Номер 409, страница 82 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки. Глава 2. Целые числа - номер 409, страница 82.

Условие.

409. Дан отрезок $AB$ и точка $O$ вне этого отрезка. Постройте отрезок $A_1B_1$, симметричный отрезку $AB$, так, чтобы точки $A$ и $A_1$, $B$ и $B_1$ были симметричны относительно точки $O$. Соедините точки $A$ и $B_1$, $A_1$ и $B$. Укажите все пары отрезков, симметричных друг другу относительно точки $O$. Какие из построенных отрезков симметричны сами себе относительно точки $O$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Сначала выполним все необходимые построения.
1. Чтобы построить точку $A_1$, симметричную точке $A$ относительно точки $O$, проведем луч $AO$ и отложим на нем за точкой $O$ отрезок $OA_1$, равный отрезку $OA$. Точка $O$ является серединой отрезка $AA_1$.
2. Аналогично построим точку $B_1$, симметричную точке $B$ относительно точки $O$. Проведем луч $BO$ и отложим на нем отрезок $OB_1$, равный отрезку $OB$. Точка $O$ является серединой отрезка $BB_1$.
3. Соединим точки $A_1$ и $B_1$. Отрезок $A_1B_1$ симметричен отрезку $AB$ относительно точки $O$.
4. Соединим точки $A$ и $B_1$, а также $A_1$ и $B$.

В результате построения мы получили четырехугольник $ABA_1B_1$, диагонали которого $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Следовательно, четырехугольник $ABA_1B_1$ является параллелограммом.

Укажите все пары отрезков, симметричных друг другу относительно точки O. Поскольку точки $A$ и $A_1$, а также $B$ и $B_1$ попарно симметричны относительно центра $O$, то и отрезки, соединяющие их, будут симметричны. Первая пара — это исходный отрезок и построенный ему симметричный: $AB$ и $A_1B_1$. Вторая пара — это стороны полученного параллелограмма $AB_1$ и $A_1B$. Точка, симметричная $A$, это $A_1$; точка, симметричная $B_1$, это $B$. Значит, отрезок $AB_1$ симметричен отрезку $A_1B$. Ответ: ($AB$, $A_1B_1$) и ($AB_1$, $A_1B$).

Какие из построенных отрезков симметричны сами себе относительно точки O? Отрезок симметричен сам себе относительно некоторой точки, если эта точка является его серединой. В нашем построении точка $O$ является центром симметрии. Рассмотрим все построенные отрезки: $AB, A_1B_1, AB_1, A_1B$, а также диагонали $AA_1$ и $BB_1$. По построению точка $O$ является серединой отрезков $AA_1$ и $BB_1$. Остальные отрезки не проходят через точку $O$ (если $O$ не лежит на отрезке $AB$) или точка $O$ не является их серединой. Ответ: $AA_1$ и $BB_1$.