Номер 412, страница 82 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки. Глава 2. Целые числа - номер 412, страница 82.

Условие.

412. Из прямоугольника вырезали квадрат (рис. 53). Постройте прямую, которая делит площадь закрашенной фигуры пополам.

Рис. 53

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством центральной симметрии. Любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит ее площадь пополам. И прямоугольник, и квадрат являются центрально-симметричными фигурами. Их центры симметрии — это точки пересечения их диагоналей.

Пусть площадь прямоугольника равна $S_п$, а площадь вырезанного квадрата — $S_к$. Тогда площадь закрашенной фигуры $S_ф = S_п - S_к$.

Если мы проведем прямую через центры симметрии обеих фигур, то эта прямая разделит площадь прямоугольника на две равные части по $S_п/2$ и одновременно разделит площадь квадрата на две равные части по $S_к/2$. В результате площадь каждой из двух частей закрашенной фигуры, на которые ее разделит эта прямая, будет равна:

$\frac{S_п}{2} - \frac{S_к}{2} = \frac{S_п - S_к}{2} = \frac{S_ф}{2}$

Таким образом, чтобы разделить площадь закрашенной фигуры пополам, нужно построить прямую, проходящую через центры симметрии прямоугольника и квадрата.

1. Найдем центр симметрии прямоугольника.
Прямоугольник занимает область размером 11 на 6 клеток. Введем систему координат, приняв за начало левый нижний узел сетки на рисунке. Тогда углы прямоугольника находятся в точках $(1, 1)$ и $(12, 7)$. Центр симметрии прямоугольника $O_п$ — это середина его диагонали. Координаты центра: $x_п = \frac{1+12}{2} = 6.5$ $y_п = \frac{1+7}{2} = 4$ Таким образом, центр прямоугольника $O_п$ имеет координаты $(6.5; 4)$.

2. Найдем центр симметрии квадрата.
Вершины квадрата в выбранной системе координат находятся в точках: нижняя $(6, 2)$, левая $(4, 4)$, правая $(9, 5)$ и верхняя $(7, 7)$. Центр симметрии квадрата $O_к$ — это середина его диагонали. Найдем координаты по диагонали, соединяющей нижнюю и верхнюю вершины: $x_к = \frac{6+7}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$ $y_к = \frac{2+7}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ Таким образом, центр квадрата $O_к$ имеет координаты $(6.5; 4.5)$.

3. Построим искомую прямую.
Искомая прямая должна проходить через обе найденные точки: $O_п(6.5; 4)$ и $O_к(6.5; 4.5)$. Поскольку у обеих точек одинаковая абсцисса (координата $x$), то прямая, проходящая через них, является вертикальной и задается уравнением $x = 6.5$. Эта прямая проходит ровно посередине между шестой и седьмой вертикальными линиями сетки (считая слева).

Ответ: Искомая прямая — это прямая, проходящая через центры симметрии прямоугольника и квадрата. На данном рисунке это вертикальная линия, расположенная ровно посередине между 6-й и 7-й вертикальными линиями сетки (считая от левого края прямоугольника).