Страница 85 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

426. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревнованиях. На вопрос, какие места они заняли, трое из них ответили:

1) Коля ни первое, ни четвёртое;

2) Боря второе;

3) Вова не был последним.

Какое место занял каждый мальчик?

Для решения этой логической задачи необходимо последовательно проанализировать все предоставленные утверждения, считая их истинными. В соревновании участвовали четверо мальчиков (Коля, Боря, Вова, Юра) и они заняли первые четыре места (1, 2, 3, 4).

Исходные данные:

• 1) Коля не занял ни первое, ни четвёртое место. Это означает, что Коля мог занять либо второе, либо третье место. ($Место_{Коли} \in \{2, 3\}$)
• 2) Боря занял второе место. ($Место_{Бори} = 2$)
• 3) Вова не был последним, то есть не занял четвёртое место. ($Место_{Вовы} \neq 4$)

Проведём рассуждение по шагам:

1. Начнем с самого точного утверждения (2): Боря занял 2-е место. Это наш отправной пункт. Теперь 2-е место занято.
2. Обратимся к утверждению (1) о Коле. Мы знаем, что он мог занять 2-е или 3-е место. Поскольку 2-е место уже занято Борей, для Коли остаётся единственный вариант — 3-е место.
3. На данный момент распределены два места: Боря — 2-е, Коля — 3-е. Свободными остались 1-е и 4-е места, на которые претендуют Вова и Юра.
4. Рассмотрим утверждение (3) о Вове. Он не был последним, то есть не занял 4-е место. Из оставшихся свободных мест (1-е и 4-е) ему подходит только 1-е место.
5. Методом исключения, единственное оставшееся место (4-е) и единственный оставшийся мальчик (Юра) соответствуют друг другу. Следовательно, Юра занял 4-е место.

Таким образом, мы определили место каждого мальчика. Проверим, не противоречит ли наше решение исходным условиям:

• Коля на 3-м месте — это не 1-е и не 4-е. (Верно)
• Боря на 2-м месте. (Верно)
• Вова на 1-м месте — он не последний. (Верно)

Все условия соблюдены.

Ответ: Вова — 1-е место, Боря — 2-е место, Коля — 3-е место, Юра — 4-е место.

427. Имеется три мешка с монетами. В двух из них настоящие монеты, массой 10 г каждая, а в одном фальшивые монеты, массой 9 г каждая. Есть весы, показывающие общую массу положенных на них монет. Как с помощью одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты, если из мешков можно брать любое число монет?

Для решения этой задачи необходимо использовать метод, при котором результат взвешивания будет уникальным для каждого из трех возможных случаев (фальшивые монеты в первом, втором или третьем мешке). Это достигается путем взятия разного количества монет из каждого мешка.

Пронумеруем мешки: №1, №2 и №3. Выполним следующие действия:

1. Из мешка №1 возьмем 1 монету.
2. Из мешка №2 возьмем 2 монеты.
3. Из мешка №3 возьмем 3 монеты.

Теперь положим все эти монеты ($1 + 2 + 3 = 6$ монет) на весы. Рассчитаем, каким должен быть вес, если бы все монеты были настоящими. Масса настоящей монеты — $10$ г.

Ожидаемый вес: $6 \text{ монет} \times 10 \text{ г} = 60 \text{ г}$.

Фальшивая монета весит $9$ г, то есть на $10 \text{ г} - 9 \text{ г} = 1 \text{ г}$ легче настоящей. Разница в весе, которую покажут весы, будет зависеть от того, сколько фальшивых монет оказалось на чаше. Проанализируем возможные результаты взвешивания:

• Случай 1: Фальшивые монеты в мешке №1.
  Мы взяли из этого мешка 1 монету. Значит, на весах одна фальшивая монета. Общий вес будет на 1 г меньше ожидаемого.
  Вес на весах: $60 \text{ г} - 1 \text{ г} = 59 \text{ г}$.
• Случай 2: Фальшивые монеты в мешке №2.
  Мы взяли из этого мешка 2 монеты. Значит, на весах две фальшивые монеты. Общий вес будет на $2 \times 1 \text{ г} = 2 \text{ г}$ меньше ожидаемого.
  Вес на весах: $60 \text{ г} - 2 \text{ г} = 58 \text{ г}$.
• Случай 3: Фальшивые монеты в мешке №3.
  Мы взяли из этого мешка 3 монеты. Значит, на весах три фальшивые монеты. Общий вес будет на $3 \times 1 \text{ г} = 3 \text{ г}$ меньше ожидаемого.
  Вес на весах: $60 \text{ г} - 3 \text{ г} = 57 \text{ г}$.

Таким образом, каждый из трех возможных результатов взвешивания ($59$ г, $58$ г или $57$ г) однозначно указывает на мешок с фальшивыми монетами.

Ответ: Нужно пронумеровать мешки (№1, №2, №3). Взять 1 монету из мешка №1, 2 монеты из мешка №2 и 3 монеты из мешка №3. Взвесить все взятые монеты вместе. Если вес равен $59$ г, фальшивые монеты в мешке №1. Если вес $58$ г — в мешке №2. Если вес $57$ г — в мешке №3.

428. Решите предыдущую задачу для:

а) четырёх мешков;

б) пяти мешков;

в) десяти мешков.

Для решения этой задачи, которая является классической головоломкой, используется метод, позволяющий определить мешок с фальшивыми монетами за одно взвешивание на точных весах. Условие "предыдущей задачи" обычно подразумевает, что известен вес настоящей монеты, вес фальшивой, и в одном из мешков все монеты фальшивые.

Общий алгоритм решения таков:

1. Пронумеровать все мешки от 1 до $N$, где $N$ - общее количество мешков.
2. Взять из мешка с номером $k$ ровно $k$ монет (из мешка №1 - 1 монету, из мешка №2 - 2 монеты и так далее до мешка №$N$).
3. Взвесить все взятые монеты вместе.
4. Рассчитать ожидаемый (эталонный) вес, который получился бы, если бы все монеты были настоящими.
5. Сравнить фактический вес с эталонным. Разница в весе укажет на номер мешка с фальшивыми монетами.

Пусть вес настоящей монеты равен $W_{н}$, а фальшивой — $W_{ф}$. Предположим, что фальшивые монеты легче, то есть $W_{н} > W_{ф}$. Разница в весе одной монеты составляет $\Delta w = W_{н} - W_{ф}$. Если фальшивые монеты находятся в мешке с номером $k$, то в нашей пробе будет ровно $k$ фальшивых монет. Общая недостача веса по сравнению с эталоном составит $k \times \Delta w$. Таким образом, номер искомого мешка можно найти по формуле: $k = \frac{W_{эталон} - W_{факт}}{\Delta w}$.

1. Пронумеруем мешки от 1 до 4.

2. Возьмём 1 монету из мешка №1, 2 монеты из мешка №2, 3 монеты из мешка №3 и 4 монеты из мешка №4.

3. Общее количество монет для взвешивания: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ монет.

4. Для наглядности предположим, что вес настоящей монеты $W_{н} = 10$ г, а фальшивой $W_{ф} = 9$ г. Тогда разница в весе одной монеты $\Delta w = 10 - 9 = 1$ г.

5. Эталонный вес 10 настоящих монет составил бы: $W_{эталон} = 10 \times 10 = 100$ г.

6. Взвешиваем все 10 монет и получаем фактический вес $W_{факт}$.

7. Номер мешка с фальшивыми монетами $k$ определяется по недостаче веса. Так как $\Delta w = 1$ г, то $k = 100 - W_{факт}$.

• Если $W_{факт} = 99$ г, недостача составляет 1 г. Фальшивые монеты в мешке №1.
• Если $W_{факт} = 98$ г, недостача составляет 2 г. Фальшивые монеты в мешке №2.
• Если $W_{факт} = 97$ г, недостача составляет 3 г. Фальшивые монеты в мешке №3.
• Если $W_{факт} = 96$ г, недостача составляет 4 г. Фальшивые монеты в мешке №4.

Ответ: Нужно пронумеровать мешки от 1 до 4, взять из каждого мешка количество монет, соответствующее его номеру, и взвесить их все вместе. Разделив разницу между эталонным и фактическим весом на разницу в весе одной монеты, мы получим номер мешка с фальшивыми монетами.

1. Пронумеруем мешки от 1 до 5.

2. Возьмём из мешка №1 одну монету, из №2 - две, и так далее до мешка №5, из которого возьмём пять монет.

3. Общее количество монет для взвешивания: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ монет.

4. При тех же условиях ($W_{н} = 10$ г, $W_{ф} = 9$ г, $\Delta w = 1$ г), эталонный вес 15 настоящих монет будет: $W_{эталон} = 15 \times 10 = 150$ г.

5. Взвешиваем монеты и находим недостачу веса $D = 150 - W_{факт}$. Номер мешка с фальшивками $k = D$.

Например, если фактический вес $W_{факт} = 146$ г, то недостача веса $D = 150 - 146 = 4$ г. Следовательно, фальшивые монеты находятся в мешке №4.

Ответ: Необходимо пронумеровать мешки от 1 до 5, взять из каждого мешка количество монет, соответствующее его номеру, и взвесить их все вместе. Если разница в весе монет составляет 1 г, то разница в граммах между эталонным (150 г) и фактическим весом укажет на номер мешка с фальшивыми монетами.

1. Пронумеруем мешки от 1 до 10.

2. Возьмём из каждого мешка $k$ количество монет, где $k$ - номер мешка.

3. Общее количество монет для взвешивания равно сумме арифметической прогрессии: $S_{10} = \sum_{i=1}^{10} i = \frac{10(10+1)}{2} = 55$ монет.

4. При тех же условиях ($W_{н} = 10$ г, $W_{ф} = 9$ г, $\Delta w = 1$ г), эталонный вес 55 настоящих монет составит: $W_{эталон} = 55 \times 10 = 550$ г.

5. Взвесив все монеты, получим $W_{факт}$. Номер мешка с фальшивками $k$ найдем по формуле: $k = \frac{550 - W_{факт}}{1}$.

Например, если фактический вес окажется 543 г, то недостача составит $550 - 543 = 7$ г. Это означает, что в нашей пробе 7 фальшивых монет, которые были взяты из мешка №7.

Ответ: Необходимо пронумеровать мешки от 1 до 10, взять из каждого мешка количество монет, равное его номеру (всего 55 монет), и взвесить их все вместе. Номер мешка с фальшивыми монетами будет равен разнице между ожидаемым весом (если бы все монеты были настоящими) и фактическим весом, делённой на разницу в весе одной монеты.

429. В коробке лежат три пилотки — одна синяя и две красные. Учитель вызывает к доске двух учеников, которые становятся лицом к классу и закрывают глаза. Учитель надевает каждому из них на голову пилотку, а оставшуюся прячет в коробку. Ученики открывают глаза, и каждый видит пилотку своего товарища, но не видит своей. Может ли кто-нибудь из них определить цвет своей пилотки? Рассмотрите два случая:

а) надеты одна синяя и одна красная пилотка;

б) надеты две красные пилотки.

Для решения этой задачи нужно проанализировать ход мыслей каждого ученика в обеих ситуациях. Всего имеется три пилотки: одна синяя (С) и две красных (К). На двух учениках надеты две из этих трех пилоток.

а) надеты одна синяя и одна красная пилотка;

В этом случае один ученик (Ученик 1) носит синюю пилотку, а другой (Ученик 2) — красную. В коробке осталась одна красная пилотка.

Ученик 2 видит на голове Ученика 1 синюю пилотку. Он рассуждает так: «Я вижу синюю пилотку. По условию, всего одна синяя пилотка. Раз она на моем товарище, значит на мне не может быть синей пилотки. Следовательно, моя пилотка — красная».

Таким образом, ученик, который видит синюю пилотку, может сразу и однозначно определить цвет своей пилотки. Ученик, который видит красную пилотку, не может сделать мгновенный вывод, так как его собственная пилотка может быть как синей, так и второй красной. Однако, поскольку вопрос в том, может ли кто-нибудь из них определить цвет, ответ — да.

Ответ: Да, может. Ученик, который видит на товарище синюю пилотку, поймет, что на нем самом — красная.

б) надеты две красные пилотки.

В этом случае на обоих учениках надеты красные пилотки, а в коробке спрятана синяя пилотка.

Каждый из учеников видит перед собой товарища в красной пилотке. Первоначальная мысль каждого из них: «Я вижу красную пилотку. Значит, на мне может быть либо вторая красная, либо единственная синяя. Сразу определить цвет нельзя».

Однако, если ученики достаточно сообразительны, они могут использовать дополнительную информацию — поведение друг друга. Рассмотрим одного из учеников (Ученика 1). Он видит красную пилотку на Ученике 2 и рассуждает дальше: «Если бы на мне была синяя пилотка, то Ученик 2, увидев её, сразу бы догадался, что на нём самом — красная (как в случае а)). Но он молчит и тоже размышляет. Его молчание означает, что он не видит на мне синюю пилотку. Следовательно, моя пилотка тоже красная».

Второй ученик приходит к абсолютно такому же выводу, анализируя молчание первого. Таким образом, через некоторое время оба ученика смогут определить, что на них надеты красные пилотки.

Ответ: Да, могут. Через некоторое время оба ученика смогут догадаться, что на них надеты красные пилотки.

430. Решите предыдущую задачу для пяти пилоток — двух синих и трёх красных и трёх учащихся. Какие случаи следует рассмотреть?

Для того чтобы найти общее количество способов распределить 2 синие и 3 красные пилотки между 3 учащимися, задачу следует разбить на два независимых этапа: распределение пилоток синего цвета и распределение пилоток красного цвета. Общее число способов будет равно произведению числа способов на каждом этапе.

Сначала найдем количество способов распределить 2 одинаковые синие пилотки между 3 различными учащимися. Эта задача эквивалентна нахождению числа неотрицательных целочисленных решений уравнения $x_1 + x_2 + x_3 = 2$, где $x_i$ — количество пилоток у $i$-го учащегося. Число таких решений находится по формуле сочетаний с повторениями: $C_{n+k-1}^{k-1}$, где $n=2$ (пилотки) и $k=3$ (учащиеся). Получаем $C_{2+3-1}^{3-1} = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ способов.

Затем найдем количество способов распределить 3 одинаковые красные пилотки между 3 учащимися. Аналогично, это эквивалентно нахождению числа неотрицательных целочисленных решений уравнения $y_1 + y_2 + y_3 = 3$. По той же формуле, где $n=3$ и $k=3$, получаем $C_{3+3-1}^{3-1} = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ способов.

По правилу умножения в комбинаторике, общее количество способов распределить все пилотки равно произведению найденных количеств: $6 \cdot 10 = 60$.

Ответ: 60.

Какие случаи следует рассмотреть?

При решении задачи целесообразно рассмотреть её как два независимых процесса, для каждого из которых нужно перебрать все возможные варианты (случаи) распределения:

1. Случаи распределения синих пилоток. Необходимо рассмотреть все варианты распределения 2 синих пилоток между 3 учащимися. Эти 6 вариантов можно сгруппировать в два типа:
   • Один учащийся получает обе пилотки (например, (2,0,0)). Таких комбинаций 3.
   • Два разных учащихся получают по одной пилотке (например, (1,1,0)). Таких комбинаций 3.
2. Случаи распределения красных пилоток. Необходимо рассмотреть все варианты распределения 3 красных пилоток между 3 учащимися. Эти 10 вариантов можно сгруппировать в три типа:
   • Один учащийся получает все три пилотки (например, (3,0,0)). Таких комбинаций 3.
   • Один учащийся получает две пилотки, а другой — одну (например, (2,1,0)). Таких комбинаций 6.
   • Каждый из трёх учащихся получает по одной пилотке (1,1,1). Такая комбинация одна.

Таким образом, основной подход к решению — это рассмотрение случаев распределения пилоток каждого цвета по отдельности.

Ответ: Следует рассмотреть по отдельности все возможные способы распределения синих пилоток и все возможные способы распределения красных пилоток между учащимися.

431. Приехав в город, Ходжа Насреддин постучал в ворота первого дома и попросил хозяина пустить его переночевать. Денег у Насреддина не было, но была золотая цепочка из семи звеньев. Хозяин согласился приютить путника на семь дней с такими условиями:

1) за один день Насреддин платит одним звеном цепочки;

2) расплачиваться он должен ежедневно;

3) хозяин соглашался принять не более одного распиленного звена.

Смог ли Ходжа Насреддин расплатиться с хозяином?

Да, Ходжа Насреддин смог расплатиться с хозяином, проявив смекалку. Для этого ему нужно было сделать всего один распил, но в правильном месте.

Ключ к решению — создать с помощью одного распила такие части цепочки, комбинациями которых можно оплатить любую сумму от 1 до 7. Это похоже на двоичную систему счисления, где числа составляются из степеней двойки ($1, 2, 4, 8, ...$). Чтобы получить возможность составлять числа от 1 до 7 ($1+2+4=7$), Насреддину нужно было получить части цепочки размером в 1, 2 и 4 звена.

Для этого он должен был распилить третье звено. В результате он получил:

• Одно отдельное, распиленное звено (это и есть то единственное распиленное звено, которое согласен принять хозяин).
• Отрезок из двух нетронутых звеньев (первое и второе).
• Отрезок из четырех нетронутых звеньев (с четвертого по седьмое).

Далее расчет происходил следующим образом:

День 1: Насреддин отдает хозяину одно распиленное звено. Хозяин имеет 1 звено.

День 2: Насреддин забирает у хозяина распиленное звено и взамен отдает отрезок из двух звеньев. Хозяин имеет 2 звена.

День 3: Насреддин отдает хозяину распиленное звено (которое он получил обратно днем ранее). Теперь у хозяина отрезок из двух звеньев и одно отдельное звено. Всего 3 звена.

День 4: Насреддин забирает у хозяина все, что дал ему ранее (отрезок из 2-х и отдельное звено), и взамен отдает самый большой отрезок из четырех звеньев. Хозяин имеет 4 звена.

День 5: Насреддин отдает хозяину отдельное распиленное звено. Теперь у хозяина отрезок из четырех звеньев и одно отдельное звено. Всего 5 звеньев.

День 6: Насреддин забирает у хозяина отдельное звено и отдает ему отрезок из двух звеньев. Теперь у хозяина отрезки из четырех и двух звеньев. Всего 6 звеньев.

День 7: Насреддин отдает хозяину последнее, что у него осталось — отдельное распиленное звено. У хозяина оказываются все три части: отрезок из 4-х, отрезок из 2-х и одно отдельное звено. Всего 7 звеньев.

Таким образом, все условия были соблюдены: оплата производилась ежедневно, и хозяину было передано только одно распиленное звено.

Ответ: Да, смог. Для этого ему нужно было распилить третье звено цепочки, разделив ее на три части: из одного, двух и четырех звеньев.