Номер 526, страница 104 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Умножение и деление дробей. Глава 3. Рациональные числа - номер 526, страница 104.

Условие.

Сократите дробь (526–528):

526. а) $ \frac{36 \cdot (-112)}{126 \cdot (-63)} $

б) $ \frac{184 \cdot (-49)}{84 \cdot (-69)} $

в) $ \frac{(-315) \cdot 57}{114 \cdot (-108)} $

г) $ \frac{(-105) \cdot 84}{196 \cdot 125} $

д) $ \frac{(-111) \cdot (-9)}{78 \cdot 74} $

е) $ \frac{(-888) \cdot 55}{77 \cdot 999} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) $ \frac{36 \cdot (-112)}{126 \cdot (-63)} $

Сначала определим знак дроби. В числителе находится произведение чисел с разными знаками, результат будет отрицательным. В знаменателе также находится произведение чисел с разными знаками, результат будет отрицательным. При делении отрицательного числа на отрицательное, результат будет положительным.

$ \frac{36 \cdot (-112)}{126 \cdot (-63)} = \frac{36 \cdot 112}{126 \cdot 63} $

Теперь сократим дробь, находя общие множители у чисел в числителе и знаменателе. Сократим 36 и 126 на их наибольший общий делитель. НОД(36, 126) = 18. $ 36 = 2 \cdot 18 $, $ 126 = 7 \cdot 18 $.

$ \frac{2 \cdot 18 \cdot 112}{7 \cdot 18 \cdot 63} = \frac{2 \cdot 112}{7 \cdot 63} $

Сократим 112 и 7. $ 112 \div 7 = 16 $.

$ \frac{2 \cdot 16 \cdot 7}{7 \cdot 63} = \frac{2 \cdot 16}{63} $

Вычислим произведение в числителе: $ 2 \cdot 16 = 32 $.

$ \frac{32}{63} $

Числа 32 ($ 2^5 $) и 63 ($ 3^2 \cdot 7 $) не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому дробь несократимая.

Ответ: $ \frac{32}{63} $

б) $ \frac{184 \cdot (-49)}{84 \cdot (-69)} $

Знак дроби будет положительным, так как в числителе и знаменателе стоят отрицательные сомножители, которые при делении дают положительный результат.

$ \frac{184 \cdot (-49)}{84 \cdot (-69)} = \frac{184 \cdot 49}{84 \cdot 69} $

Сократим 184 и 69. Оба числа делятся на 23: $ 184 = 8 \cdot 23 $, $ 69 = 3 \cdot 23 $.

$ \frac{8 \cdot 23 \cdot 49}{84 \cdot 3 \cdot 23} = \frac{8 \cdot 49}{84 \cdot 3} $

Сократим 8 и 84. Оба числа делятся на 4: $ 8 = 2 \cdot 4 $, $ 84 = 21 \cdot 4 $.

$ \frac{2 \cdot 4 \cdot 49}{21 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 49}{21 \cdot 3} $

Сократим 49 и 21. Оба числа делятся на 7: $ 49 = 7 \cdot 7 $, $ 21 = 3 \cdot 7 $.

$ \frac{2 \cdot 7 \cdot 7}{3 \cdot 7 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 3} = \frac{14}{9} $

Ответ: $ \frac{14}{9} $

в) $ \frac{(-315) \cdot 57}{114 \cdot (-108)} $

Знак дроби будет положительным (частное двух отрицательных чисел).

$ \frac{(-315) \cdot 57}{114 \cdot (-108)} = \frac{315 \cdot 57}{114 \cdot 108} $

Сократим 57 и 114. $ 114 = 2 \cdot 57 $.

$ \frac{315 \cdot 57}{2 \cdot 57 \cdot 108} = \frac{315}{2 \cdot 108} = \frac{315}{216} $

Проверим делимость на 9. Сумма цифр числа 315 равна $ 3+1+5=9 $, значит, 315 делится на 9 ($ 315 = 35 \cdot 9 $). Сумма цифр числа 216 равна $ 2+1+6=9 $, значит, 216 делится на 9 ($ 216 = 24 \cdot 9 $).

$ \frac{35 \cdot 9}{24 \cdot 9} = \frac{35}{24} $

Ответ: $ \frac{35}{24} $

г) $ \frac{(-105) \cdot 84}{196 \cdot 125} $

В числителе отрицательное число, в знаменателе — положительное. Значит, вся дробь будет отрицательной.

$ \frac{(-105) \cdot 84}{196 \cdot 125} = - \frac{105 \cdot 84}{196 \cdot 125} $

Сократим 105 и 125. Оба числа оканчиваются на 5, значит, делятся на 5: $ 105 = 21 \cdot 5 $, $ 125 = 25 \cdot 5 $.

$ - \frac{21 \cdot 5 \cdot 84}{196 \cdot 25 \cdot 5} = - \frac{21 \cdot 84}{196 \cdot 25} $

Сократим 84 и 196. Оба числа делятся на 4: $ 84 = 21 \cdot 4 $, $ 196 = 49 \cdot 4 $.

$ - \frac{21 \cdot 21 \cdot 4}{49 \cdot 4 \cdot 25} = - \frac{21 \cdot 21}{49 \cdot 25} $

Теперь разложим 21 и 49 на множители: $ 21 = 3 \cdot 7 $, $ 49 = 7 \cdot 7 $.

$ - \frac{(3 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 7)}{(7 \cdot 7) \cdot 25} = - \frac{9 \cdot 49}{49 \cdot 25} = - \frac{9}{25} $

Ответ: $ - \frac{9}{25} $

д) $ \frac{(-111) \cdot (-9)}{78 \cdot 74} $

Произведение двух отрицательных чисел в числителе дает положительное число, поэтому вся дробь будет положительной.

$ \frac{(-111) \cdot (-9)}{78 \cdot 74} = \frac{111 \cdot 9}{78 \cdot 74} $

Разложим числа на множители, чтобы найти общие делители. $ 111 = 3 \cdot 37 $ и $ 74 = 2 \cdot 37 $.

$ \frac{3 \cdot 37 \cdot 9}{78 \cdot 2 \cdot 37} = \frac{3 \cdot 9}{78 \cdot 2} $

Сократим 3 и 78. $ 78 = 3 \cdot 26 $.

$ \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 26 \cdot 2} = \frac{9}{26 \cdot 2} = \frac{9}{52} $

Ответ: $ \frac{9}{52} $

е) $ \frac{(-888) \cdot 55}{77 \cdot 999} $

В числителе отрицательное число, в знаменателе — положительное. Значит, вся дробь будет отрицательной.

$ \frac{(-888) \cdot 55}{77 \cdot 999} = - \frac{888 \cdot 55}{77 \cdot 999} $

Заметим, что числа 888 и 999 имеют общий множитель 111: $ 888 = 8 \cdot 111 $, $ 999 = 9 \cdot 111 $.

$ - \frac{8 \cdot 111 \cdot 55}{77 \cdot 9 \cdot 111} = - \frac{8 \cdot 55}{77 \cdot 9} $

Числа 55 и 77 имеют общий множитель 11: $ 55 = 5 \cdot 11 $, $ 77 = 7 \cdot 11 $.

$ - \frac{8 \cdot 5 \cdot 11}{7 \cdot 11 \cdot 9} = - \frac{8 \cdot 5}{7 \cdot 9} $

Вычислим произведения в числителе и знаменателе.

$ - \frac{40}{63} $

Ответ: $ - \frac{40}{63} $