Номер 413, страница 82 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки. Глава 2. Целые числа - номер 413, страница 82.

Условие.

413. Вороне как-то Бог послал кусочек сыра... Предположим, что, в отличие от героини известной басни, наша Ворона захотела разделить сыр поровну с Лисицей. Как она должна разрезать по прямой кусок сыра, если этот кусок имеет форму прямоугольника с круглой дыркой (рис. 54)? (Толщина куска сыра во всех местах одна и та же.)

Рис. 54

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Чтобы разделить кусок сыра на две равные части, необходимо провести разрез по прямой линии так, чтобы эта линия разделила площадь фигуры на две равные половины. Поскольку толщина сыра по условию везде одинакова, равенство площадей будет означать и равенство объемов.

Площадь куска сыра $S_{сыра}$ представляет собой разность площади прямоугольника $S_{прямоугольника}$ и площади круглого отверстия $S_{круга}$:

$S_{сыра} = S_{прямоугольника} - S_{круга}$

Ключевым свойством для решения этой задачи является то, что любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит её площадь на две равные части.

1. Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку как $O_1$. Любая прямая, проведенная через точку $O_1$, делит площадь прямоугольника пополам.

2. Центром симметрии круга является его геометрический центр. Обозначим эту точку как $O_2$. Любая прямая, проведенная через точку $O_2$, делит площадь круга пополам.

Для того чтобы разделить площадь сыра пополам, необходимо провести такую прямую, которая одновременно разделит пополам и площадь прямоугольника, и площадь круглого отверстия. Такой прямой является линия, проходящая через оба центра симметрии — $O_1$ и $O_2$.

Пусть через точки $O_1$ и $O_2$ проведена прямая. Она разделит прямоугольник на две равные части площадью $\frac{1}{2}S_{прямоугольника}$ каждая, и одновременно разделит круг на два полукруга площадью $\frac{1}{2}S_{круга}$ каждый. Тогда площадь каждого из двух получившихся кусков сыра будет одинаковой и равной:

$S_{1} = \frac{1}{2}S_{прямоугольника} - \frac{1}{2}S_{круга} = \frac{1}{2}(S_{прямоугольника} - S_{круга})$

$S_{2} = \frac{1}{2}S_{прямоугольника} - \frac{1}{2}S_{круга} = \frac{1}{2}(S_{прямоугольника} - S_{круга})$

Следовательно, $S_{1} = S_{2} = \frac{1}{2}S_{сыра}$, и сыр будет разделен поровну.

Ответ: Ворона должна разрезать сыр по прямой линии, проходящей через центр прямоугольника (точку пересечения его диагоналей) и центр круглого отверстия.