Страница 103 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

?519. По каким правилам умножают и делят дроби любого знака?

Умножение и деление дробей с любыми знаками (положительными и отрицательными) производится по тем же правилам, что и для целых чисел. Процесс можно разделить на два этапа: выполнение операции с модулями дробей и определение знака результата.

Правила умножения дробей любого знака

Чтобы перемножить две дроби, необходимо:

1. Перемножить их модули (абсолютные величины). Для этого числитель первой дроби умножается на числитель второй, а знаменатель первой — на знаменатель второй.
2. Определить знак произведения. Знак результата зависит от знаков множителей:

• Если знаки дробей одинаковы (обе положительные или обе отрицательные), то произведение будет положительным.
• Если знаки дробей разные, то произведение будет отрицательным.

Общая формула для умножения модулей дробей: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $.

Примеры:

• Умножение двух отрицательных дробей (минус на минус дает плюс):
  $ (-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{4}{5}) = +\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15} $
• Умножение дробей с разными знаками (плюс на минус дает минус):
  $ \frac{1}{7} \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 5} = -\frac{3}{35} $

Ответ: Чтобы умножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели, а знак произведения определить по правилам умножения целых чисел: если знаки сомножителей одинаковы, результат будет положительным, если разные — отрицательным.

Правила деления дробей любого знака

Чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо:

1. Разделить их модули. Для этого первую дробь (делимое) нужно умножить на дробь, обратную второй (делителю). Чтобы получить обратную дробь, нужно поменять местами ее числитель и знаменатель.
2. Определить знак частного. Правило для знаков такое же, как при умножении:

• Если знаки делимого и делителя одинаковы, частное будет положительным.
• Если знаки делимого и делителя разные, частное будет отрицательным.

Общая формула для деления модулей дробей: $ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} $.

Примеры:

• Деление двух отрицательных дробей (минус на минус дает плюс):
  $ (-\frac{3}{4}) : (-\frac{5}{7}) = +\frac{3}{4} \cdot \frac{7}{5} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 5} = \frac{21}{20} $
• Деление дробей с разными знаками (минус на плюс дает минус):
  $ (-\frac{2}{9}) : \frac{5}{8} = -\frac{2}{9} \cdot \frac{8}{5} = -\frac{2 \cdot 8}{9 \cdot 5} = -\frac{16}{45} $

Ответ: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю. Знак частного определяется по правилам деления целых чисел: если знаки исходных дробей одинаковы, результат будет положительным, если разные — отрицательным.

?520. Как умножить дробь на целое число?

Чтобы умножить дробь на целое число, необходимо числитель этой дроби умножить на данное число, а знаменатель оставить без изменения. Если в результате получается неправильная дробь, из нее следует выделить целую часть. Если возможно, дробь нужно сократить.

Формула умножения дроби $ \frac{a}{b} $ на целое число $ c $ выглядит так:

$ \frac{a}{b} \cdot c = \frac{a \cdot c}{b} $

Это правило следует из того, что любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1 (например, $ c = \frac{c}{1} $). Тогда умножение дроби на число сводится к умножению двух дробей:

$ \frac{a}{b} \cdot c = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{1} = \frac{a \cdot c}{b \cdot 1} = \frac{a \cdot c}{b} $

Пример 1: Умножение правильной дроби

Умножим дробь $ \frac{2}{9} $ на целое число $ 4 $.

Для этого нужно умножить числитель дроби (2) на число (4), а знаменатель (9) оставить без изменений.

$ \frac{2}{9} \cdot 4 = \frac{2 \cdot 4}{9} = \frac{8}{9} $

В результате получилась правильная, несократимая дробь.

Ответ: $ \frac{8}{9} $.

Пример 2: Умножение с сокращением и выделением целой части

Умножим дробь $ \frac{5}{12} $ на целое число $ 8 $.

Умножаем числитель на число:

$ \frac{5}{12} \cdot 8 = \frac{5 \cdot 8}{12} = \frac{40}{12} $

Полученную дробь можно сократить, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель 4. Удобнее всего выполнять сокращение до перемножения чисел в числителе:

$ \frac{5 \cdot 8}{12} = \frac{5 \cdot \cancel{8}^2}{\cancel{12}^3} = \frac{5 \cdot 2}{3} = \frac{10}{3} $

Дробь $ \frac{10}{3} $ является неправильной (числитель больше знаменателя), поэтому выделим из нее целую часть:

$ \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} $

Ответ: $ 3\frac{1}{3} $.

Пример 3: Умножение смешанного числа на целое число

Чтобы умножить смешанное число (число, состоящее из целой и дробной части) на целое число, нужно сначала представить смешанное число в виде неправильной дроби, а затем выполнить умножение по основному правилу.

Умножим $ 3\frac{1}{4} $ на $ 5 $.

1. Преобразуем смешанное число $ 3\frac{1}{4} $ в неправильную дробь:

$ 3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4} $

2. Теперь умножим полученную дробь на целое число $ 5 $:

$ \frac{13}{4} \cdot 5 = \frac{13 \cdot 5}{4} = \frac{65}{4} $

3. Преобразуем результат обратно в смешанное число, выделив целую часть:

$ \frac{65}{4} = 16\frac{1}{4} $

Ответ: $ 16\frac{1}{4} $.

?521 Как разделить дробь на целое число, не равное нулю?

Чтобы разделить обыкновенную дробь на целое число, не равное нулю, можно воспользоваться одним из следующих способов.

Способ 1: Замена деления умножением на обратное число

Этот способ является универсальным для деления любых дробей. Алгоритм действий следующий:

1. Представить целое число в виде дроби со знаменателем 1. Например, число $n$ можно записать как $\frac{n}{1}$.
2. Заменить операцию деления на умножение, а делитель (целое число) — на обратную ему дробь. Обратной для дроби $\frac{n}{1}$ является дробь $\frac{1}{n}$.
3. Выполнить умножение дробей: числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель.

В общем виде это выглядит так:

$\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b} \div \frac{n}{1} = \frac{a}{b} \times \frac{1}{n} = \frac{a \times 1}{b \times n} = \frac{a}{b \cdot n}$

Пример:

Разделим дробь $\frac{4}{7}$ на число $5$.

$\frac{4}{7} \div 5 = \frac{4}{7} \div \frac{5}{1} = \frac{4}{7} \times \frac{1}{5} = \frac{4 \times 1}{7 \times 5} = \frac{4}{35}$

Способ 2: Умножение знаменателя на целое число

Этот способ является прямым следствием первого, но более короткий в записи. Чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель дроби умножить на это число, а числитель оставить без изменений.

Формула правила:

$\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b \cdot n}$

Пример:

Разделим дробь $\frac{5}{9}$ на число $2$.

$\frac{5}{9} \div 2 = \frac{5}{9 \times 2} = \frac{5}{18}$

Особый случай: Если числитель дроби делится нацело на это целое число, то можно просто разделить числитель на это число, оставив знаменатель прежним.

Пример:

Разделим дробь $\frac{12}{13}$ на число $4$.

Поскольку 12 делится на 4, можно поступить так:

$\frac{12}{13} \div 4 = \frac{12 \div 4}{13} = \frac{3}{13}$

Этот результат совпадает с результатом, полученным по основному правилу: $\frac{12}{13} \div 4 = \frac{12}{13 \times 4} = \frac{12}{52}$. Если сократить дробь $\frac{12}{52}$ на 4, получится $\frac{3}{13}$.

Ответ: Чтобы разделить дробь на целое число, нужно представить это число в виде дроби с знаменателем 1 и выполнить деление дробей (то есть умножить первую дробь на перевернутую вторую), либо проще — умножить знаменатель дроби на это целое число, а числитель оставить без изменений.

?522. Какие числа называют взаимно обратными?

Взаимно обратными называют два числа, произведение которых равно 1.

Это означает, что если у нас есть число $a$ (которое не равно нулю), то обратным для него будет такое число $b$, для которого верно равенство:
$a \cdot b = 1$
Число, обратное числу $a$, также обозначается как $\frac{1}{a}$.

Примеры нахождения взаимно обратных чисел:

1. Для обыкновенной дроби. Чтобы найти обратное число для дроби $\frac{a}{b}$, нужно поменять местами её числитель и знаменатель. Получится дробь $\frac{b}{a}$.
Например, для числа $\frac{5}{8}$ обратным будет число $\frac{8}{5}$, потому что их произведение равно 1:
$\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{5} = \frac{5 \cdot 8}{8 \cdot 5} = \frac{40}{40} = 1$

2. Для целого числа. Любое целое число $n$ можно представить в виде дроби $\frac{n}{1}$. Тогда обратным для него будет число $\frac{1}{n}$.
Например, для числа $4$ обратным будет число $\frac{1}{4}$, так как:
$4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

3. Для смешанного числа. Сначала его нужно перевести в неправильную дробь, а затем найти обратную для этой дроби.
Например, для числа $2\frac{1}{3}$ сначала представим его в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$. Обратным для $\frac{7}{3}$ будет число $\frac{3}{7}$.

Важные исключения:
• Число 0 не имеет обратного, так как не существует числа, которое при умножении на 0 дало бы 1.
• Числа 1 и -1 являются обратными самим себе, так как $1 \cdot 1 = 1$ и $(-1) \cdot (-1) = 1$.

Ответ: Взаимно обратными числами называются два числа, произведение которых равно единице (1).