Номер 427, страница 85 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Занимательные задачи. Глава 2. Целые числа - номер 427, страница 85.

Условие.

427. Имеется три мешка с монетами. В двух из них настоящие монеты, массой 10 г каждая, а в одном фальшивые монеты, массой 9 г каждая. Есть весы, показывающие общую массу положенных на них монет. Как с помощью одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты, если из мешков можно брать любое число монет?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для решения этой задачи необходимо использовать метод, при котором результат взвешивания будет уникальным для каждого из трех возможных случаев (фальшивые монеты в первом, втором или третьем мешке). Это достигается путем взятия разного количества монет из каждого мешка.

Пронумеруем мешки: №1, №2 и №3. Выполним следующие действия:

1. Из мешка №1 возьмем 1 монету.
2. Из мешка №2 возьмем 2 монеты.
3. Из мешка №3 возьмем 3 монеты.

Теперь положим все эти монеты ($1 + 2 + 3 = 6$ монет) на весы. Рассчитаем, каким должен быть вес, если бы все монеты были настоящими. Масса настоящей монеты — $10$ г.

Ожидаемый вес: $6 \text{ монет} \times 10 \text{ г} = 60 \text{ г}$.

Фальшивая монета весит $9$ г, то есть на $10 \text{ г} - 9 \text{ г} = 1 \text{ г}$ легче настоящей. Разница в весе, которую покажут весы, будет зависеть от того, сколько фальшивых монет оказалось на чаше. Проанализируем возможные результаты взвешивания:

• Случай 1: Фальшивые монеты в мешке №1.
  Мы взяли из этого мешка 1 монету. Значит, на весах одна фальшивая монета. Общий вес будет на 1 г меньше ожидаемого.
  Вес на весах: $60 \text{ г} - 1 \text{ г} = 59 \text{ г}$.
• Случай 2: Фальшивые монеты в мешке №2.
  Мы взяли из этого мешка 2 монеты. Значит, на весах две фальшивые монеты. Общий вес будет на $2 \times 1 \text{ г} = 2 \text{ г}$ меньше ожидаемого.
  Вес на весах: $60 \text{ г} - 2 \text{ г} = 58 \text{ г}$.
• Случай 3: Фальшивые монеты в мешке №3.
  Мы взяли из этого мешка 3 монеты. Значит, на весах три фальшивые монеты. Общий вес будет на $3 \times 1 \text{ г} = 3 \text{ г}$ меньше ожидаемого.
  Вес на весах: $60 \text{ г} - 3 \text{ г} = 57 \text{ г}$.

Таким образом, каждый из трех возможных результатов взвешивания ($59$ г, $58$ г или $57$ г) однозначно указывает на мешок с фальшивыми монетами.

Ответ: Нужно пронумеровать мешки (№1, №2, №3). Взять 1 монету из мешка №1, 2 монеты из мешка №2 и 3 монеты из мешка №3. Взвесить все взятые монеты вместе. Если вес равен $59$ г, фальшивые монеты в мешке №1. Если вес $58$ г — в мешке №2. Если вес $57$ г — в мешке №3.