Страница 97 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

492. Существуют ли дроби $p \over q$, для которых верно неравенство $- {2 \over 5} < {p \over q} < - {1 \over 5}$? Если существуют, то найдите три такие дроби.

Существуют ли дроби $\frac{p}{q}$, для которых верно неравенство $-\frac{2}{5} < \frac{p}{q} < -\frac{1}{5}$? Если существуют, то найдите три такие дроби.

Да, такие дроби существуют. Согласно свойству плотности рациональных чисел, между любыми двумя различными дробями всегда находится бесконечное множество других дробей.

Чтобы найти такие дроби, удобно привести исходные дроби к общему знаменателю, который будет больше исходного. Это позволит нам "расширить" промежуток между числителями и найти подходящие значения.

Рассмотрим заданное неравенство: $-\frac{2}{5} < \frac{p}{q} < -\frac{1}{5}$.

Приведем дроби к общему знаменателю, например, 20. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой из них на 4:

$-\frac{2}{5} = -\frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = -\frac{8}{20}$

$-\frac{1}{5} = -\frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = -\frac{4}{20}$

Теперь неравенство можно записать в виде: $-\frac{8}{20} < \frac{p}{q} < -\frac{4}{20}$.

Теперь нам нужно найти дроби со знаменателем 20, числители которых являются целыми числами, находящимися между -8 и -4. Такими числителями являются -7, -6 и -5.

Следовательно, в качестве примера можно привести следующие три дроби:

1. $-\frac{7}{20}$

2. $-\frac{6}{20}$, эту дробь можно сократить до $-\frac{3}{10}$

3. $-\frac{5}{20}$, эту дробь можно сократить до $-\frac{1}{4}$

Проверим найденные дроби, представив их и границы интервала в виде десятичных дробей: $-\frac{2}{5} = -0.4$ и $-\frac{1}{5} = -0.2$. Наше неравенство: $-0.4 < \frac{p}{q} < -0.2$.

Найденные дроби: $-\frac{7}{20} = -0.35$; $-\frac{3}{10} = -0.3$; $-\frac{1}{4} = -0.25$.

Поскольку $-0.4 < -0.35 < -0.2$, $-0.4 < -0.3 < -0.2$ и $-0.4 < -0.25 < -0.2$, все три дроби удовлетворяют исходному неравенству.

Ответ: Да, существуют. Например: $-\frac{7}{20}$, $-\frac{3}{10}$, $-\frac{1}{4}$.

493. Можно ли назвать 10 дробей, больших одной из данных дробей, но меньших другой:

а) $\frac{39}{40}$ и $-\frac{1}{40}$;

б) $-\frac{3}{4}$ и $-\frac{1}{4}$?

Можно ли назвать 100, 1000, 10 000 таких дробей?

а) $-\frac{39}{40}$ и $-\frac{1}{40}$

Сначала сравним данные дроби. Так как оба числа отрицательные, больше то, модуль которого меньше. $|\,-\frac{1}{40}\,| < |\,-\frac{39}{40}\,|$, следовательно, $-\frac{1}{40} > -\frac{39}{40}$. Нам нужно найти 10 дробей $x$, удовлетворяющих неравенству: $-\frac{39}{40} < x < -\frac{1}{40}$.

У этих дробей уже есть общий знаменатель 40. Мы можем искать дроби с таким же знаменателем. Числители таких дробей должны быть целыми числами между -39 и -1. Такими числами являются -38, -37, -36, ..., -3, -2. Всего таких чисел $38 - 2 + 1 = 37$. Поскольку $37 > 10$, мы можем легко назвать 10 таких дробей. Например: $-\frac{38}{40}, -\frac{37}{40}, -\frac{36}{40}, -\frac{35}{40}, -\frac{34}{40}, -\frac{33}{40}, -\frac{32}{40}, -\frac{31}{40}, -\frac{30}{40}, -\frac{29}{40}$.

Чтобы найти 100, 1000 или 10 000 таких дробей, мы можем привести исходные дроби к большему общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число. Например, чтобы найти 100 дробей, умножим числитель и знаменатель на 3:
$-\frac{39}{40} = -\frac{39 \times 3}{40 \times 3} = -\frac{117}{120}$
$-\frac{1}{40} = -\frac{1 \times 3}{40 \times 3} = -\frac{3}{120}$
Теперь мы ищем дроби между $-\frac{117}{120}$ и $-\frac{3}{120}$. Количество целых числителей между -117 и -3 равно $117 - 3 - 1 = 113$. Поскольку $113 > 100$, можно назвать 100 таких дробей.

Этот же принцип, основанный на свойстве плотности рациональных чисел (между любыми двумя различными рациональными числами существует бесконечно много других рациональных чисел), работает для любого количества дробей. Чтобы найти $N$ дробей, достаточно умножить числитель и знаменатель исходных дробей на такое число $k$, чтобы разница между новыми числителями была больше $N$. Таким образом, можно назвать и 10, и 100, и 1000, и 10 000 таких дробей.

Ответ: да, можно назвать 10 дробей. Да, можно назвать 100, 1000, 10 000 таких дробей.

б) $-\frac{3}{4}$ и $-\frac{1}{4}$

Сравним дроби: так как $|\,-\frac{1}{4}\,| < |\,-\frac{3}{4}\,|$, то $-\frac{1}{4} > -\frac{3}{4}$. Ищем 10 дробей $x$, для которых выполняется неравенство: $-\frac{3}{4} < x < -\frac{1}{4}$.

У дробей общий знаменатель 4. Между числителями -3 и -1 находится только одно целое число: -2. Это дает нам только одну дробь $-\frac{2}{4}$. Чтобы найти больше дробей, приведем исходные дроби к большему общему знаменателю. Нам нужно найти 10 дробей, значит, между числителями должно быть не менее 10 целых чисел (т.е. разница между числителями должна быть больше 10). Умножим числитель и знаменатель исходных дробей на 6 (можно выбрать любое целое число $k$, такое что $2k-1 \geq 10$):
$-\frac{3}{4} = -\frac{3 \times 6}{4 \times 6} = -\frac{18}{24}$
$-\frac{1}{4} = -\frac{1 \times 6}{4 \times 6} = -\frac{6}{24}$
Теперь мы ищем дроби между $-\frac{18}{24}$ и $-\frac{6}{24}$. Целые числители могут быть от -17 до -7. Количество таких чисел: $17 - 7 + 1 = 11$. Поскольку $11 > 10$, мы можем назвать 10 таких дробей. Например: $-\frac{17}{24}, -\frac{16}{24}, -\frac{15}{24}, -\frac{14}{24}, -\frac{13}{24}, -\frac{12}{24}, -\frac{11}{24}, -\frac{10}{24}, -\frac{9}{24}, -\frac{8}{24}$.

Как и в предыдущем пункте, чтобы найти 100, 1000 или 10 000 дробей, нужно просто выбрать достаточно большой множитель для числителя и знаменателя, чтобы создать достаточно "пространства" между новыми числителями. Например, для 100 дробей можно умножить на 51. Между любыми двумя разными дробями всегда можно вставить сколько угодно других дробей.

Ответ: да, можно назвать 10 дробей. Да, можно назвать 100, 1000, 10 000 таких дробей.

494. Найдите дробь, которая больше одной из данных дробей, но меньше другой:

а) $-\frac{1}{5}$ и $-\frac{1}{3}$;

б) $-\frac{5}{6}$ и $-\frac{2}{3}$;

в) $-\frac{3}{8}$ и $-\frac{3}{4}$;

г) $-\frac{3}{20}$ и $-\frac{7}{30}$;

д) $-\frac{3}{7}$ и $-\frac{2}{9}$;

е) $-\frac{10}{11}$ и $-\frac{19}{20}$.

а) Чтобы найти дробь, которая находится между дробями $-\frac{1}{5}$ и $-\frac{1}{3}$, сначала приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 3 это 15.

$-\frac{1}{5} = -\frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = -\frac{3}{15}$

$-\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = -\frac{5}{15}$

Теперь нужно найти дробь, которая больше $-\frac{5}{15}$ и меньше $-\frac{3}{15}$. Так как $-5 < -4 < -3$, мы можем выбрать в качестве числителя число -4. Искомая дробь $-\frac{4}{15}$.

Проверим: $-\frac{5}{15} < -\frac{4}{15} < -\frac{3}{15}$, что соответствует $-\frac{1}{3} < -\frac{4}{15} < -\frac{1}{5}$.

Ответ: $-\frac{4}{15}$.

б) Найдем дробь между $-\frac{5}{6}$ и $-\frac{2}{3}$. Приведем их к общему знаменателю 6.

$-\frac{2}{3} = -\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = -\frac{4}{6}$

Теперь нужно найти дробь между $-\frac{5}{6}$ и $-\frac{4}{6}$. Между числителями -5 и -4 нет целых чисел. Поэтому увеличим знаменатель, умножив числитель и знаменатель каждой дроби, например, на 2.

$-\frac{5}{6} = -\frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = -\frac{10}{12}$

$-\frac{4}{6} = -\frac{4 \cdot 2}{6 \cdot 2} = -\frac{8}{12}$

Теперь ищем дробь между $-\frac{10}{12}$ и $-\frac{8}{12}$. Так как $-10 < -9 < -8$, подходящей дробью будет $-\frac{9}{12}$. Эту дробь можно сократить на 3: $-\frac{9}{12} = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

в) Найдем дробь между $-\frac{3}{8}$ и $-\frac{3}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю 8.

$-\frac{3}{4} = -\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = -\frac{6}{8}$

Нужно найти дробь между $-\frac{6}{8}$ и $-\frac{3}{8}$. Между числителями -6 и -3 есть целые числа -5 и -4. Мы можем выбрать любое из них. Возьмем, например, -5.

Искомая дробь $-\frac{5}{8}$.

Проверим: $-\frac{6}{8} < -\frac{5}{8} < -\frac{3}{8}$, что соответствует $-\frac{3}{4} < -\frac{5}{8} < -\frac{3}{8}$.

Ответ: $-\frac{5}{8}$.

г) Найдем дробь между $-\frac{3}{20}$ и $-\frac{7}{30}$. Наименьший общий знаменатель для 20 и 30 это 60.

$-\frac{3}{20} = -\frac{3 \cdot 3}{20 \cdot 3} = -\frac{9}{60}$

$-\frac{7}{30} = -\frac{7 \cdot 2}{30 \cdot 2} = -\frac{14}{60}$

Нужно найти дробь, которая больше $-\frac{14}{60}$ и меньше $-\frac{9}{60}$. Между числителями -14 и -9 есть несколько целых чисел, например, -10, -11, -12, -13. Выберем -11.

Искомая дробь $-\frac{11}{60}$.

Ответ: $-\frac{11}{60}$.

д) Найдем дробь между $-\frac{3}{7}$ и $-\frac{2}{9}$. Общий знаменатель для 7 и 9 это $7 \cdot 9 = 63$.

$-\frac{3}{7} = -\frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} = -\frac{27}{63}$

$-\frac{2}{9} = -\frac{2 \cdot 7}{9 \cdot 7} = -\frac{14}{63}$

Нужно найти дробь, которая больше $-\frac{27}{63}$ и меньше $-\frac{14}{63}$. Между числителями -27 и -14 много целых чисел. Возьмем, например, -20.

Искомая дробь $-\frac{20}{63}$.

Ответ: $-\frac{20}{63}$.

е) Найдем дробь между $-\frac{10}{11}$ и $-\frac{19}{20}$. Общий знаменатель для 11 и 20 это $11 \cdot 20 = 220$.

$-\frac{10}{11} = -\frac{10 \cdot 20}{11 \cdot 20} = -\frac{200}{220}$

$-\frac{19}{20} = -\frac{19 \cdot 11}{20 \cdot 11} = -\frac{209}{220}$

Нужно найти дробь, которая больше $-\frac{209}{220}$ и меньше $-\frac{200}{220}$. Между числителями -209 и -200 есть несколько целых чисел, например, -201, -202, ..., -208. Выберем -205.

Искомая дробь $-\frac{205}{220}$. Эту дробь можно сократить на 5:

$-\frac{205}{220} = -\frac{205 \div 5}{220 \div 5} = -\frac{41}{44}$

Ответ: $-\frac{41}{44}$.

495. Сравните числа:

а) $ -\frac{1}{2} $ и $ -1 $;

б) $ -\frac{8}{8} $ и $ -1 $;

в) $ -\frac{9}{8} $ и $ -1 $;

г) $ -\frac{498}{497} $ и $ -1 $.

а) Чтобы сравнить числа $-\frac{1}{2}$ и $-1$, представим $-1$ в виде дроби со знаменателем 2. Получим $-1 = -\frac{2}{2}$. Теперь необходимо сравнить два отрицательных числа: $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{2}{2}$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним модули этих чисел: $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ и $|-\frac{2}{2}| = 1$. Так как $\frac{1}{2} < 1$, то соответствующее отрицательное число будет больше: $-\frac{1}{2} > -1$. Ответ: $-\frac{1}{2} > -1$.

б) Чтобы сравнить числа $-\frac{8}{8}$ и $-1$, необходимо упростить дробь $-\frac{8}{8}$. Любое число, деленное на само себя (кроме нуля), равно единице. Таким образом, $\frac{8}{8} = 1$, а значит $-\frac{8}{8} = -1$. Следовательно, данные числа равны. Ответ: $-\frac{8}{8} = -1$.

в) Чтобы сравнить числа $-\frac{9}{8}$ и $-1$, заметим, что дробь $\frac{9}{8}$ является неправильной, так как её числитель (9) больше знаменателя (8). Это означает, что абсолютное значение дроби больше 1: $\frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} > 1$. Для отрицательных чисел правило сравнения обратное: если модуль одного числа больше модуля другого, то само число меньше. Так как $|-\frac{9}{8}| > |-1|$, то $-\frac{9}{8} < -1$. Ответ: $-\frac{9}{8} < -1$.

г) Чтобы сравнить числа $-\frac{498}{497}$ и $-1$, применим тот же подход, что и в предыдущем пункте. Дробь $\frac{498}{497}$ — неправильная, поскольку числитель 498 больше знаменателя 497. Следовательно, её значение больше 1: $\frac{498}{497} > 1$. Это означает, что модуль числа $-\frac{498}{497}$ больше, чем модуль числа $-1$. Так как $|-\frac{498}{497}| > |-1|$, для самих отрицательных чисел будет верно обратное неравенство: $-\frac{498}{497} < -1$. Ответ: $-\frac{498}{497} < -1$.

496. Как можно сравнить дроби, не приводя их к общему положительному знаменателю, если числители этих дробей одинаковые положительные целые числа?

Чтобы сравнить дроби с одинаковыми положительными целыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, необходимо сравнить их знаменатели. Правило сравнения звучит следующим образом: из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и, соответственно, меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Рассмотрим логическое объяснение этого правила. Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделено некое целое, а числитель — сколько таких частей взято. Если числители у двух дробей одинаковы, это означает, что мы берем одинаковое количество частей. Однако размер этих частей будет разным, так как он зависит от знаменателя.

Чем на большее число частей мы делим целое (то есть, чем больше знаменатель), тем меньше размер каждой отдельной части. И наоборот, чем меньше знаменатель, тем крупнее каждая часть.

Например, сравним дроби $\frac{5}{7}$ и $\frac{5}{9}$.
В обоих случаях мы берем 5 частей. В дроби $\frac{5}{7}$ целое разделено на 7 частей. В дроби $\frac{5}{9}$ целое разделено на 9 частей. Части, полученные при делении на 7, будут крупнее частей, полученных при делении на 9. Следовательно, 5 более крупных частей будут больше, чем 5 более мелких частей. Таким образом, $\frac{5}{7} > \frac{5}{9}$, потому что знаменатель $7$ меньше знаменателя $9$.

Математически это можно доказать, сравнив две дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{a}{c}$, где $a, b, c$ — положительные целые числа. Предположим, что $b < c$. Умножим обе части этого неравенства на положительное число $\frac{1}{bc}$: $b \cdot \frac{1}{bc} < c \cdot \frac{1}{bc}$ $\frac{b}{bc} < \frac{c}{bc}$ $\frac{1}{c} < \frac{1}{b}$ Теперь умножим обе части на положительный числитель $a$: $a \cdot \frac{1}{c} < a \cdot \frac{1}{b}$ $\frac{a}{c} < \frac{a}{b}$ Это доказывает, что если знаменатель $b$ меньше знаменателя $c$, то дробь $\frac{a}{b}$ будет больше дроби $\frac{a}{c}$.

Ответ: Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше.