Страница 81 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

400. По рисунку 50 определите, какой фигуре симметричен относительно точки $O$:

а) треугольник $BCO$;

б) треугольник $ADC$;

в) треугольник $CNO$;

г) прямоугольник $ABCD$;

д) четырёхугольник $DCNM$.

Для решения задачи воспользуемся определением центральной симметрии. Две точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно точки $O$ (центра симметрии), если $O$ является серединой отрезка $AA'$. Фигура $F'$ называется симметричной фигуре $F$ относительно точки $O$, если она состоит из всех точек $M'$, симметричных точкам $M$ фигуры $F$ относительно точки $O$.

На рисунке 50, к которому отсылает задача, обычно изображается прямоугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Эта точка является центром симметрии прямоугольника. Для пунктов, где упоминаются точки $N$ и $M$, предполагается, что они расположены на противоположных сторонах фигуры (например, $N$ на $CD$, а $M$ на $AB$) таким образом, что точка $O$ является серединой отрезка $MN$.

Чтобы найти фигуру, симметричную треугольнику $BCO$ относительно точки $O$, найдём точки, симметричные каждой из его вершин. Точка, симметричная вершине $B$ относительно $O$, — это вершина $D$, так как $O$ — середина диагонали $BD$. Точка, симметричная вершине $C$, — это вершина $A$, так как $O$ — середина диагонали $AC$. Точка $O$ симметрична сама себе. Таким образом, треугольнику $BCO$ симметричен треугольник $DAO$.

Ответ: треугольник $DAO$.

Найдём точки, симметричные вершинам треугольника $ADC$ относительно точки $O$. Точка, симметричная вершине $A$, — это вершина $C$. Точка, симметричная вершине $D$, — это вершина $B$. Точка, симметричная вершине $C$, — это вершина $A$. Следовательно, треугольнику $ADC$ симметричен треугольник $CBA$.

Ответ: треугольник $CBA$.

Найдём точки, симметричные вершинам треугольника $CNO$ относительно точки $O$. Точка, симметричная вершине $C$, — это вершина $A$. Точка, симметричная точке $N$ (расположенной на стороне $CD$), — это точка $M$ (расположенная на стороне $AB$), так как по условию построения на рисунке $O$ является серединой отрезка $MN$. Точка $O$ симметрична сама себе. Значит, треугольнику $CNO$ симметричен треугольник $AMO$.

Ответ: треугольник $AMO$.

Найдём точки, симметричные вершинам прямоугольника $ABCD$ относительно центра $O$. Вершина $A$ симметрична вершине $C$, вершина $B$ — вершине $D$, вершина $C$ — вершине $A$, и вершина $D$ — вершине $B$. Таким образом, при симметрии относительно точки $O$ прямоугольник $ABCD$ отображается сам на себя. Это означает, что он является центрально-симметричной фигурой.

Ответ: прямоугольник $ABCD$.

Найдём точки, симметричные вершинам четырёхугольника $DCNM$ относительно точки $O$. Точка, симметричная вершине $D$, — это вершина $B$. Точка, симметричная вершине $C$, — это вершина $A$. Точка, симметричная точке $N$, — это точка $M$. Точка, симметричная точке $M$, — это точка $N$. Следовательно, четырёхугольнику $DCNM$ симметричен четырёхугольник $BAMN$.

Ответ: четырёхугольник $BAMN$.

401. На клетчатой бумаге изображён прямоугольник $3 \times 4$ (рис. 51). Найдите пять способов разрезания прямоугольника на две равные части так, чтобы линия разреза шла по линиям клетчатой бумаги.

Площадь прямоугольника $3 \times 4 = 12$ клеток. При разрезании на две равные части, площадь каждой части должна составлять $12 \div 2 = 6$ клеток. Чтобы полученные части были равны (конгруэнтны), линия разреза, идущая по линиям сетки, должна быть центрально-симметричной относительно центра прямоугольника. Центр симметрии прямоугольника $3 \times 4$ находится в точке пересечения его осей симметрии.

Ниже представлены пять способов такого разрезания. В каждом случае одна из двух равных частей закрашена.

Разрез представляет собой прямую вертикальную линию, проходящую через середину прямоугольника. В результате получаются два равных прямоугольника размером $3 \times 2$.

Ответ: Один из возможных способов разрезания показан на рисунке.

Разрез в виде ступенчатой линии. Полученные фигуры являются гексамино (фигуры из шести квадратов) и конгруэнтны друг другу при повороте на 180 градусов.

Ответ: Один из возможных способов разрезания показан на рисунке.

Разрез в виде "горизонтальной" ступенчатой линии. Получаются две фигуры, состоящие из квадрата $2 \times 2$ и примыкающего к нему прямоугольника $1 \times 2$.

Ответ: Один из возможных способов разрезания показан на рисунке.

Еще один вариант разреза "горизонтальной" ступенчатой линией, симметричный предыдущему способу относительно горизонтальной оси.

Ответ: Один из возможных способов разрезания показан на рисунке.

Разрез более сложной формы, который также делит прямоугольник на две равные (конгруэнтные) части.

Ответ: Один из возможных способов разрезания показан на рисунке.

Рис. 51

402. На клетчатой бумаге изобразите прямоугольник $3 \times 5$, из которого удалён центральный квадрат (рис. 52). Найдите пять способов разрезания оставшейся фигуры на две равные части так, чтобы линия разреза шла по линиям клетчатой бумаги.

Рис. 52

Исходная фигура представляет собой прямоугольник размером $3 \times 5$ клеток, из которого удалён центральный квадрат $1 \times 1$. Общая площадь фигуры составляет $3 \times 5 - 1 = 14$ клеток. Требуется разрезать её на две равные (то есть конгруэнтные) части. Это означает, что каждая часть должна иметь одинаковую форму и площадь. Площадь каждой части будет равна $14 / 2 = 7$ клеток.

Фигура имеет центр симметрии, который совпадает с центром удалённого квадрата. Чтобы разделить фигуру на две равные части, линия разреза должна делить её на две части, симметричные друг другу относительно этого центра. Ниже представлены пять способов такого разрезания. В каждом способе две полученные части для наглядности окрашены в разные цвета.

Способ 1

В этом способе одна часть состоит из верхнего ряда и двух левых клеток среднего ряда. Вторая часть, соответственно, состоит из нижнего ряда и двух правых клеток среднего ряда.

Ответ: Разрезание, показанное на рисунке, является одним из возможных решений.

Способ 2

Разрез проходит так, что одна часть включает в себя два левых столбца и одну клетку из нижнего ряда. Вторая часть симметрична первой.

Ответ: Разрезание, показанное на рисунке, является одним из возможных решений.

Способ 3

Этот способ симметричен первому. Одна часть состоит из верхнего ряда и двух правых клеток среднего ряда.

Ответ: Разрезание, показанное на рисунке, является одним из возможных решений.

Способ 4

Одна из частей имеет более сложную, "ступенчатую" форму. Она включает четыре левые клетки нижнего ряда, две левые клетки среднего ряда и одну крайнюю левую клетку верхнего ряда.

Ответ: Разрезание, показанное на рисунке, является одним из возможных решений.

Способ 5

Еще один вариант разрезания на части сложной формы. Одна часть состоит из всего левого столбца, двух клеток среднего ряда и трех клеток верхнего ряда.

Ответ: Разрезание, показанное на рисунке, является одним из возможных решений.

403. На клетчатой бумаге изображён квадрат $6 \times 6$. Найдите шесть способов разрезания квадрата на две равные части так, чтобы линия разреза шла по линиям клетчатой бумаги.

Для того чтобы разрезать квадрат $6 \times 6$ на две равные части по линиям сетки, линия разреза должна обладать центральной симметрией относительно центра квадрата. Центр квадрата $6 \times 6$ находится на пересечении линий, разделяющих 3-й и 4-й ряды и 3-ю и 4-ю колонки. Площадь всего квадрата составляет $6 \times 6 = 36$ клеток, следовательно, каждая из двух равных частей должна иметь площадь $36 / 2 = 18$ клеток.

Ниже приведены шесть способов такого разрезания.

Способ 1. Самый простой способ — разрезать квадрат пополам горизонтальной линией, проходящей через его центр. В результате получаются два равных прямоугольника размером $6 \times 3$.

Ответ:

Способ 2. Аналогично первому способу, можно разрезать квадрат пополам вертикальной линией. В результате получаются два равных прямоугольника размером $3 \times 6$.

Ответ:

Способ 3. Можно разрезать квадрат ступенчатой линией. В результате получаются две одинаковые Z-образные фигуры. Каждая фигура состоит из прямоугольника $2 \times 6$ и прямоугольника $3 \times 2$, соединенных вместе.

Ответ:

Способ 4. Этот способ похож на предыдущий, но линия разреза образует более "тонкие" и "длинные" Z-образные фигуры.

Ответ:

Способ 5. Этот способ является поворотом способа 3 на 90 градусов. Линия разреза также ступенчатая, но идет от верхней границы к нижней.

Ответ:

Способ 6. Можно использовать и более сложную ломаную линию, которая также обладает центральной симметрией.

Ответ:

404. Можно ли квадрат $5 \times 5$, изображённый на Рис. 52 клетчатой бумаге, разрезать на две равные части так, чтобы линия разреза шла по линиям клетчатой бумаги?

Для того чтобы разрезать квадрат на две равные части, необходимо, чтобы эти части имели одинаковую площадь.

Квадрат размером 5×5 состоит из 25 единичных клеток. Его общая площадь составляет:
$S_{общ} = 5 \times 5 = 25$ клеток.

Если разделить этот квадрат на две равные части, то площадь каждой из них должна быть равна половине общей площади:
$S_{части} = S_{общ} / 2 = 25 / 2 = 12.5$ клеток.

Однако, по условию, линия разреза должна проходить по линиям клетчатой бумаги. Это означает, что каждая из получившихся фигур должна состоять из целого числа клеток. Невозможно составить фигуру из 12.5 клеток, разрезая по линиям сетки.

Таким образом, разрезать квадрат 5×5 на две равные части по линиям сетки невозможно, так как общее количество клеток в нём нечетное.

Ответ: Нет, нельзя.

405. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его на две равные части.

Пусть дан прямоугольник ABCD, а точка O — его центр симметрии, которая является точкой пересечения его диагоналей AC и BD. По свойству прямоугольника, диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть AO = OC и BO = OD.

Проведем через точку O произвольную прямую l. Эта прямая разделит прямоугольник на две части. Нам нужно доказать, что эти части равны, то есть имеют одинаковую площадь. Мы докажем это, показав, что эти две части конгруэнтны (равны как геометрические фигуры).

Рассмотрим центральную симметрию относительно точки O. Центральная симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния и углы, а значит, переводит любую фигуру в конгруэнтную ей фигуру.

При симметрии относительно точки O:

• Вершина A переходит в вершину C (так как O — середина отрезка AC).
• Вершина B переходит в вершину D (так как O — середина отрезка BD).
• Следовательно, отрезок AB переходит в отрезок CD, а отрезок BC — в отрезок AD. Весь прямоугольник ABCD при такой симметрии переходит сам в себя.

Рассмотрим, как прямая l делит прямоугольник.

Случай 1: Прямая l пересекает противоположные стороны, например, BC и AD.
Пусть прямая l пересекает сторону BC в точке M, а сторону AD в точке N. Прямоугольник делится на два четырехугольника: ABMN и CDNM.
Найдем образ четырехугольника ABMN при симметрии относительно точки O.
Как мы уже установили, точка A переходит в C, а точка B — в D.
Точка M лежит на прямой BC и на прямой l. Ее образ должен лежать на образе прямой BC (то есть на прямой AD) и на образе прямой l (прямая l проходит через центр симметрии, поэтому переходит сама в себя). Единственная точка, удовлетворяющая этим двум условиям — это точка пересечения прямых AD и l, то есть точка N. Таким образом, точка M переходит в точку N.
Аналогично, точка N переходит в точку M.
Итак, при симметрии относительно центра O четырехугольник ABMN переходит в четырехугольник CDNM. Поскольку симметрия является движением, эти четырехугольники конгруэнтны, а значит, их площади равны.
Аналогичное доказательство применимо, если прямая пересекает стороны AB и CD.

Случай 2: Прямая l проходит через вершины, то есть совпадает с одной из диагоналей (например, AC).
В этом случае прямая делит прямоугольник на два треугольника: $\Delta ABC$ и $\Delta ADC$.
При симметрии относительно точки O: A → C, B → D, C → A. Следовательно, $\Delta ABC$ переходит в $\Delta CDA$. Значит, эти треугольники конгруэнтны и их площади равны.

Во всех возможных случаях любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его на две конгруэнтные части, которые, следовательно, имеют равные площади.
Ответ: Утверждение доказано.

406. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит её на две равные части.

Пусть $F$ — это фигура, а точка $O$ — её центр симметрии. По определению, это означает, что для любой точки $A$, принадлежащей фигуре $F$, симметричная ей относительно точки $O$ точка $A'$ также принадлежит фигуре $F$. Преобразование, которое отображает каждую точку $A$ в симметричную ей точку $A'$ относительно центра $O$, называется центральной симметрией $S_O$. Таким образом, фигура $F$ симметрична относительно своего центра $O$, что можно записать как $S_O(F) = F$.

Пусть $l$ — это произвольная прямая, проходящая через центр симметрии $O$. Эта прямая делит фигуру $F$ на две части, которые мы обозначим $F_1$ и $F_2$. Нам нужно доказать, что эти две части равны, то есть конгруэнтны. Две фигуры считаются равными (конгруэнтными), если одну можно перевести в другую с помощью движения (изометрии), то есть преобразования, сохраняющего расстояния. Центральная симметрия является одним из видов движения.

Рассмотрим преобразование центральной симметрии $S_O$ относительно точки $O$. Докажем, что это преобразование отображает часть $F_1$ на часть $F_2$.

Прямая $l$ делит плоскость на две замкнутые полуплоскости $H_1$ и $H_2$. Тогда части фигуры можно определить как $F_1 = F \cap H_1$ и $F_2 = F \cap H_2$.

Возьмём произвольную точку $P$, принадлежащую части $F_1$. Так как $P \in F_1$, то $P \in F$ и $P \in H_1$. По определению центра симметрии, точка $P' = S_O(P)$ также принадлежит фигуре $F$. Поскольку прямая $l$ проходит через центр симметрии $O$, преобразование $S_O$ отображает полуплоскость $H_1$ на полуплоскость $H_2$. Следовательно, точка $P'$ лежит в полуплоскости $H_2$. Таким образом, точка $P'$ принадлежит и фигуре $F$, и полуплоскости $H_2$, а значит, принадлежит части $F_2$. Поскольку $P$ была произвольной точкой из $F_1$, мы показали, что образ всей части $F_1$ при симметрии $S_O$ содержится в $F_2$: $S_O(F_1) \subseteq F_2$.

Теперь докажем обратное. Возьмём произвольную точку $Q$, принадлежащую части $F_2$. Аналогично, так как $Q \in F_2$, то $Q \in F$ и $Q \in H_2$. Её образ при центральной симметрии $Q' = S_O(Q)$ также принадлежит фигуре $F$. И так как $Q$ лежит в полуплоскости $H_2$, её образ $Q'$ будет лежать в полуплоскости $H_1$. Следовательно, $Q' \in F_1$. Это означает, что любая точка $Q$ из $F_2$ является образом некоторой точки $Q'$ из $F_1$ (ведь $S_O(Q') = S_O(S_O(Q)) = Q$). Таким образом, $F_2 \subseteq S_O(F_1)$.

Из того, что $S_O(F_1) \subseteq F_2$ и $F_2 \subseteq S_O(F_1)$, следует, что $S_O(F_1) = F_2$.

Поскольку центральная симметрия является движением (изометрией), она сохраняет размеры и форму фигуры. Следовательно, если одна часть фигуры ($F_1$) может быть преобразована в другую ($F_2$) с помощью центральной симметрии, то эти две части равны (конгруэнтны).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

407. Постройте окружность с центром $O$. Отметьте на ней точку $M$. Постройте точку $N$, симметричную точку $M$ относительно точки $O$. Верно ли, что окружность симметрична относительно своего центра?

Сначала выполним построения. Построим окружность с центром в точке $O$ и произвольным радиусом $R$. Выберем на ней любую точку $M$.

Чтобы построить точку $N$, симметричную точке $M$ относительно центра $O$, проведем прямую через точки $M$ и $O$. На этой прямой отложим отрезок $ON$ так, чтобы его длина была равна длине отрезка $OM$ ($ON=OM$) и точка $O$ была серединой отрезка $MN$. Отрезок $MN$ является диаметром окружности.

Теперь ответим на вопрос: верно ли, что окружность симметрична относительно своего центра?

Фигура считается симметричной относительно некоторой точки (центра симметрии), если для каждой точки, принадлежащей фигуре, симметричная ей относительно этого центра точка также принадлежит этой фигуре.

В нашем случае фигура — это окружность, а центр симметрии — ее центр $O$.

Мы взяли произвольную точку $M$ на окружности. По определению окружности, расстояние от любой ее точки до центра равно радиусу. Таким образом, $OM = R$.

Мы построили точку $N$, симметричную точке $M$ относительно центра $O$. По определению центральной симметрии, $ON = OM$.

Из этих двух равенств следует, что $ON = R$. Это означает, что расстояние от точки $N$ до центра $O$ также равно радиусу окружности. Следовательно, точка $N$ также принадлежит этой окружности.

Так как точка $M$ была выбрана произвольно, данное рассуждение справедливо для любой точки окружности. Это доказывает, что окружность симметрична относительно своего центра.

Ответ: Да, верно. Окружность симметрична относительно своего центра.

408. Постройте круг с центром $O$. Отметьте внутри круга точку $M$. Постройте точку $N$, симметричную точку $M$ относительно точки $O$. Верно ли, что круг симметричен относительно своего центра?

Постройте круг с центром O. Отметьте внутри круга точку M. Постройте точку N, симметричную точке M относительно точки O.

1. С помощью циркуля построим круг с центром в точке O и произвольным радиусом R.
2. Отметим произвольную точку M внутри круга. По определению, точка находится внутри круга, если расстояние от нее до центра меньше радиуса, то есть $OM < R$.
3. Чтобы построить точку N, симметричную точке M относительно точки O, нужно провести прямую через точки M и O. Затем на этой прямой отложить от точки O отрезок ON в сторону, противоположную M, так, чтобы длина отрезка ON была равна длине отрезка OM. Таким образом, точка O станет серединой отрезка MN, и $ON = OM$.
Поскольку $OM < R$ и $ON = OM$, то и $ON < R$. Это означает, что точка N также лежит внутри круга.

Ответ: Построение выполнено. Точка N, симметричная точке M относительно центра круга O, также находится внутри этого круга.

Верно ли, что круг симметричен относительно своего центра?

Фигура считается симметричной относительно некоторой точки (центра симметрии), если для любой точки, принадлежащей этой фигуре, симметричная ей точка относительно центра симметрии также принадлежит этой фигуре.

Рассмотрим круг с центром в точке O. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью, включая саму окружность. То есть, для любой точки M, принадлежащей кругу, её расстояние до центра O не превышает радиуса R: $OM \le R$.

Возьмем любую точку M, принадлежащую кругу. Найдем для нее точку N, симметричную относительно центра O. По определению центральной симметрии, точка O является серединой отрезка MN, а значит, расстояние $ON$ равно расстоянию $OM$.

Поскольку для точки M выполняется условие $OM \le R$, то для симметричной ей точки N будет выполняться условие $ON = OM \le R$. Это означает, что точка N также принадлежит кругу.

Так как это утверждение справедливо для любой точки M, взятой в круге, то круг симметричен относительно своего центра.

Ответ: Да, верно. Круг симметричен относительно своего центра.