Страница 86 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Рис. 55

ЧЧ ББ БЧ

432. В одной коробке лежат два белых шара, в другой — два чёрных, в третьей — один белый и один чёрный. На каждой коробке имеется табличка, но она неправильно указывает содержимое коробки (рис. 55). Из какой коробки не глядя надо вынуть шар, чтобы можно было определить содержимое каждой коробки?

Для решения этой задачи нужно использовать ключевое условие: все таблички на коробках неверные. Это означает, что содержимое ни одной коробки не соответствует надписи на ней.

Нужно выбрать такую коробку, вытащив шар из которой, мы получим исчерпывающую информацию. Давайте проанализируем, что может находиться в каждой коробке:

• В коробке с табличкой "ЧЧ" (два чёрных) не может быть двух чёрных шаров. Значит, там либо два белых (ББ), либо белый и чёрный (БЧ).
• В коробке с табличкой "ББ" (два белых) не может быть двух белых шаров. Значит, там либо два чёрных (ЧЧ), либо белый и чёрный (БЧ).
• В коробке с табличкой "БЧ" (белый и чёрный) не может быть смешанного набора шаров. Значит, там либо два белых (ББ), либо два чёрных (ЧЧ).

Из анализа видно, что только в коробке с надписью "БЧ" содержимое является однородным (все шары одного цвета). Если мы вынем один шар из этой коробки, мы точно будем знать цвет и второго шара. Если же мы вынем шар из коробок "ЧЧ" или "ББ", мы не сможем однозначно определить их содержимое, так как в них может быть смешанный набор.

Поэтому шар нужно вынуть из коробки с табличкой "БЧ". Рассмотрим два возможных варианта развития событий:

1. Вынутый шар оказался белым.

Раз мы вытащили белый шар из коробки с надписью "БЧ", и мы знаем, что в ней шары одного цвета, значит, в этой коробке лежат два белых шара (ББ).
Теперь мы знаем точное содержимое одной коробки. Перейдём к остальным.
Рассмотрим коробку с табличкой "ББ". Мы знаем, что надпись неверна, и что набор "ББ" уже находится в другой коробке. Значит, в этой коробке не могут быть ни два белых (из-за неверной таблички), ни два белых (они уже найдены). Оставшиеся варианты — "ЧЧ" и "БЧ". Так как мы должны перераспределить этикетки так, чтобы все были неверными, и у нас есть коробка с этикеткой "ЧЧ", в коробке с этикеткой "ББ" не могут лежать шары "БЧ". Следовательно, в коробке с табличкой "ББ" лежат два чёрных шара (ЧЧ).
Методом исключения, в последней коробке с табличкой "ЧЧ" лежит набор из одного белого и одного чёрного шара (БЧ).

2. Вынутый шар оказался чёрным.

Раз мы вытащили чёрный шар из коробки с надписью "БЧ", значит, в этой коробке лежат два чёрных шара (ЧЧ).
Теперь рассмотрим коробку с табличкой "ЧЧ". Надпись на ней неверна, и набор "ЧЧ" уже найден. Значит, там не могут быть два чёрных шара. Следовательно, в коробке с табличкой "ЧЧ" лежат два белых шара (ББ).
Методом исключения, в последней коробке с табличкой "ББ" лежит набор из одного белого и одного чёрного шара (БЧ).

В обоих случаях, вытащив всего один шар из коробки с надписью "БЧ", мы можем однозначно определить содержимое всех коробок.

Ответ: Шар надо вынуть из коробки, на которой имеется табличка "БЧ".

433. Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом оконное стекло. Коля сказал: «Это не я разбил стекло». Олег сказал: «Это Петя разбил стекло». Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое нет. Кто из мальчиков разбил стекло?

Для решения этой логической задачи рассмотрим два возможных варианта, так как по условию одно из утверждений верное, а другое — ложное.

В наличии два утверждения:
1. Утверждение Коли: «Это не я разбил стекло».
2. Утверждение Олега: «Это Петя разбил стекло».

Случай 1: Утверждение Коли верное, а утверждение Олега — ложное.
Если Коля говорит правду, то он не разбивал стекло.
Если Олег лжет, то Петя не разбивал стекло.
Поскольку стекло разбил кто-то из троих друзей, и это не Коля и не Петя, то виновником может быть только Олег. Этот вариант логически непротиворечив.

Случай 2: Утверждение Коли ложное, а утверждение Олега — верное.
Если Коля лжет, говоря «Это не я», значит, именно он и разбил стекло.
Если Олег говорит правду, то стекло разбил Петя.
В этом случае получается, что стекло разбили двое — и Коля, и Петя, что противоречит условию задачи, где сказано, что «один из них» разбил стекло.

Следовательно, верным может быть только первый случай. Стекло разбил Олег.

Ответ: Олег.

434. Задачи С. А. Рачинского.

а) В будущем (1892) году думаю провести в Петербурге столько минут, сколько часов проведу в деревне. Сколько времени я проведу в Петербурге? (Время на переезды не учитывается.)

б) У меня пять детей. Дал я им пряников поровну. Трое из них съели по 5 пряников, и тогда у всех троих осталось столько пряников, сколько у двух остальных. Сколько всех пряников роздано?

в) От Москвы до Тамбова 450 вёрст. Выехали одновременно навстречу друг другу из Москвы почтовый, а из Тамбова товарный поезд. Второй мог бы пройти весь путь за 18 ч, а первый вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

г) Дочь ткёт по 3 аршина в день, 4 дня она ткала одна, но затем стала ткать и мать, которая ткёт по 5 аршинов в день. Когда их ткань стала поровну, они прекратили работу. Сколько соткали они вдвоём?

а) Пусть $T_p$ — время, проведённое в Петербурге в минутах, а $T_d$ — время, проведённое в деревне в часах. По условию задачи, $T_p = T_d$. Действие происходит в 1892 году, который является високосным, следовательно, в нём 366 дней. Общее время в году составляет $366 \text{ дней} \times 24 \frac{\text{часа}}{\text{день}} = 8784$ часа. Время, проведённое в Петербурге, можно выразить в часах как $\frac{T_p}{60}$. Суммарное время, проведённое в Петербурге и в деревне, равно общему времени в году: $\frac{T_p}{60} \text{ (часов в Петербурге)} + T_d \text{ (часов в деревне)} = 8784 \text{ часа}$. Так как $T_p = T_d$, заменим $T_d$ на $T_p$ в уравнении: $\frac{T_p}{60} + T_p = 8784$ Приведём к общему знаменателю: $\frac{T_p + 60T_p}{60} = 8784$ $\frac{61T_p}{60} = 8784$ $T_p = \frac{8784 \times 60}{61}$ $T_p = 144 \times 60 = 8640$ минут. Это время, проведённое в Петербурге. Для наглядности переведём его в дни: $8640 \text{ минут} \div 60 \frac{\text{минут}}{\text{час}} = 144$ часа. $144 \text{ часа} \div 24 \frac{\text{часа}}{\text{день}} = 6$ дней. Ответ: 6 дней.

б) Пусть $x$ — количество пряников, которое получил каждый из пяти детей. Трое детей съели по 5 пряников, у каждого из них осталось по $(x - 5)$ пряников. Суммарно у этих троих осталось $3 \times (x - 5)$ пряников. У двух других детей осталось по $x$ пряников, что в сумме составляет $2x$. По условию, количество оставшихся у троих пряников равно количеству пряников у двух других: $3(x - 5) = 2x$ $3x - 15 = 2x$ $3x - 2x = 15$ $x = 15$. Каждый ребёнок получил по 15 пряников. Всего было роздано: $5 \text{ детей} \times 15 \frac{\text{пряников}}{\text{ребёнок}} = 75$ пряников. Ответ: 75 пряников.

в) Расстояние между Москвой и Тамбовом $S = 450$ вёрст. Пусть $v_1$ — скорость почтового поезда, а $v_2$ — скорость товарного. Товарный поезд (второй) проходит весь путь за 18 часов. Его скорость: $v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{450}{18} = 25$ вёрст/ч. Почтовый поезд (первый) вдвое быстрее, значит его скорость: $v_1 = 2 \times v_2 = 2 \times 25 = 50$ вёрст/ч. Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сближения} = v_1 + v_2 = 50 + 25 = 75$ вёрст/ч. Время до встречи находится делением расстояния на скорость сближения: $t_{встречи} = \frac{S}{v_{сближения}} = \frac{450}{75} = 6$ часов. Ответ: 6 часов.

г) Скорость работы дочери — 3 аршина в день. Скорость работы матери — 5 аршинов в день. За первые 4 дня дочь, работая одна, соткала: $4 \text{ дня} \times 3 \frac{\text{аршина}}{\text{день}} = 12$ аршин. После этого к ней присоединилась мать. Пусть $t$ — количество дней, которые они работали вместе. За это время дочь соткала ещё $3t$ аршин, и общее количество её ткани стало $12 + 3t$. Мать за это же время соткала $5t$ аршин. Они прекратили работу, когда количество их ткани стало поровну: $12 + 3t = 5t$ $12 = 5t - 3t$ $12 = 2t$ $t = 6$ дней. Они работали вместе 6 дней. Вопрос "Сколько соткали они вдвоём?" означает общее количество ткани, произведённое обеими к моменту остановки. Количество ткани у дочери: $12 + 3 \times 6 = 12 + 18 = 30$ аршин. Количество ткани у матери: $5 \times 6 = 30$ аршин. Общее количество сотканой ткани: $30 + 30 = 60$ аршин. Ответ: 60 аршин.