Номер 405, страница 81 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки. Глава 2. Целые числа - номер 405, страница 81.

Условие.

405. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его на две равные части.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Пусть дан прямоугольник ABCD, а точка O — его центр симметрии, которая является точкой пересечения его диагоналей AC и BD. По свойству прямоугольника, диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть AO = OC и BO = OD.

Проведем через точку O произвольную прямую l. Эта прямая разделит прямоугольник на две части. Нам нужно доказать, что эти части равны, то есть имеют одинаковую площадь. Мы докажем это, показав, что эти две части конгруэнтны (равны как геометрические фигуры).

Рассмотрим центральную симметрию относительно точки O. Центральная симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния и углы, а значит, переводит любую фигуру в конгруэнтную ей фигуру.

При симметрии относительно точки O:

• Вершина A переходит в вершину C (так как O — середина отрезка AC).
• Вершина B переходит в вершину D (так как O — середина отрезка BD).
• Следовательно, отрезок AB переходит в отрезок CD, а отрезок BC — в отрезок AD. Весь прямоугольник ABCD при такой симметрии переходит сам в себя.

Рассмотрим, как прямая l делит прямоугольник.

Случай 1: Прямая l пересекает противоположные стороны, например, BC и AD.
Пусть прямая l пересекает сторону BC в точке M, а сторону AD в точке N. Прямоугольник делится на два четырехугольника: ABMN и CDNM.
Найдем образ четырехугольника ABMN при симметрии относительно точки O.
Как мы уже установили, точка A переходит в C, а точка B — в D.
Точка M лежит на прямой BC и на прямой l. Ее образ должен лежать на образе прямой BC (то есть на прямой AD) и на образе прямой l (прямая l проходит через центр симметрии, поэтому переходит сама в себя). Единственная точка, удовлетворяющая этим двум условиям — это точка пересечения прямых AD и l, то есть точка N. Таким образом, точка M переходит в точку N.
Аналогично, точка N переходит в точку M.
Итак, при симметрии относительно центра O четырехугольник ABMN переходит в четырехугольник CDNM. Поскольку симметрия является движением, эти четырехугольники конгруэнтны, а значит, их площади равны.
Аналогичное доказательство применимо, если прямая пересекает стороны AB и CD.

Случай 2: Прямая l проходит через вершины, то есть совпадает с одной из диагоналей (например, AC).
В этом случае прямая делит прямоугольник на два треугольника: $\Delta ABC$ и $\Delta ADC$.
При симметрии относительно точки O: A → C, B → D, C → A. Следовательно, $\Delta ABC$ переходит в $\Delta CDA$. Значит, эти треугольники конгруэнтны и их площади равны.

Во всех возможных случаях любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его на две конгруэнтные части, которые, следовательно, имеют равные площади.
Ответ: Утверждение доказано.