Страница 84 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

417. Можно ли записать в строчку 9 таких чисел, чтобы сумма любых трёх соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна?

Предположим, что такой ряд из 9 чисел существует. Обозначим эти числа как $a_1, a_2, a_3, \dots, a_9$.

Согласно условию задачи, должны выполняться два утверждения:
1. Сумма любых трёх соседних чисел положительна.
2. Сумма всех девяти чисел отрицательна.

Рассмотрим сумму $S$ всех девяти чисел. Поскольку количество чисел (9) кратно трём, мы можем разбить эту сумму на три группы по три последовательных числа без остатка:

$S = (a_1 + a_2 + a_3) + (a_4 + a_5 + a_6) + (a_7 + a_8 + a_9)$

Из первого условия задачи мы знаем, что сумма чисел в каждой из этих групп должна быть положительной:
$a_1 + a_2 + a_3 > 0$
$a_4 + a_5 + a_6 > 0$
$a_7 + a_8 + a_9 > 0$

Следовательно, общая сумма $S$ является суммой трёх положительных слагаемых. Сумма положительных чисел всегда положительна, а значит, $S > 0$.

Этот вывод ($S > 0$) вступает в прямое противоречие со вторым условием задачи, которое требует, чтобы сумма всех чисел была отрицательной ($S < 0$).

Так как мы пришли к противоречию, наше первоначальное предположение о том, что такие числа могут существовать, является неверным.

Ответ: Нет, записать в строчку 9 таких чисел невозможно.

418. Можно ли расставить в клетках таблицы, состоящей из трёх строк и четырёх столбцов, целые числа так, чтобы сумма чисел:

а) в каждой строке была равна $ -20 $, а в каждом столбце $ -15 $;

б) в каждой строке была равна $ -20 $, а в каждом столбце $ -16 $;

в) в каждой строке была положительной, а в каждом столбце — отрицательной?

а) Посчитаем сумму всех чисел в таблице (обозначим её $S$) двумя способами.
1. Суммируя по строкам: в таблице 3 строки, и сумма чисел в каждой из них равна -20. Следовательно, общая сумма всех чисел $S = 3 \times (-20) = -60$.
2. Суммируя по столбцам: в таблице 4 столбца, и сумма чисел в каждом из них равна -15. Следовательно, общая сумма всех чисел $S = 4 \times (-15) = -60$.
Поскольку результаты, полученные двумя способами, совпадают ($-60 = -60$), то такое расположение чисел возможно. Например, если в каждой ячейке таблицы поставить число -5, то все условия будут выполнены: сумма в каждой строке будет $4 \times (-5) = -20$, а в каждом столбце $3 \times (-5) = -15$.
Ответ: да, можно.

б) Посчитаем сумму всех чисел в таблице ($S$) двумя способами.
1. Суммируя по строкам: 3 строки с суммой -20 в каждой. Отсюда $S = 3 \times (-20) = -60$.
2. Суммируя по столбцам: 4 столбца с суммой -16 в каждом. Отсюда $S = 4 \times (-16) = -64$.
Сумма всех чисел в таблице не может быть одновременно равна -60 и -64. Полученное противоречие означает, что расставить числа требуемым образом невозможно.
Ответ: нет, нельзя.

в) Обозначим сумму всех чисел в таблице как $S$.
1. По условию, сумма чисел в каждой из трёх строк — положительное целое число, то есть она не меньше 1. Тогда сумма всех чисел в таблице $S$ будет не меньше, чем $1 + 1 + 1 = 3$. Таким образом, $S \ge 3$.
2. С другой стороны, сумма чисел в каждом из четырёх столбцов — отрицательное целое число, то есть она не больше -1. Тогда сумма всех чисел в таблице $S$ будет не больше, чем $4 \times (-1) = -4$. Таким образом, $S \le -4$.
Мы получили противоречие: сумма всех чисел $S$ должна быть одновременно и положительной ($S \ge 3$), и отрицательной ($S \le -4$), что невозможно.
Ответ: нет, нельзя.

419. В строчку записаны несколько чисел так, что сумма любых трёх соседних чисел положительна. Можно ли утверждать, что сумма всех чисел положительна, если чисел:

а) 18;

б) 19;

в) 20?

Обозначим последовательность чисел как $a_1, a_2, \dots, a_n$. По условию, для любого $i$ от $1$ до $n-2$ выполняется неравенство $a_i + a_{i+1} + a_{i+2} > 0$. Нам нужно определить, будет ли общая сумма $S = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ всегда положительной.

а) Если чисел 18.

Да, в этом случае сумма всех чисел всегда будет положительна.

Поскольку количество чисел $n=18$ кратно 3, мы можем разбить всю сумму на группы по три последовательных числа:

$S = (a_1 + a_2 + a_3) + (a_4 + a_5 + a_6) + \dots + (a_{16} + a_{17} + a_{18})$

Каждая из 6 скобок в этом выражении представляет собой сумму трёх соседних чисел. По условию задачи, каждая такая сумма положительна. Общая сумма $S$ является суммой шести положительных слагаемых, следовательно, она также всегда будет положительной.

Ответ: да, можно.

б) Если чисел 19.

Нет, в этом случае утверждать, что сумма положительна, нельзя. Можно привести контрпример.

Рассмотрим последовательность из 19 чисел, построенную по следующему правилу: числа на позициях, дающих остаток 1 при делении на 3 (т.е. $a_1, a_4, a_7, \dots, a_{19}$), равны $-13$. Остальные числа равны $7$.

В этой последовательности будет 7 чисел, равных $-13$ (на позициях 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19), и $19 - 7 = 12$ чисел, равных $7$.

Проверим выполнение условия задачи. Любая тройка соседних чисел в этой последовательности будет состоять из одного числа $-13$ и двух чисел $7$. Их сумма равна:

$-13 + 7 + 7 = 1 > 0$

Условие выполняется для любой тройки. Теперь найдём сумму всех 19 чисел:

$S = 7 \times (-13) + 12 \times 7 = -91 + 84 = -7$

Сумма оказалась отрицательной. Таким образом, существует последовательность из 19 чисел, удовлетворяющая условию, но имеющая отрицательную общую сумму.

Ответ: нет, нельзя.

в) Если чисел 20.

Нет, в этом случае также утверждать, что сумма положительна, нельзя. Приведём контрпример.

Рассмотрим последовательность из 20 чисел, построенную по тому же принципу, что и в пункте б): числа на позициях $1, 4, 7, 10, 13, 16, 19$ равны $-13.5$. Остальные числа равны $7$.

В этой последовательности 7 чисел равны $-13.5$ и $20 - 7 = 13$ чисел равны $7$.

Проверим условие. Любая тройка соседних чисел состоит из одного числа $-13.5$ и двух чисел $7$. Их сумма:

$-13.5 + 7 + 7 = 0.5 > 0$

Условие выполняется. Найдём сумму всех 20 чисел:

$S = 7 \times (-13.5) + 13 \times 7 = -94.5 + 91 = -3.5$

Сумма снова отрицательна. Следовательно, и для 20 чисел нельзя утверждать, что их сумма всегда будет положительной.

Ответ: нет, нельзя.

420. В непрозрачном мешке лежат 10 белых и 5 чёрных шаров. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из мешка не глядя, чтобы среди них было 2 шара:

а) белых;

б) чёрных;

в) разных цветов;

г) одного цвета?

а) белых. Чтобы гарантированно достать 2 белых шара, нужно рассмотреть наихудший сценарий. В худшем случае мы сначала вынем все шары другого цвета. В мешке 5 чёрных шаров. Допустим, мы вытащили их все. После этого в мешке останутся только белые шары. Следующие два шара, которые мы вынем, гарантированно будут белыми. Таким образом, минимальное количество шаров, которое нужно вынуть, составляет $5 + 2 = 7$.
Ответ: 7.

б) чёрных. Рассуждаем аналогично, рассматривая наихудший сценарий. Сначала мы можем вынуть все шары, которые не являются чёрными. В мешке 10 белых шаров. Вынув их все, мы оставим в мешке только чёрные шары. Чтобы гарантированно получить 2 чёрных шара, нам нужно вынуть ещё два. Итого, минимальное количество шаров равно $10 + 2 = 12$.
Ответ: 12.

в) разных цветов. Чтобы гарантированно вынуть 2 шара разных цветов (то есть хотя бы один белый и один чёрный), рассмотрим худший случай. Худший случай — это когда мы вынимаем все шары одного, самого многочисленного, цвета подряд. В мешке 10 белых шаров. Значит, в худшем случае мы вынем все 10 белых шаров. Следующий, 11-й шар, который мы вынем, обязательно будет чёрным, так как белых в мешке больше не осталось. Таким образом, у нас будет 10 белых и 1 чёрный шар, то есть шары разных цветов. Минимальное количество шаров: $10 + 1 = 11$.
Ответ: 11.

г) одного цвета. Чтобы гарантированно вынуть 2 шара одного цвета (либо 2 белых, либо 2 чёрных), рассмотрим сценарий, при котором мы максимально откладываем появление пары. Сначала мы вынимаем один шар (например, белый). Чтобы не получилась пара, второй шар должен быть другого цвета — чёрный. Теперь у нас на руках 1 белый и 1 чёрный шар. Какой бы шар мы ни вынули третьим (белый или чёрный), он обязательно образует пару с одним из уже вынутых шаров. Таким образом, достаточно вынуть 3 шара, чтобы среди них нашлась пара одного цвета.
Ответ: 3.

421. В непрозрачном мешке лежат 679 белых и 679 чёрных шаров. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из мешка не глядя, чтобы среди них было 2 шара:

а) белых;

б) чёрных;

в) разных цветов;

г) одного цвета?

В мешке находится 679 белых и 679 чёрных шаров. Для решения задачи будем использовать рассуждения от противного, рассматривая наихудший возможный сценарий для каждого случая, чтобы найти гарантированное минимальное количество шаров.

а) белых;
Чтобы гарантированно вынуть 2 белых шара, нужно рассмотреть самый неблагоприятный вариант. Наихудший сценарий — это когда мы сначала вынимаем все шары другого цвета, то есть все чёрные шары. В мешке 679 чёрных шаров. Вынув их все, мы всё ещё не имеем ни одного белого шара. Следующие шары, которые мы будем вынимать, гарантированно будут белыми. Нам нужно 2 белых шара, поэтому после 679 чёрных нужно вынуть ещё 2 шара.
Таким образом, минимальное количество шаров, которое нужно вынуть, равно: $679 \text{ (все чёрные)} + 2 \text{ (белые)} = 681$.
Ответ: 681.

б) чёрных;
Этот случай полностью аналогичен предыдущему. Чтобы гарантированно вынуть 2 чёрных шара, мы должны предположить, что сначала нам будут попадаться только белые шары. В мешке 679 белых шаров. После того как мы вынем все 679 белых шаров, в мешке останутся только чёрные. Чтобы получить 2 чёрных шара, нам нужно вынуть ещё 2.
Следовательно, минимальное количество шаров, которое нужно вынуть, равно: $679 \text{ (все белые)} + 2 \text{ (чёрные)} = 681$.
Ответ: 681.

в) разных цветов;
Чтобы гарантированно вынуть 2 шара разных цветов (то есть хотя бы один белый и один чёрный), рассмотрим наихудший случай. Он заключается в том, что мы будем вынимать шары только одного цвета как можно дольше. Максимальное количество шаров одного цвета, которое можно вынуть подряд, — 679 (например, все белые). После того как мы вынем 679 шаров одного цвета, в мешке останутся только шары другого цвета. Следующий, 680-й шар, обязательно будет другого цвета.
Таким образом, вынув $679 + 1 = 680$ шаров, мы гарантированно будем иметь по крайней мере один белый и один чёрный шар.
Ответ: 680.

г) одного цвета?
Чтобы гарантированно вынуть 2 шара одного цвета (либо 2 белых, либо 2 чёрных), рассмотрим наихудший сценарий, при котором мы пытаемся этого избежать.
1. Вынимаем первый шар. Он может быть любого цвета (например, белый).
2. Вынимаем второй шар. Чтобы не получить пару, он должен быть другого цвета (чёрный). Теперь у нас 1 белый и 1 чёрный шар.
3. Вынимаем третий шар. Он может быть либо белым, либо чёрным. Если он белый, у нас будет 2 белых шара. Если он чёрный, у нас будет 2 чёрных шара. В любом случае, после извлечения третьего шара у нас гарантированно будет пара шаров одного цвета.
Следовательно, достаточно вынуть 3 шара.
Ответ: 3.

422. Имеется 3 комнаты с разными замками и 3 ключа от этих комнат. Какое наименьшее число проб нужно сделать, чтобы определить, какой ключ от какой комнаты?

Чтобы гарантированно определить, какой ключ от какой комнаты, необходимо действовать последовательно и рассматривать наихудший сценарий.

1. Определяем ключ для первой комнаты.
Возьмем любой ключ и попробуем открыть им первую комнату.

• Если ключ не подошел (это первая проба), отложим его и возьмем второй ключ.
• Попробуем второй ключ в замке той же первой комнаты. Если он тоже не подошел (это вторая проба), то нам не нужно пробовать третий ключ. Методом исключения мы точно знаем, что именно третий ключ подходит к первой комнате.

Таким образом, в худшем случае нам понадобится $2$ пробы, чтобы однозначно найти ключ от первой комнаты.

2. Определяем ключи для оставшихся двух комнат.
После первого шага у нас определена одна пара «ключ-комната». Осталось 2 комнаты и 2 ключа.

• Возьмем один из оставшихся ключей и попробуем открыть им вторую комнату (это будет третья проба).
• Если этот ключ подошел, то мы нашли соответствие для второй комнаты. Оставшийся последний ключ, без всяких проб, будет от последней, третьей комнаты.
• Если же ключ не подошел, то мы все равно решили задачу. Мы знаем, что этот ключ не от второй комнаты, а значит, он от третьей. А тот ключ, что остался неиспользованным на этом шаге, подходит ко второй комнате.

Следовательно, для определения ключей от оставшихся двух комнат достаточно всего одной дополнительной пробы.

Общее количество проб в наихудшем сценарии, которое гарантирует определение всех пар, составляет $2 + 1 = 3$.

Ответ: 3.

423. Вася возвёл натуральное число в квадрат и получил число, оканчивающееся цифрой 2. Не ошибся ли Вася?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо определить, на какую цифру может оканчиваться квадрат натурального числа. Последняя цифра результата умножения (в данном случае, числа на само себя) зависит только от последних цифр множителей.

Давайте проверим все возможные последние цифры натурального числа (от 0 до 9) и посмотрим, на какую цифру будет оканчиваться их квадрат:

Если число оканчивается на 0, его квадрат оканчивается на 0 ($0^2 = 0$).

Если число оканчивается на 1, его квадрат оканчивается на 1 ($1^2 = 1$).

Если число оканчивается на 2, его квадрат оканчивается на 4 ($2^2 = 4$).

Если число оканчивается на 3, его квадрат оканчивается на 9 ($3^2 = 9$).

Если число оканчивается на 4, его квадрат оканчивается на 6 ($4^2 = 16$).

Если число оканчивается на 5, его квадрат оканчивается на 5 ($5^2 = 25$).

Если число оканчивается на 6, его квадрат оканчивается на 6 ($6^2 = 36$).

Если число оканчивается на 7, его квадрат оканчивается на 9 ($7^2 = 49$).

Если число оканчивается на 8, его квадрат оканчивается на 4 ($8^2 = 64$).

Если число оканчивается на 9, его квадрат оканчивается на 1 ($9^2 = 81$).

Таким образом, квадрат любого натурального числа может оканчиваться только на одну из следующих цифр: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

В этом списке нет цифры 2. Следовательно, число, полученное возведением в квадрат натурального числа, не может оканчиваться на 2. Вася допустил ошибку в своих вычислениях.

Ответ: Да, Вася ошибся.

424. Ведущий телевизионной игры спросил игрока:

— Верите ли Вы, что я не курю уже 20 дней?

— Верю, — ответил игрок.

— А вот и неверно, я не курю уже 24 дня!

Правильно ли ведущий оценил ответ игрока?

Для решения этой логической задачи проанализируем утверждения ведущего и игрока.

1. Ведущий задает вопрос: «Верите ли Вы, что я не курю уже 20 дней?». Ключевым здесь является утверждение «я не курю уже 20 дней».

2. Позже ведущий сообщает, что на самом деле он не курит 24 дня.

3. Давайте разберемся, было ли истинным первоначальное утверждение. Если человек не курит 24 дня, то верно ли, что он не курит 20 дней? Да, безусловно, верно. Период в 24 дня включает в себя период в 20 дней. Математически, если $x$ — количество дней без курения, то из того, что $x = 24$, следует, что неравенство $x \ge 20$ истинно.

4. Таким образом, ведущий в своем вопросе использовал истинное утверждение. Игрок ответил «Верю», то есть согласился с истинным утверждением. Следовательно, ответ игрока был правильным.

5. Ведущий же заявил, что ответ игрока «неверно». Это означает, что сам ведущий неправильно оценил ответ игрока. Он совершил логическую ошибку, подменив свое утверждение («не курю 20 дней», что означает «не курю 20 или более дней») на другое, невысказанное («не курю ровно 20 дней»).

Ответ: Ведущий оценил ответ игрока неправильно.

425. Встретились три подруги — Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было чёрное платье, на другой — красное, на третьей — белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует фамилиям». Кто в каком платье был?

Для решения этой логической задачи будем рассуждать последовательно, основываясь на данных условиях.

1. Главное условие: цвет платья ни одной из подруг не совпадает с её фамилией. Это значит, что Белова не в белом платье, Краснова — не в красном, а Чернова — не в чёрном.

2. Ключевая фраза в задаче: «Девочка в белом платье говорит Черновой». Из этого мы можем сделать два важных вывода:

   • Во-первых, Чернова не в белом платье (так как с ней разговаривают).

   • Во-вторых, девочка, которая говорит, — не Чернова.

3. Определим, кто был в белом платье. Это не Чернова (см. пункт 2). Это не Белова, так как её фамилия совпала бы с цветом платья (см. пункт 1). Методом исключения получается, что в белом платье была Краснова.

4. Теперь выясним, в каком платье была Чернова. Она не в белом (в нём Краснова) и не в чёрном (из-за фамилии). Значит, для неё остаётся только красное платье. Итак, Чернова была в красном платье.

5. Остаётся последняя подруга — Белова — и последнее нераспределённое платье — чёрное. Проверяем: фамилия «Белова» и чёрный цвет не совпадают, что соответствует условию. Следовательно, Белова была в чёрном платье.

Ответ: Белова была в чёрном платье, Краснова — в белом платье, Чернова — в красном платье.