происходит при умножении дробей с отрицательными знаками в числителе и знаменателе) результат будет положительным.
$ \frac{-7}{2} \cdot \frac{4}{-35} = \frac{(-7) \cdot 4}{2 \cdot (-35)} = \frac{7 \cdot 4}{2 \cdot 35} = \frac{7 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{\cancel{7} \cdot \cancel{2} \cdot 2}{\cancel{2} \cdot 5 \cdot \cancel{7}} = \frac{2}{5} $
Ответ: $ \frac{2}{5} $

д) Произведение отрицательного и положительного числа отрицательно.
$ \frac{-5}{6} \cdot \frac{3}{10} = \frac{-5 \cdot 3}{6 \cdot 10} = -\frac{5 \cdot 3}{(2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5)} = -\frac{\cancel{5} \cdot \cancel{3}}{2 \cdot \cancel{3} \cdot 2 \cdot \cancel{5}} = -\frac{1}{4} $
Ответ: $ -\frac{1}{4} $

е) Произведение двух отрицательных чисел (одна дробь отрицательная, у второй отрицательный знаменатель) положительно.
$ \frac{-7}{32} \cdot \frac{4}{-21} = \frac{(-7) \cdot 4}{32 \cdot (-21)} = \frac{7 \cdot 4}{32 \cdot 21} = \frac{7 \cdot 4}{(8 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 7)} = \frac{\cancel{7} \cdot \cancel{4}}{8 \cdot \cancel{4} \cdot 3 \cdot \cancel{7}} = \frac{1}{8 \cdot 3} = \frac{1}{24} $
Ответ: $ \frac{1}{24} $

ж) Произведение двух отрицательных чисел положительно.
$ -\frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{75}{2}\right) = \frac{2}{5} \cdot \frac{75}{2} = \frac{2 \cdot 75}{5 \cdot 2} = \frac{\cancel{2} \cdot (15 \cdot 5)}{5 \cdot \cancel{2}} = \frac{15 \cdot \cancel{5}}{\cancel{5}} = 15 $
Ответ: $ 15 $

з) Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно.
$ \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{9}{16}\right) = -\frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 16} = -\frac{4 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 4 \cdot 4} = -\frac{\cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot 3}{\cancel{3} \cdot \cancel{4} \cdot 4} = -\frac{3}{4} $
Ответ: $ -\frac{3}{4} $

и) Произведение двух отрицательных чисел положительно.
$ -\frac{18}{5} \cdot \left(-\frac{4}{81}\right) = \frac{18}{5} \cdot \frac{4}{81} = \frac{18 \cdot 4}{5 \cdot 81} = \frac{(2 \cdot 9) \cdot 4}{5 \cdot (9 \cdot 9)} = \frac{2 \cdot \cancel{9} \cdot 4}{5 \cdot \cancel{9} \cdot 9} = \frac{8}{45} $
Ответ: $ \frac{8}{45} $

Вычислите (530–531):

530. а) $-\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5};$

б) $\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{2}{9}\right);$

в) $-\frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{10}{3}\right);$

г) $-\frac{1}{7} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right);$

д) $\frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right);$

е) $-\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5}.$

а) При умножении отрицательной дроби на положительную получается отрицательная дробь. Чтобы умножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели.

$-\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = -\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Сократим числитель и знаменатель на 2:

$-\frac{1 \cdot \sout{2}^1}{\sout{2}^1 \cdot 5} = -\frac{1}{5}$

Ответ: $-\frac{1}{5}$

б) При умножении положительной дроби на отрицательную результат будет отрицательным. Перемножаем числители и знаменатели, а затем сокращаем полученную дробь.

$\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) = -\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

Сокращаем числитель и знаменатель: 3 и 9 делятся на 3; 2 и 4 делятся на 2.

$-\frac{\sout{3}^1 \cdot \sout{2}^1}{\sout{4}^2 \cdot \sout{9}^3} = -\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$

в) При умножении двух отрицательных дробей результат будет положительным. Перемножаем модули дробей.

$-\frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{4}{5} \cdot \frac{10}{3} = \frac{4 \cdot 10}{5 \cdot 3}$

Сокращаем числитель и знаменатель на 5:

$\frac{4 \cdot \sout{10}^2}{\sout{5}^1 \cdot 3} = \frac{4 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{8}{3}$

Эту неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа $2\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$

г) Произведение двух отрицательных чисел положительно.

$-\frac{1}{7} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 4} = \frac{3}{28}$

Дробь $\frac{3}{28}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{3}{28}$

д) Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное.

$\frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 4}$

Сокращаем числитель и знаменатель на 2:

$-\frac{\sout{2}^1 \cdot 3}{5 \cdot \sout{4}^2} = -\frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 2} = -\frac{3}{10}$

Ответ: $-\frac{3}{10}$

е) Произведение отрицательного числа на положительное есть число отрицательное.

$-\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 5}$

Сокращаем числитель и знаменатель на 4:

$-\frac{3 \cdot \sout{4}^1}{\sout{8}^2 \cdot 5} = -\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 5} = -\frac{3}{10}$

Ответ: $-\frac{3}{10}$