Номер 408, страница 81 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

408. Постройте круг с центром $O$. Отметьте внутри круга точку $M$. Постройте точку $N$, симметричную точку $M$ относительно точки $O$. Верно ли, что круг симметричен относительно своего центра?

Постройте круг с центром O. Отметьте внутри круга точку M. Постройте точку N, симметричную точке M относительно точки O.

1. С помощью циркуля построим круг с центром в точке O и произвольным радиусом R.
2. Отметим произвольную точку M внутри круга. По определению, точка находится внутри круга, если расстояние от нее до центра меньше радиуса, то есть $OM < R$.
3. Чтобы построить точку N, симметричную точке M относительно точки O, нужно провести прямую через точки M и O. Затем на этой прямой отложить от точки O отрезок ON в сторону, противоположную M, так, чтобы длина отрезка ON была равна длине отрезка OM. Таким образом, точка O станет серединой отрезка MN, и $ON = OM$.
Поскольку $OM < R$ и $ON = OM$, то и $ON < R$. Это означает, что точка N также лежит внутри круга.

Ответ: Построение выполнено. Точка N, симметричная точке M относительно центра круга O, также находится внутри этого круга.

Верно ли, что круг симметричен относительно своего центра?

Фигура считается симметричной относительно некоторой точки (центра симметрии), если для любой точки, принадлежащей этой фигуре, симметричная ей точка относительно центра симметрии также принадлежит этой фигуре.

Рассмотрим круг с центром в точке O. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью, включая саму окружность. То есть, для любой точки M, принадлежащей кругу, её расстояние до центра O не превышает радиуса R: $OM \le R$.

Возьмем любую точку M, принадлежащую кругу. Найдем для нее точку N, симметричную относительно центра O. По определению центральной симметрии, точка O является серединой отрезка MN, а значит, расстояние $ON$ равно расстоянию $OM$.

Поскольку для точки M выполняется условие $OM \le R$, то для симметричной ей точки N будет выполняться условие $ON = OM \le R$. Это означает, что точка N также принадлежит кругу.

Так как это утверждение справедливо для любой точки M, взятой в круге, то круг симметричен относительно своего центра.

Ответ: Да, верно. Круг симметричен относительно своего центра.