Номер 416, страница 83 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Целые числа. Дополнения к главе 2. Занимательные задачи - номер 416, страница 83.

Условие.

416. Можно ли записать в строчку 7 таких чисел, чтобы сумма любых двух соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Да, можно записать такие числа. Покажем, как это сделать, и приведем пример.

Обозначим семь чисел как $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$. Согласно условию задачи, должны выполняться два требования:

1. Сумма любых двух соседних чисел положительна: $a_i + a_{i+1} > 0$ для всех $i$ от 1 до 6.
2. Сумма всех чисел отрицательна: $S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 < 0$.

Рассмотрим последовательность, в которой числа чередуются. Пусть все числа на нечетных местах равны $x$, а на четных местах равны $y$. Тогда наша последовательность из 7 чисел будет выглядеть так:

$x, y, x, y, x, y, x$

В этом случае первое условие (положительная сумма соседних чисел) сводится к одному неравенству: $x + y > 0$.

Сумма всех семи чисел будет равна $S = 4x + 3y$. Второе условие (отрицательная сумма всех чисел) запишется как: $4x + 3y < 0$.

Таким образом, задача сводится к поиску таких чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяют системе неравенств:

$\begin{cases} x + y > 0 \\ 4x + 3y < 0 \end{cases}$

Из первого неравенства выразим $y$: $y > -x$.

Рассмотрим второе неравенство:

$3y < -4x$

$y < -\frac{4}{3}x$

Мы получили, что число $y$ должно удовлетворять двойному неравенству: $-x < y < -\frac{4}{3}x$.

Чтобы такое число $y$ существовало, необходимо, чтобы левая граница интервала была меньше правой:

$-x < -\frac{4}{3}x$

Если мы предположим, что $x > 0$, то, умножив обе части на $-1$ (и поменяв знак неравенства), получим $x > \frac{4}{3}x$, или $1 > \frac{4}{3}$, что неверно.

Если же мы предположим, что $x < 0$, то, умножив обе части на $-1$, получим $x > \frac{4}{3}x$. Теперь, разделив обе части на отрицательное число $x$ (и снова поменяв знак неравенства), получим $1 < \frac{4}{3}$, что является верным. Следовательно, такое решение существует, если выбрать $x$ отрицательным.

Давайте выберем конкретное значение для $x$. Пусть $x = -4$.

Тогда для $y$ получаем неравенство:

$-(-4) < y < -\frac{4}{3}(-4)$

$4 < y < \frac{16}{3}$

$4 < y < 5.33...$

Мы можем выбрать любое число $y$ из этого интервала. Возьмем, например, $y = 5$.

Теперь мы можем составить искомую последовательность из 7 чисел, используя $x = -4$ и $y = 5$:

-4, 5, -4, 5, -4, 5, -4.

Проверим, выполняются ли для этой последовательности условия задачи:

1. Сумма любых двух соседних чисел: $-4 + 5 = 1$. Поскольку $1 > 0$, первое условие выполнено.
2. Сумма всех чисел: $4 \times (-4) + 3 \times 5 = -16 + 15 = -1$. Поскольку $-1 < 0$, второе условие также выполнено.

Таким образом, мы построили пример, который удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Да, можно. Например, последовательность: -4, 5, -4, 5, -4, 5, -4.