Номер 414, страница 83 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Целые числа. Дополнения к главе 2. Занимательные задачи - номер 414, страница 83.

Условие.

414. Запишите в строчку 5 таких чисел, чтобы сумма любых двух соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Обозначим искомые пять чисел как $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$. Согласно условию задачи, они должны удовлетворять двум требованиям:

1. Сумма любых двух соседних чисел положительна. Это можно записать в виде системы неравенств:
$a_1 + a_2 > 0$
$a_2 + a_3 > 0$
$a_3 + a_4 > 0$
$a_4 + a_5 > 0$

2. Сумма всех пяти чисел отрицательна:
$S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 < 0$

Рассмотрим общую сумму $S$. Ее можно сгруппировать, используя первое условие. Например, так: $S = (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + a_5$.Поскольку суммы в скобках $(a_1 + a_2)$ и $(a_3 + a_4)$ по условию положительны, для того чтобы вся сумма $S$ была отрицательной, число $a_5$ должно быть отрицательным, причем его модуль должен быть больше суммы этих двух пар: $|a_5| > (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4)$.Аналогично, если сгруппировать сумму иначе: $S = a_1 + (a_2 + a_3) + (a_4 + a_5)$, то из положительности сумм в скобках следует, что число $a_1$ также должно быть отрицательным.

Это наводит на мысль о том, что в последовательности должны чередоваться положительные и отрицательные числа. Попробуем найти решение, где числа на нечетных местах ($a_1, a_3, a_5$) — отрицательные, а на четных ($a_2, a_4$) — положительные.В этом случае условия положительности сумм соседних чисел означают, что каждое положительное число должно быть по модулю больше каждого из своих отрицательных соседей:

• $a_2 > |a_1|$
• $a_2 > |a_3|$
• $a_4 > |a_3|$
• $a_4 > |a_5|$

Условие отрицательности общей суммы $S < 0$ означает, что сумма модулей отрицательных чисел должна быть больше суммы положительных чисел:
$|a_1| + |a_3| + |a_5| > a_2 + a_4$

Теперь подберем конкретные числа, удовлетворяющие этим требованиям.Пусть положительные числа будут $a_2 = 5$ и $a_4 = 5$.Тогда для отрицательных чисел $a_1, a_3, a_5$ должны выполняться условия:
$|a_1| < 5$, $|a_3| < 5$, $|a_5| < 5$.
А также условие для общей суммы: $|a_1| + |a_3| + |a_5| > 5 + 5 = 10$.

Нам нужно найти три отрицательных числа, модуль каждого из которых меньше 5, а сумма их модулей больше 10.Возьмем, например, $a_1 = -4, a_3 = -4, a_5 = -4$.Проверяем: $|-4| = 4 < 5$, условие выполнено.Сумма их модулей: $|-4| + |-4| + |-4| = 4 + 4 + 4 = 12$. Так как $12 > 10$, это условие также выполняется.

Таким образом, мы получили последовательность чисел: -4, 5, -4, 5, -4.

Проверим ее на соответствие исходным условиям задачи:
1. Суммы соседних чисел:
$(-4) + 5 = 1 > 0$
$5 + (-4) = 1 > 0$
Все суммы соседних чисел положительны.

2. Сумма всех чисел:
$(-4) + 5 + (-4) + 5 + (-4) = -12 + 10 = -2 < 0$
Сумма всех чисел отрицательна.

Оба условия выполнены. Существует множество других решений, например: -3, 4, -3, 4, -3.

Ответ: -4, 5, -4, 5, -4.