Страница 92 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

451. Какое число называют рациональным? Назовите несколько рациональных чисел.

Какое число называют рациональным?

Рациональным числом называют число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

Проще говоря, любое число, которое можно записать как отношение двух целых чисел (причем делитель не равен нулю), является рациональным. Множество всех рациональных чисел принято обозначать символом $\mathbb{Q}$.

К рациональным числам относятся следующие виды чисел:
- Все целые числа (положительные, отрицательные и ноль), так как любое целое число $m$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $m = \frac{m}{1}$.
- Все конечные десятичные дроби, поскольку их можно представить в виде обыкновенной дроби. Например, $1.75 = \frac{175}{100} = \frac{7}{4}$.
- Все бесконечные периодические десятичные дроби, так как они также могут быть преобразованы в обыкновенную дробь. Например, $0.(3) = 0.333... = \frac{1}{3}$.

Ответ: число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

Назовите несколько рациональных чисел.

Примеры рациональных чисел:
- $7$ (целое число, так как $7 = \frac{7}{1}$)
- $-15$ (отрицательное целое число, так как $-15 = \frac{-15}{1}$)
- $0$ (ноль, так как $0 = \frac{0}{1}$)
- $\frac{2}{5}$ (обыкновенная дробь)
- $3\frac{1}{4}$ (смешанное число, равное $\frac{13}{4}$)
- $0.8$ (конечная десятичная дробь, равная $\frac{8}{10}$ или $\frac{4}{5}$)
- $-2.56$ (отрицательная конечная десятичная дробь, равная $-\frac{256}{100}$)
- $0.(18)$ или $0.181818...$ (бесконечная периодическая дробь, равная $\frac{18}{99}$ или $\frac{2}{11}$)

Ответ: $7$; $\frac{2}{5}$; $0.8$; $-15$.

452. Является ли натуральное число рациональным?

Да, любое натуральное число является рациональным. Чтобы это доказать, необходимо обратиться к определениям этих двух множеств чисел.

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $ \frac{m}{n} $, где числитель $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета предметов: $1, 2, 3, 4, \dots$.

Возьмем любое натуральное число, обозначим его буквой $k$. Любое такое число можно представить в виде дроби, у которой знаменатель равен 1:

$k = \frac{k}{1}$

Давайте проверим, соответствует ли эта дробь определению рационального числа:

1. Числитель дроби — это $k$. Так как любое натуральное число является и целым числом, то числитель $m=k$ — целое число.
2. Знаменатель дроби — это 1. Единица является натуральным числом, то есть $n=1$ — натуральное число.

Поскольку оба условия выполняются, любое натуральное число $k$ можно представить в виде дроби $\frac{k}{1}$, которая по определению является рациональным числом. Например, $5 = \frac{5}{1}$, $42 = \frac{42}{1}$.

Следовательно, множество всех натуральных чисел ($\mathbb{N}$) является подмножеством множества всех рациональных чисел ($\mathbb{Q}$).

Ответ: да, является.

453. Является ли целое число рациональным?

Да, любое целое число является рациональным. Чтобы понять почему, давайте обратимся к определениям этих понятий.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $ \frac{p}{q} $, где $p$ — целое число (числитель), а $q$ — натуральное число (знаменатель) или, в более общем случае, целое, не равное нулю.

Целое число — это элемент множества $ \mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} $, то есть натуральные числа, им противоположные и ноль.

Теперь проверим, можно ли любое целое число представить в виде дроби, соответствующей определению рационального числа. Возьмём произвольное целое число $n$. Его всегда можно записать в виде дроби со знаменателем 1:

$ n = \frac{n}{1} $

В этой дроби числитель ($n$) является целым числом, а знаменатель (1) является натуральным числом. Это полностью соответствует определению рационального числа.

Например:

• Целое число 5 можно представить как дробь $ \frac{5}{1} $.
• Целое число -17 можно представить как дробь $ \frac{-17}{1} $.
• Целое число 0 можно представить как дробь $ \frac{0}{1} $.

Таким образом, любое целое число удовлетворяет определению рационального числа. Множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел.

Ответ: Да, любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби с этим числом в числителе и единицей в знаменателе.

454. Является ли положительная дробь рациональным числом?

Да, любая положительная дробь является рациональным числом. Чтобы это доказать, обратимся к определениям.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in Z$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in N$).

Положительная дробь — это дробь вида $\frac{a}{b}$, где и числитель $a$, и знаменатель $b$ являются натуральными числами (то есть целыми положительными числами, $a \in N, b \in N$).

Теперь сравним определение положительной дроби с определением рационального числа:

1. Знаменатель положительной дроби $b$ — натуральное число. Это полностью соответствует требованию для знаменателя $n$ рационального числа ($n \in N$).
2. Числитель положительной дроби $a$ — натуральное число. Поскольку множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел ($N \subset Z$), то $a$ также является и целым числом. Это соответствует требованию для числителя $m$ рационального числа ($m \in Z$).

Таким образом, любая положительная дробь $\frac{a}{b}$ может быть представлена в виде $\frac{m}{n}$, где $m=a$ и $n=b$, что полностью удовлетворяет определению рационального числа. Следовательно, любая положительная дробь является рациональным числом.

Например, дроби $\frac{3}{4}$, $\frac{15}{2}$, $\frac{1}{100}$ являются положительными и одновременно рациональными числами.

Ответ: Да, является.

455. Сформулируйте основное свойство дроби. Приведите пример использования основного свойства дроби для приведения дроби к новому знаменателю.

Основное свойство дроби

Основное свойство дроби гласит: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.
Это свойство можно выразить с помощью формул:
$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $ и $ \frac{a}{b} = \frac{a \div m}{b \div m} $
где $a, b, n$ – числа, причем $ b \ne 0 $ и $ n \ne 0 $, а $m$ – общий делитель чисел $a$ и $b$, причем $ m \ne 0 $.

Ответ: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится равная ей дробь.

Пример использования основного свойства дроби для приведения дроби к новому знаменателю

Допустим, нам нужно привести дробь $ \frac{4}{9} $ к знаменателю 36.
1. Сначала находим дополнительный множитель. Для этого необходимо новый знаменатель разделить на исходный знаменатель:
$ 36 \div 9 = 4 $
Таким образом, дополнительный множитель равен 4.
2. Далее, используя основное свойство дроби, умножаем числитель и знаменатель исходной дроби на найденный дополнительный множитель:
$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36} $
В результате мы получили дробь $ \frac{16}{36} $, которая равна исходной дроби $ \frac{4}{9} $, но имеет новый знаменатель 36.

Ответ: Дробь $ \frac{4}{9} $ приводится к знаменателю 36 следующим образом: $ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36} $.

456. В каком случае дробь можно сократить? На основании какого свойства сокращают дроби? Приведите примеры.

В каком случае дробь можно сократить?

Дробь можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, который больше единицы. Иными словами, если числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Процесс нахождения такого делителя и деления на него числителя и знаменателя и называется сокращением дроби.

Ответ: Дробь можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1.

На основании какого свойства сокращают дроби?

Сокращение дробей выполняется на основании основного свойства дроби. Оно гласит, что если числитель и знаменатель дроби разделить (или умножить) на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. В виде формулы для деления это выглядит так:

$ \frac{a}{b} = \frac{a \div c}{b \div c} $

где $c$ — общий делитель для $a$ и $b$.

Ответ: Дроби сокращают на основании основного свойства дроби.

Приведите примеры.

Пример 1. Сократимая дробь.

Рассмотрим дробь $ \frac{18}{24} $. Числитель (18) и знаменатель (24) имеют общие делители: 2, 3, 6. Наибольший общий делитель (НОД) равен 6. Разделим числитель и знаменатель на 6, используя основное свойство дроби:

$ \frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4} $

Дробь $ \frac{3}{4} $ является несократимой, так как числитель 3 и знаменатель 4 не имеют общих делителей, кроме 1.

Пример 2. Несократимая дробь.

Рассмотрим дробь $ \frac{7}{15} $. Делители числителя 7: {1, 7}. Делители знаменателя 15: {1, 3, 5, 15}. Единственный общий делитель — это 1. Следовательно, эта дробь является несократимой, и ее нельзя сократить.

Ответ: Пример сократимой дроби: $ \frac{18}{24} $ можно сократить до $ \frac{3}{4} $. Пример несократимой дроби: $ \frac{7}{15} $.

457. В каком случае дробь положительна? отрицательна? Приведите примеры.

В каком случае дробь положительна?

Дробь является положительным числом, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Это правило следует из правила деления чисел: частное (результат деления) двух чисел с одинаковыми знаками всегда положительно.

Рассмотрим два случая:

1. Числитель и знаменатель — положительные числа.
Например, в дроби $\frac{7}{15}$ и числитель $7$, и знаменатель $15$ являются положительными числами. Следовательно, дробь $\frac{7}{15}$ положительна.

2. Числитель и знаменатель — отрицательные числа.
Например, в дроби $\frac{-3}{-8}$ и числитель $-3$, и знаменатель $-8$ являются отрицательными числами. При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное, поэтому $\frac{-3}{-8} = \frac{3}{8}$. Эта дробь также положительна.

Ответ: Дробь положительна, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные).

В каком случае дробь отрицательна?

Дробь является отрицательным числом, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Это правило следует из правила деления чисел: частное двух чисел с разными знаками всегда отрицательно.

Рассмотрим два случая:

1. Числитель — отрицательное число, а знаменатель — положительное.
Например, дробь $\frac{-4}{9}$ отрицательна, так как числитель $-4$ — отрицательное число, а знаменатель $9$ — положительное. Эту дробь можно записать как $-\frac{4}{9}$.

2. Числитель — положительное число, а знаменатель — отрицательное.
Например, дробь $\frac{5}{-12}$ отрицательна, так как числитель $5$ — положительное число, а знаменатель $-12$ — отрицательное. Эту дробь также можно записать как $-\frac{5}{12}$.

Ответ: Дробь отрицательна, когда ее числитель и знаменатель имеют разные знаки (один положительный, а другой отрицательный).

458. Любую ли дробь можно привести к положительному знаменателю?

Да, любую дробь можно привести к положительному знаменателю. Это следует из основного свойства дроби.

Основное свойство дроби гласит, что если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (не равное нулю), то значение дроби не изменится. Математически это выглядит так: $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$, где $b \neq 0$ и $c \neq 0$.

Рассмотрим все возможные случаи для знаменателя дроби (знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя).

Случай 1: Знаменатель дроби уже положительный.
Если знаменатель дроби больше нуля ($b > 0$), то никаких дополнительных действий не требуется. Дробь уже имеет положительный знаменатель.
Например: в дроби $\frac{3}{5}$ знаменатель $5$ — положительный. В дроби $\frac{-7}{10}$ знаменатель $10$ — положительный.

Случай 2: Знаменатель дроби отрицательный.
Если знаменатель дроби меньше нуля ($b < 0$), то для того, чтобы сделать его положительным, нужно умножить и числитель, и знаменатель на $-1$. Так как $-1 \neq 0$, значение дроби при этом не изменится.
При умножении отрицательного знаменателя на $-1$ он станет положительным. Знак числителя при этом изменится на противоположный.
Например, приведем дробь $\frac{4}{-9}$ к положительному знаменателю:
$\frac{4}{-9} = \frac{4 \cdot (-1)}{-9 \cdot (-1)} = \frac{-4}{9}$
Теперь знаменатель равен $9$, что является положительным числом.
Другой пример: $\frac{-2}{-11}$
$\frac{-2}{-11} = \frac{-2 \cdot (-1)}{-11 \cdot (-1)} = \frac{2}{11}$
Теперь знаменатель равен $11$, что является положительным числом.

Таким образом, любую дробь, знаменатель которой не равен нулю, можно представить в виде равной ей дроби с положительным знаменателем.

Ответ: Да.

459. Сократите дроби $\frac{8}{20}$, $\frac{35}{36}$, $\frac{42}{48}$, $\frac{764}{828}$, $\frac{792}{891}$.

$\frac{8}{20}$

Чтобы сократить дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя. Для чисел 8 и 20 наибольший общий делитель равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4.

$\frac{8}{20} = \frac{8 \div 4}{20 \div 4} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

$\frac{35}{36}$

Найдем наибольший общий делитель для 35 и 36. Разложим числа на простые множители: $35 = 5 \cdot 7$; $36 = 2^2 \cdot 3^2$. Общих простых множителей у этих чисел нет, поэтому их НОД равен 1. Это означает, что дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{35}{36}$

$\frac{42}{48}$

Найдем наибольший общий делитель для 42 и 48. НОД(42, 48) = 6. Разделим числитель и знаменатель на 6.

$\frac{42}{48} = \frac{42 \div 6}{48 \div 6} = \frac{7}{8}$

Ответ: $\frac{7}{8}$

$\frac{764}{828}$

Оба числа, 764 и 828, являются четными, значит, их можно сократить на 2. Последовательно деля на 2, находим, что наибольший общий делитель, на который можно разделить сразу, это 4. НОД(764, 828) = 4.

$\frac{764}{828} = \frac{764 \div 4}{828 \div 4} = \frac{191}{207}$

Число 191 является простым, а 207 на 191 не делится. Следовательно, полученная дробь несократима.

Ответ: $\frac{191}{207}$

$\frac{792}{891}$

Чтобы сократить эту дробь, найдем общие делители для 792 и 891. Сумма цифр каждого числа (7+9+2=18 и 8+9+1=18) делится на 9, значит, оба числа делятся на 9. Проведем сокращение:

$\frac{792 \div 9}{891 \div 9} = \frac{88}{99}$

Теперь видно, что числитель и знаменатель делятся на 11:

$\frac{88 \div 11}{99 \div 11} = \frac{8}{9}$

Наибольший общий делитель для 792 и 891 был $9 \cdot 11 = 99$.

Ответ: $\frac{8}{9}$