Номер 419, страница 84 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Целые числа. Дополнения к главе 2. Занимательные задачи - номер 419, страница 84.

Условие.

419. В строчку записаны несколько чисел так, что сумма любых трёх соседних чисел положительна. Можно ли утверждать, что сумма всех чисел положительна, если чисел:

а) 18;

б) 19;

в) 20?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Обозначим последовательность чисел как $a_1, a_2, \dots, a_n$. По условию, для любого $i$ от $1$ до $n-2$ выполняется неравенство $a_i + a_{i+1} + a_{i+2} > 0$. Нам нужно определить, будет ли общая сумма $S = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ всегда положительной.

а) Если чисел 18.

Да, в этом случае сумма всех чисел всегда будет положительна.

Поскольку количество чисел $n=18$ кратно 3, мы можем разбить всю сумму на группы по три последовательных числа:

$S = (a_1 + a_2 + a_3) + (a_4 + a_5 + a_6) + \dots + (a_{16} + a_{17} + a_{18})$

Каждая из 6 скобок в этом выражении представляет собой сумму трёх соседних чисел. По условию задачи, каждая такая сумма положительна. Общая сумма $S$ является суммой шести положительных слагаемых, следовательно, она также всегда будет положительной.

Ответ: да, можно.

б) Если чисел 19.

Нет, в этом случае утверждать, что сумма положительна, нельзя. Можно привести контрпример.

Рассмотрим последовательность из 19 чисел, построенную по следующему правилу: числа на позициях, дающих остаток 1 при делении на 3 (т.е. $a_1, a_4, a_7, \dots, a_{19}$), равны $-13$. Остальные числа равны $7$.

В этой последовательности будет 7 чисел, равных $-13$ (на позициях 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19), и $19 - 7 = 12$ чисел, равных $7$.

Проверим выполнение условия задачи. Любая тройка соседних чисел в этой последовательности будет состоять из одного числа $-13$ и двух чисел $7$. Их сумма равна:

$-13 + 7 + 7 = 1 > 0$

Условие выполняется для любой тройки. Теперь найдём сумму всех 19 чисел:

$S = 7 \times (-13) + 12 \times 7 = -91 + 84 = -7$

Сумма оказалась отрицательной. Таким образом, существует последовательность из 19 чисел, удовлетворяющая условию, но имеющая отрицательную общую сумму.

Ответ: нет, нельзя.

в) Если чисел 20.

Нет, в этом случае также утверждать, что сумма положительна, нельзя. Приведём контрпример.

Рассмотрим последовательность из 20 чисел, построенную по тому же принципу, что и в пункте б): числа на позициях $1, 4, 7, 10, 13, 16, 19$ равны $-13.5$. Остальные числа равны $7$.

В этой последовательности 7 чисел равны $-13.5$ и $20 - 7 = 13$ чисел равны $7$.

Проверим условие. Любая тройка соседних чисел состоит из одного числа $-13.5$ и двух чисел $7$. Их сумма:

$-13.5 + 7 + 7 = 0.5 > 0$

Условие выполняется. Найдём сумму всех 20 чисел:

$S = 7 \times (-13.5) + 13 \times 7 = -94.5 + 91 = -3.5$

Сумма снова отрицательна. Следовательно, и для 20 чисел нельзя утверждать, что их сумма всегда будет положительной.

Ответ: нет, нельзя.