Номер 519, страница 103 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Умножение и деление дробей. Глава 3. Рациональные числа - номер 519, страница 103.

Условие.

?519. По каким правилам умножают и делят дроби любого знака?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Умножение и деление дробей с любыми знаками (положительными и отрицательными) производится по тем же правилам, что и для целых чисел. Процесс можно разделить на два этапа: выполнение операции с модулями дробей и определение знака результата.

Правила умножения дробей любого знака

Чтобы перемножить две дроби, необходимо:

1. Перемножить их модули (абсолютные величины). Для этого числитель первой дроби умножается на числитель второй, а знаменатель первой — на знаменатель второй.
2. Определить знак произведения. Знак результата зависит от знаков множителей:

• Если знаки дробей одинаковы (обе положительные или обе отрицательные), то произведение будет положительным.
• Если знаки дробей разные, то произведение будет отрицательным.

Общая формула для умножения модулей дробей: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $.

Примеры:

• Умножение двух отрицательных дробей (минус на минус дает плюс):
  $ (-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{4}{5}) = +\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15} $
• Умножение дробей с разными знаками (плюс на минус дает минус):
  $ \frac{1}{7} \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 5} = -\frac{3}{35} $

Ответ: Чтобы умножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели, а знак произведения определить по правилам умножения целых чисел: если знаки сомножителей одинаковы, результат будет положительным, если разные — отрицательным.

Правила деления дробей любого знака

Чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо:

1. Разделить их модули. Для этого первую дробь (делимое) нужно умножить на дробь, обратную второй (делителю). Чтобы получить обратную дробь, нужно поменять местами ее числитель и знаменатель.
2. Определить знак частного. Правило для знаков такое же, как при умножении:

• Если знаки делимого и делителя одинаковы, частное будет положительным.
• Если знаки делимого и делителя разные, частное будет отрицательным.

Общая формула для деления модулей дробей: $ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} $.

Примеры:

• Деление двух отрицательных дробей (минус на минус дает плюс):
  $ (-\frac{3}{4}) : (-\frac{5}{7}) = +\frac{3}{4} \cdot \frac{7}{5} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 5} = \frac{21}{20} $
• Деление дробей с разными знаками (минус на плюс дает минус):
  $ (-\frac{2}{9}) : \frac{5}{8} = -\frac{2}{9} \cdot \frac{8}{5} = -\frac{2 \cdot 8}{9 \cdot 5} = -\frac{16}{45} $

Ответ: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю. Знак частного определяется по правилам деления целых чисел: если знаки исходных дробей одинаковы, результат будет положительным, если разные — отрицательным.